第十二章全等三角形

12.1全等三角形..............................................................1

12.2三角形全等的判定.......................................................5

第1課時邊邊邊.........................................................5

第2課時邊角邊.........................................................9

第3課時角邊角和角角邊................................................13

第4課時斜邊、直角邊..................................................17

12.3角的平分線的性質(zhì)......................................................21

第1課時角的平分線的作法及性質(zhì).......................................21

第2課時角的平分線的判定..............................................25

12.1全等三角形

了敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解全等形及全等三角形的概念.

2.理解全等三角形的性質(zhì).

【過程與方法】

在圖形變換以及操作的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺.

【情感態(tài)度】

使學(xué)生在觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗,在探索和運

用全等三角形性質(zhì)的過程中感受到數(shù)學(xué)的樂趣.

【教學(xué)重點】

探究全等三角形的性質(zhì).

【教學(xué)難點】

掌握兩個全等形的對應(yīng)邊\,對應(yīng)角.

教與亙卡呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1觀察下列圖形,指出其中形狀與大小相同的圖形.

問題2從上面的圖形中你有什么感受?在實際生活中，你能找到形狀、大小相同的圖形

的應(yīng)用的例子么？

二、思考探究，獲取新知

讓學(xué)生交流問題1,問題2的答案,并帶著問題“這些圖形有什么共同特征？”自學(xué)課本

內(nèi)容.

【教學(xué)說明】變化的圖形易引起學(xué)生的注意，使它們很快地投入到學(xué)習(xí)的情境中，并通過

觀察發(fā)現(xiàn)其中的共同特點,形成猜想.再結(jié)合自學(xué)課本,從而認(rèn)識全等形、全等三角形的定義

及記法.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

思考1把三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，什么發(fā)生了變化,什么沒有變？

思考2全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角有什么關(guān)系?為什么？

【教學(xué)說明】讓兩個學(xué)生在黑板上引導(dǎo)全體學(xué)生操作并畫圖,從中找到答案.這個過程利

用三角形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的不變性，讓學(xué)生通過具體操作直觀感知全等三角形的概念,

然后讓學(xué)生通過操作和觀察,猜測并驗證全等三角形的性質(zhì).利用基本三角形變換出各種圖

形,然后觀察對應(yīng)邊、角的變化,利于提高學(xué)生的識圖能力.

思考1得到的基本圖案如圖：

【歸納結(jié)論】

1.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形,能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

“全等”用“絲”表示，讀作“全等于”.

把兩個全等的三角形重合在一起,重合的頂點叫做對應(yīng)頂點,重合的邊叫做對應(yīng)邊,重合

的角叫對應(yīng)角.

2.全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.

三、運用新知，深化理解

【教學(xué)說明】出示下列問題,讓學(xué)生通過交流、，思考尋找問題的答案,并共同討論:全等

三角形的對應(yīng)頂點\,對應(yīng)邊之間有什么關(guān)聯(lián).

1.下列每對三角形分別全等,看看它們是怎樣變化而成的,并指出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

2.兩個全等的三角形按如下位置擺放,指出它們的對應(yīng)頂點,對應(yīng)角，對應(yīng)邊.

3.如圖,將aABC沿直線BC平移,得到aDEF.

⑴線段AB,DE是對應(yīng)線段,有什么關(guān)系?線段AC和DE呢？

⑵線段BE和CF有什么關(guān)系?為什么？

⑶若NA=70°,NB=40°,你知道其他各角的度數(shù)嗎？為什么？

第3題圖第4題圖

4.如圖,將AABC沿直線BC平移,得到ADEF,說出你得到的結(jié)論,并說明理由.

5.如圖，AABE^AACD,AB與AC,AD與AE是對應(yīng)邊，ZA=40°,ZB=30°,求NADC的大

小.

A

【教學(xué)說明】題3題4中要通過觀察發(fā)現(xiàn),EC是線段BC與EF的公共部分,從而有

BC-EC=EF-EC即BE=CF的結(jié)論;可以挖掘更深層次的結(jié)論,提升分析問題的能力，如AB〃DE,AC

〃DF,BE=CF,S四邊形ABEG=S四邊形FDGC等.

完成上述題目后，引導(dǎo)學(xué)生做本課時創(chuàng)優(yōu)作業(yè)“課堂自主演練”中的題.

【答案】1.圖(1)是AEDC由aABC繞過C點且垂直于BD的直線翻折而成，AB的對應(yīng)

邊ED,AC的對應(yīng)邊EC,BC的對應(yīng)邊DC,ZA的對應(yīng)角ZE,ZB的對應(yīng)角ZD,ZACB的對應(yīng)

角為/ECD.

圖(2)是AABC延BC邊平移BE長的距離得到△DEB,AC的對應(yīng)邊DB,AB的對應(yīng)邊為

DE,CB的對應(yīng)邊為BE,NA的對應(yīng)角為ND,NC的對應(yīng)角為/DBE,/ABC的對應(yīng)角為NE.

圖(3)是aABD繞BD的中點旋轉(zhuǎn)180°得ACDB,AB的對應(yīng)邊為CD,BD對應(yīng)邊為DB、

AD的對應(yīng)邊為CB,NA的對應(yīng)角/C,NABD的對應(yīng)角為NCDB,NADB的對應(yīng)角為/CBD.

2.略

3.(\)ABJLDE,ACJLDF(2)BE=CF

(3)LACB=70°LD=70°乙DEF=4()。

乙/=70。全等三角形對應(yīng)角相等

4.AB=DEAC=DFBC=EFNA=ND/B=/DEF/ACB=/F理由：全等三角形對應(yīng)邊

相等，對應(yīng)角相等.

5.ZADC=110°

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶全等三角形定義'，記法與性質(zhì).

2.歸納尋找對應(yīng)邊\,對應(yīng)角的規(guī)律：

(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;對應(yīng)邊所對的

角是對應(yīng)角,兩條對應(yīng)邊的夾角是對應(yīng)角.

(2)公共邊一般是對應(yīng)邊;有對頂角的,對頂角一般是對應(yīng)角；公共角一般是對應(yīng)角等.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本課時通過學(xué)生在做模型、畫圖、動手操作等活動中的體驗，完成對三角形全等的認(rèn)識,

重點在對“三角形全等”“對應(yīng)”等含義的理解.

對“全等三角形”的認(rèn)識，可讓學(xué)生采用復(fù)寫紙、手撕、剪紙、扎針眼等方式獲取，并

鼓勵學(xué)生間互相交流動手過程中的體驗.

教學(xué)過程中，強調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、類比、直覺、數(shù)

據(jù)處理等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識與技能，體驗教學(xué)活動的方法，同時升華學(xué)生的情感、

態(tài)度和價值觀.

12.2三角形全等的判定

第1課時邊邊邊

F,敦與目標(biāo)

【知識與技能】

掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

【情感態(tài)度】

通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.

【教學(xué)重點】

掌握三角形全等的“邊邊邊”條件.

【教學(xué)難點】

三角形全等條件的探索過程.

教與國程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

1.復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)，歸納得出：三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形

全等.

2.提出問題:兩個三角形全等,一定需要六個條件嗎?如果只滿足其中部分條件的兩個三

角形，是否也能全等呢？

指導(dǎo)學(xué)生探究下列兩個問題：

探究1先任意畫出一個△ABC.再畫一個aA'B'C1,使aABC與△△'B'C'滿足六

個條件中的一個（一邊或一角分別相等）或兩個（兩邊、一邊一角或兩角分別相等）.你畫

出的4A'B'C與△ABC一定全等嗎？

通過畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足六個條件中的一個或兩個，AABC與4A'B'C'不一定全等.

探究2先任意畫出一個△ABC.再畫一個aA'B'C,使A'B'=AB,BzC=BC,C'

A'=CA.把畫好的△△'B'C剪下來，放到aABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

在充分的觀察、討論、交流后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等,即“邊

邊邊”公理，或?qū)懗伞癝SS”.

【教學(xué)說明】利用提出的問題激發(fā)學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)興趣,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)的結(jié)

論,無論對與錯，多給予肯定與鼓勵,并引導(dǎo)學(xué)生最終得出正確的結(jié)果.教師講課前，先讓學(xué)生

完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

教師操作演示：

由三根木條釘成的一個三角形的框架,大小和形狀固定不變，由此歸納出：（1）三邊對應(yīng)

相等的兩個三角形全等；（2）三角形具有穩(wěn)定性.

例1如圖，AABC是一個鋼架,AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架，求證:aABDg

△ACD.（由學(xué)生思考后表述思路，教師指導(dǎo)并展示證題過程.）

證明：；D是BC中點，；.BD=CD.

在4ABD和4ACD中，

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

/.△ABD^AACD(SSS).

例2如圖，已知AC=FE,BC=DE,點A\,D,B\,F在一條直線上,AD=FB.要用“邊邊邊”證明

△ABC出△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE外，還應(yīng)有什么條件？怎樣才能得到這個條件？

答：還需要AB=FD,這個條件可由AD=FB得到.

證明:AD=FB,AD+BD=BD+FB,

即AB=FD.

在AABC和△FDE中，

A13=FD,

<AC=FE,

=DE.

/.△ABC^AFDE(SSS)

【教學(xué)說明】由以上兩例，應(yīng)讓學(xué)生掌握：

1.證明題的基本格式,做到每一步推理有根有據(jù),并正確用幾何語言表述出來.

2.積累分析問題的經(jīng)驗,逐步學(xué)會怎樣探尋未知條件,為證題提供足夠的依據(jù).

三、運用新知，深化理解

1.如圖，E是AC上一點,AB=AD,BE=DE,可應(yīng)用“SSS”證明三角形全等的是()

A.AABC^AADC

B.△ABE絲△ADE

C.ACBE^ACDE

2.如圖，Z\ABC中，AD=DE,AB=BE,NA=100°,則/DEC=度.

3.如圖，AB=AC,AD=AE,BE=CD.求證：AABD^AACE.

證明：在aABD和4ACE中,

(AJ3=AC,

AD=AE,

[BE=CD.

AAABD^AACE(SSS)

上述的證明過程正確嗎?若不正確，請寫出正確的推理過程.

笫4題佟I

4.如圖，已知A,F,C,D在同一直線上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求證:BC〃EF.

【教學(xué)說明】學(xué)生在教師指導(dǎo)下完成上述習(xí)題時,教師應(yīng)提醒學(xué)生注意:

1.善于利用題中已知條件和隱含條件（如題3的公共線段DE后），聯(lián)想“SSS”證得三角

形全等.

2.要靈活地結(jié)合三角形全等性質(zhì)，以證出線段相等或角相等,進而推得兩線平行、或互相

垂直等位置關(guān)系.

3.熟悉證題格式.

完成上述題目后，引導(dǎo)學(xué)生做本課時創(chuàng)優(yōu)作業(yè)“課堂自主演練”中的題.

【答案】LB2.80

3.不正確.其證明過程如下：；BE=CD,，BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在AABD和4ACE中,

(AB=A(\

AD=AE,

[BD=CE,

/.△ABD^AACE(SSS).

4.先證△ABCg^DEF(SSS),.?.NBCA=NEFD,；.BC:〃EF.

四、師生互動，課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生反思:本節(jié)課我們有哪些收獲?

【指導(dǎo)要點】回顧反思本節(jié)課重要知識,探究過程,并歸納方法和結(jié)論,并領(lǐng)悟其中所包

含的數(shù)學(xué)思想與規(guī)律.

.'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本課時教學(xué)時應(yīng)抓住以下重點：

1.分類問題：教師讓學(xué)生從實踐入手，給定三角形三邊，學(xué)生在薄紙上畫，然后小組的

同學(xué)看所畫三角形是否重合，探索歸納、形成結(jié)論.

2.教師可用多媒體展示現(xiàn)實生活中的實際例子：如橋梁、鐵塔、自行車的三角架等，從

中體驗三角形的穩(wěn)定性，認(rèn)識“邊邊邊”可作為三角形全等的判定依據(jù).

3.強調(diào)思路分析和書寫規(guī)范.

第2課時邊角邊

敦與目標(biāo)

【知識與技能】

掌握證明三角形全等的“邊角邊”定理.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察\,分析圖形的能力及動手能力.

2.在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推

理.

【情感態(tài)度】

通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神.

【教學(xué)重點】

應(yīng)用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進而得出線段或角相等.

【教學(xué)難點】

指導(dǎo)學(xué)生分析問題，尋找判定三角形全等的條件.

教學(xué)Eili呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1教材探究3:已知任意△ABC,畫AA'B'C',使AB=A'B',A'C=AC,/A'=

ZA.

【教學(xué)說明】要求學(xué)生規(guī)范地用作圖工具畫圖,糾正學(xué)生的錯誤做法,并讓學(xué)生剪出畫好

的△ABC,4A'B'C',把它們放在一起，觀察出現(xiàn)的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生間交流結(jié)論.教師講課

前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

問題2請各學(xué)習(xí)小組間交流,并總結(jié)出規(guī)律.

二、思考探究，獲取新知

根據(jù)學(xué)生交流情況,教師作出如下歸納總結(jié).

1.兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.

2.其中的角必須是兩條相等的對應(yīng)邊的夾角，邊必須是夾相等角的兩條對應(yīng)邊.

例1如圖,有一池塘,要測池塘兩端A,B的距離,可先在平地上取一個可以直接到達A

和B的點C,連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE=CB.連接DE,那么量出

DE的長就是A,B的距離,為什么？

【教學(xué)說明】讓學(xué)生思考后，書寫推理過程，教師引導(dǎo)分析.

要想證AB=DE,只需要證AABC絲而證這兩個三角形全等，已有條件,還需

條件.

證明：在4ABC和4DEC中，

(CA=CD,

L1二A2.

=CE.

.?.△ABC^ADEC(SAS)..".AB=DE.

【歸納結(jié)論】證明分別屬于兩個三角形的線段相等或角相等的問題,常常通過證明這兩

個三角形全等來得到答案.

例2如圖，已知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE.求證:△ABDgZ\ACE.

BA

CD------------E

【教學(xué)說明】由學(xué)生依題意尋找條件，涉及三角形邊的條件有AB=AC,AD=AE,但/BAC=/

DAE只是對應(yīng)邊夾角的一部分，怎么辦？以此引導(dǎo)學(xué)生思考,理清解題思路.

證明：：NBAC=/DAE（已知），

,ZBAC+CAD=ZDAE+CAD,

即NBAD=NCAE.

在△ABD與△ACE中，

AB=AC（已知）,

NBAD=NCAE（已證），

AD=AE（已知）,

.,.△ABD^AACE.

【歸納結(jié)論】用來證明三角形全等的邊、角條件，必須是這兩個三角形的邊、角，而不是

其中的一部分,如NBAC=NDAE不能直接用于證4ABD與4ACE的全等.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，已知N1=N2,如果用SAS證明△ABCgZXBAD,還需要添加的條件是.

2.如圖，已知OA=OB,OC=OD,N0=50°,ND=35°,則NAEC等于().

A.60°B.50°C,45°D.30°

3.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,BE=CF,如果NB=50°，/A=70°,則NF=().

A.70°B.65°C.60°D.55°

A

4

BECF

第3題圖第4題圖

4.如圖，點B,D,C,F在一條直線上,且BC=FD,AB=EF.

(1)請你添加一個條件(不再加輔助線)，使AABC絲AEFD,你添加的條件是.(2)添

加了條件后，證明△ABCgZXEFD.

5.如凰C是線段AB的中點,CD平分NACE,CE平分/BCD,CD=CE.

(1)求證：AJICD絲4BCE.

⑵若ND=50°,求NB的度數(shù).

力.可讓學(xué)生在黑板上寫出4\,5題的過程，強化學(xué)生書寫證明過程的能力.

在完成上述習(xí)題的解答后,請學(xué)生探究:“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形

是否全等？”，指導(dǎo)學(xué)生畫圖分析、共同討論，形成結(jié)論.

教師出示下列材料幫助學(xué)生探究：

如圖，在4ABC和aABD中，ZB=ZB,AB=AB,AC=AD,由圖可知，AABC與AABD并不全等.

完成上述題目后，引導(dǎo)學(xué)生做本課時創(chuàng)優(yōu)作業(yè)“課堂自主演練”中的題.

【答案】l.AC=BD2.A3.C

4.(1)ZB=ZF或AB〃EF或AC-ED.

(2)當(dāng)/B=/F時，在aABC和AEFD中，

AB=EF,

NB=NF,

BC=FD,

AABC絲AEFD(SAS).其它證明略.

5.⑴...點C是線段AB的中點，，AC=BC,

又YCD平分NACE,CE平分/BCD,

.,.Z1=Z2,N2=N3,，Nl=/3.

在4ACD和4BCE中,

CD=CE,

Z1=Z3,

AC=BC,

AAACD^ABCE(SAS).

(2)VZ1+Z2+Z3=18O,.?.Zl=Z2=Z3=60.

VAACD^ABCE,/.ZE=ZD=50°./.ZB=180°-ZE-Z3=70".

四、師生互動，課堂小結(jié)

先歸納“SAS”，并強調(diào)：“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等”.

再提出問題供同學(xué)思考\,交流探討.

1.判定三角形全等的方法有哪些？

2.證明線段相等角相等的常見方法有哪些？

：,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本節(jié)課的引入，可采用探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、探索、交流、發(fā)現(xiàn)思索

的過程，得出判定三角形全等的“SAS”條件，同時利用一個聯(lián)系生活實際的問題一一測量

池塘兩端的距離，對得到的知識加以運用，最后再通過實際圖形讓學(xué)生認(rèn)識到“兩邊及其中

一邊的對角對應(yīng)相等”的條件不能判定兩個三角形全等.

第3課時角邊角和角角邊

教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”與“AAS”，并指出用它們判別三角形是否全等.

【過程與方法】

經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力;

并通過對知識方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思問題的能力，形成理性思維.

【情感態(tài)度】

敢于面對教學(xué)活動中的困難，能通過合作交流解決遇到的困難.

【教學(xué)重點】

理解、掌握三角形全等的條件：“ASA”、“AAS”.

【教學(xué)難點】

探究出“ASA”“AAS”及它們的應(yīng)用.

產(chǎn),教與亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1一張教學(xué)用的三角形硬紙板不小心被撕成了如圖形狀，你能制作出與原來同樣

大的紙板嗎？

鼓勵學(xué)生提出不同的思路方法，并要求學(xué)生用紙片對自己的思路操作實驗.

【教學(xué)說明】教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

問題2教材探究4.

先任意畫出一個△ABC.再畫一個4A'B'C,使A'B'=AB,NA'=NA,ZB'=/B

（即兩角和它們的夾邊分別相等）.把畫好的AA'B'C'剪下來，放到aABC上，它們?nèi)?/p>

嗎？

要求每個學(xué)生先獨立動手畫圖并思考，再在小組內(nèi)交流.

把畫好的4A'B'C'剪下，放在aABC上，觀察出現(xiàn)的情形,并根據(jù)結(jié)果總結(jié)規(guī)律，說出

每個人的發(fā)現(xiàn)并交流.

二、思考探究，獲取新知

【歸納結(jié)論】根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，予以不同的點評,重在鼓勵,最后歸納出新知識點：

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”.

強調(diào)注意：“邊”必須是“兩角的夾邊”.

例1如圖，點D在AB上，點E在AC上,BE和CD相交于點0,AB=AC,ZB=ZC.求證:AD=AE.

證明：AABE和4ACD中，

ZB=ZC,

AB=AC,

ZA=ZA,

.,.△ABE^AACD(ASA).

AAD-AE.

【課堂練習(xí)】由學(xué)生在黑板上完成證明過程.

如圖,AB=A'C,NA=NA',NB=NC,求證:ZkABE且百CD.

【分析】本例可直接應(yīng)用“ASA”證得兩個三角形全等，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地書寫證明過程.

例2在4ABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.證明△ABC絲ZkDEF.

【教學(xué)說明】由已知條件并聯(lián)想“ASA”不難證明結(jié)論，教師關(guān)鍵通過本例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)

現(xiàn)：“兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”.

上述判定三角形全等的定理簡寫成“角角邊”或“AAS”.

【課堂練習(xí)】

如圖，要測量河兩岸相對的兩點A,B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C,D,使

BC=CD,再定出BF的垂線DE,使A,C,E在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長,

為什么？

【答案】利用三角形全等得到DE=AB.

證明：在aABC和AEDC中，

ZB=ZEDC=90°,

BC=DC,

ZACB=ZECD.

AAABC^AEDC..\DE=AB.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，B是CE的中點，AD=BC,AB=DC,DE交AB于F點.求證：⑴AD〃BC;⑵AF=BF.

2.如圖，在aABC中，D是BC邊上的點(不與B,C重合)，F(xiàn),E分別是AD及其延長線上的

點,CF〃BE,請你添加一個條件，使ABDE絲Z\CDF(不再添加其它線段,不再標(biāo)注或使用其他字

母)，并給出證明.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生通過上述習(xí)題的解答歸納證明三角形全等的方法,并總結(jié)證

明線段相等(或兩線平行\(zhòng),垂直)或兩角相等的常見方法.同時,讓學(xué)生探究“兩個三角形中三

個角分別相等，這兩個三角形全等嗎？”的問題，同學(xué)間互相交流探究出來.

【答案】1.⑴連接BD,VAD=CB,AB=DC,BD=DB,.,.△ABD^ACDB(SSS),AZADB=ZCBD.

AADZ/BC.

(2)YB為CE中點，，EB=BC.由⑴知AD〃BC,AD=BC,，AD=BE,NA=NFBE,又NAFD=NBFE,

.,.△ADF^ABEF(AAS)..\AF=BF.

2.添加條件加D=DC(或點D是線段BC中點)，F(xiàn)D=ED或CF=BE.以BD=DC為例證明如下：；

CF/7BE,.,.ZFCD=ZEBD.又...BDuDC,ZFDC=ZEDB..,.ABDE^ACDF(ASA).

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.證明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.

2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相等.如：大小不同的兩個等腰直角三角形不全

等.

3.證兩線相等（或兩角相等）的常用方法是證它們所在的兩個三角形全等.

廠,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

戶教學(xué)反思

本課時教學(xué)以“自主探究一一合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨立思考的時間，提供

學(xué)生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個交流合作的機會，培養(yǎng)學(xué)生獨立探究,

合作學(xué)習(xí)的能力.

同時，注重讓學(xué)生用自己的語言歸納和表達發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，指引學(xué)生對知識與方法進行回

顧總結(jié)，形成良好的反思習(xí)慣，獲取優(yōu)秀的學(xué)習(xí)方法.

第4課時斜邊、直角邊

孽L教與目標(biāo)

【知識與技能】

掌握兩個直角三角形全等的條件,并能應(yīng)用它證明兩個直角三角形全等.

【過程與方法】

通過對知識方法的歸納總結(jié),加深對三角形全等的判定的理解.培養(yǎng)反思習(xí)慣,形成理性

思維.

【情感態(tài)度】

通過探究與交流,解決問題,獲得成功的體驗,進一步激發(fā)探究的積極性.

【教學(xué)重點】

理解、掌握直角三角形全等的條件:HL.

【教學(xué)難點】

熟練選擇判定方法,判定兩個直角三角形全等.

“承教與國ili呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1舞臺的背景形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等,

但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.

(1)請你設(shè)法幫工作人員找到解決問題的方式.

(2)如果工作人員只帶了一卷尺，他能完成這個任務(wù)嗎？

全體學(xué)生思考,并互相交流每個人的想法,組長收集每組的結(jié)論.

問題2教材探究5

任意畫出一個RtZkABC,使NC=90°,再畫一個RtZ\A'B'C',使NC'=90°,B'C'

=BC,A'B'=AB.

要求:每個學(xué)生都動手畫圖，并剪下所畫的直角三角形,每兩人把剪下的直角三角形,重

疊在一起,觀察它們是否重合.

【教學(xué)說明】教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

教師根據(jù)學(xué)生操作、交流情況,引導(dǎo)學(xué)生一起歸納上述兩個問題的結(jié)果.

對于問題1,(1)方法有:測量斜邊和一個對應(yīng)的銳角(AAS),或測量沒遮住的一條直角邊

和一個對應(yīng)的銳角(ASA或AAS);(2)可以完成這個條件,其依據(jù)正是本節(jié)所要學(xué)的知識，以此

激發(fā)學(xué)生探究的興趣.

對于問題2,歸納得到:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜

邊、直角邊”或“HL”.

例1如圖，已知AC1BC,BDXAD,AC=BD.求證:BC=AD.

【教學(xué)說明】由學(xué)生思考'，交流討論后,指定學(xué)生表述思路,并由教師板書證明過程，引

導(dǎo)學(xué)生正確書寫解題步驟.

證明：：AC，BC,BD±AD,

/.ZC=ZD=90o.

在RtAABC和RtABAD中，

AB=BA,

AC=BD,

.".RtAABC^RtABAD(HL).

例2如圖，兩根長度為12m的繩子,一端系在旗桿上,另一端分別固定在地面兩個木樁

上,兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎?請說明你的理由.

解：相等.理由如下:

由圖形及實際情形可知，AABD和4ACD均為直角三角形.

又AB=AC,AD為公共邊,

/.RtAABD^RtAACD(HL),

.\BD=CD.

例3如圖,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF

相等,兩個滑梯的傾斜角NABC和NDFE的大小有什么關(guān)系？

解：ZABC+ZDFE=90°

在RtaABC和RtADEF中,

BC=EF,

AC=DF,

ARtAABC^RtADEF(HL).

又NDEF+/DFE=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，已知AC±BD于點P,AP=CP,請增加一個條件，使aABP絲ZkCDP,你增加的條件是

（不再添加輔助線）.

2.如圖，已知AB=AC,AD±BC于D,且AABC的周長是50cm,AABD的周長是40cm,則

AD=

3.如圖,ABJ_BD,AB〃DE,AB=CD,AC=CE,那么BC與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并

說明理由.

笫4題圖

4.如圖,AB=AC,AD1BC于點D,AD=AE,AB平分/DAE交DE于點F.請你寫出圖中三對全等

三角形,并選取其中一對加以證明.

【教學(xué)說明】指導(dǎo)學(xué)生解答上述習(xí)題時，強調(diào)學(xué)生應(yīng)：（1）注意應(yīng)用“HL”證三角形全等

時的書寫格式；（2）歸納總結(jié)證明直角三角形全等的判定條件共有幾個？它們分別是什么？

【答案】1.BP=DP或AB=CD或NB=/D或AB/7CD.2.15cm

3.猜想:BC=DE.

證明:VAB1BD,AZABC=90°,又ABADE,AZEDC=ZABC=90°,即AABC和AEDC為直

角三角形.又AB=CD,AC=CE,.?.儻△ABC絲RtZXCDE(HL).，BC=DE.

4.AADB^AADC,AABD^AABE,AABE^AACD,AAFD^AAFE,Z\BFD絲ABFE(寫出三對

即可，可以△ADBg^ADC為例證明，應(yīng)用HL證得）.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.回顧本書所學(xué)知識，鞏固“I1L”的記憶與認(rèn)識，清楚地了解到“HL”是直角三角形全

等所獨有的定理，以直角三角形為前提條件.

2.歸納直角三角形全等的證明定理有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL共五個,在實際解題時能靈

活選用.

【教學(xué)說明】

在總結(jié)直角三角形全等判定定理共有幾個時，鼓勵學(xué)生踴躍思考發(fā)言，發(fā)揮集體智慧得

到完整答案,利于引導(dǎo)學(xué)生形成合作交流意識.

;,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.2”中選取部分題目.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

篁教學(xué)反思

本課時教學(xué)應(yīng)突出學(xué)生主體性原則，即從規(guī)律的探究、例題的學(xué)習(xí)，指引學(xué)生獨立思考,

自主得出，在探究之后，讓學(xué)生相互交流，或上臺展示自己的發(fā)現(xiàn)，或表述個人的體驗，從

中獲取成功的體驗后，激發(fā)學(xué)生探究的激情.

12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時角的平分線的作法及性質(zhì)

「敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.掌握角的平分線的作法.

2.會利用角平分線的性質(zhì).

【過程與方法】

經(jīng)歷折紙、畫圖、文字與符號的翻譯活動，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力.

【情感態(tài)度】

通過實際操作與探究交流,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【教學(xué)重點】

角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

靈活應(yīng)用兩個性質(zhì)解決問題.

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

活動1學(xué)生預(yù)習(xí)教材，掌握角平分線的作法，小組間交流并動手實際畫一畫，總結(jié)出畫

角平分線的步驟.

活動2讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的白紙與剪刀，自己動手，剪一個角，把剪好的角對折,使角的

兩邊疊合在一起,再把紙片展開,看到了什么？

【教學(xué)說明】發(fā)現(xiàn)第一次對折后的折痕是這個角的平分線;再折一次,又會出現(xiàn)兩條折痕,

而且這兩條折痕是等長的.這種方法可以做無數(shù)次,所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對.

請同學(xué)們折出如圖所示的折痕PD、PE,并研究這個圖形中隱含了哪些等量關(guān)系,互相交

流，形成結(jié)論.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.

二、思考探究，獲取新知

由上述活動及交流情況,教師總結(jié)以下新知識：

1.角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

2.到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

【教學(xué)說明】

1.這兩個性質(zhì)的條件和結(jié)論正好相反,分別可以作為證線段相等和證角相等的依據(jù).

2.在用幾何語言表述性質(zhì)時，注意強調(diào)“點到直線的距離”中的垂直條件.

例1如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵

路交叉處500m,這個市場應(yīng)建于何處(在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000)?

【教學(xué)說明】教師提出下列問題，引導(dǎo)學(xué)生理清思路：

(1)集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個

問題？

(2)比例尺為1：20000是什么意思？

(3)圖形上，表示500m的是個什么距離？

例2如圖所示，BD為NABC的平分線，AB=BC,點P、D分別在BF上，PM_LAD于M,PNJ_

CD于N,求證：PM=PN.|

【分析】從一條線引兩條垂線，要證明兩條垂線段相等，可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，將

證線段相等轉(zhuǎn)化為找角平分線，即證角相等.根據(jù)AABD絲即可得證.

【證明】：BD為NABC的平分線，

:.ZABD=ZCBD.

在4ABD和4CBD中，

[AB=CB,

<NABD=NCBD,

BD=BD,

.,.△ABD^ACBD(SAS).

'ZADB=ZCDB.

即射線DP為NADC的平分線.

XVPM1AD,PN±CD,

PM=PN.

例3如圖，點P是NAOB的平分線OM上一點，作PD±OB,PC±OA,

垂足分別是點D、C,點E、F分別在線段0D,0C上，且NPED=/PFC,求

證：0P平分NEPF.

【分析】

欲證OP平分/EPF,可設(shè)法證/OPE=NOPF,而要證NOPE=NOPF,需證NOPD=NOPC和N

DPE=ZCPF.

【證明】

YOP平分NAOB,PD_LOB,PCJ_OA,垂足分別是點D,C,；.PD=PC,

Z0DP=Z0CP=90°.

在RtZV)DP與RtZ\OCP中，<

ARtAODP^RtAOCP(HL).

.*.OD=OC,Z0PD=Z0PC.

在RtAEDP與RtAFCP中,

ZPED=ZPFC,Z0DP=Z0CP=90°,

.?.90°-ZPED=90°-NPFC,即NDPE=NCPF.

，Z0PD-ZDPE=Z0PC-ZCPF,

Z0PE=Z0PF,即OP平分NEPF.

三、運用新知，深化理解

1.角的平分線上的點到這個角的兩邊的相等.

2.如圖，在Z\ABC中,ZA=80°,ZB與NC的平分線相交于點I,則NBIC=

3.已知在AABC中，NB=30°,ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于D,且DEIAB于E,則N

BDE==_______=_______.

【教學(xué)說明】指導(dǎo)學(xué)生解答上述習(xí)題時，應(yīng)適當(dāng)啟發(fā)學(xué)生對角平分線性質(zhì)的靈活運用.

【答案】1.距離2.130°

3.ZEDAZCDAZCAB

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.角平分線的兩個性質(zhì)應(yīng)牢記并應(yīng)用于解題中.

2.與角平分線有關(guān)的求證線段相等,角相等問題,我們可以直接用角平分線性質(zhì)，不必再

利用證三角形全等得到線段相等或角相等.

,'i果后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.3”中選取部分題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

敦與反思

本課時教學(xué)思路按操作、猜想、驗證的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)的必然性，教學(xué)時要始終圍繞問題展開，先從出示問題開始，鼓勵學(xué)生思考、探索問

題中所包含的數(shù)學(xué)知識，再要求學(xué)生開展活動一一折紙，體驗三角形角平分線交于一點的事

實，并得出進一步的猜想和開展新活動一一尺規(guī)作圖，從中猜想結(jié)論并思考證明的方法，整

堂課以學(xué)生操作、探究、合作貫穿始終，并充分給學(xué)生思考留下足夠的空間與時間，形成動

手、合作、概括與解決問題的意識與能力.

第2課時角的平分線的判定

號“教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.掌握角的平分線的判定.

2.會利用三角形角平分線的性質(zhì).

【過程與方法】

通過學(xué)習(xí)角的平分線的判定，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納問題的能力.

【情感態(tài)度】

鍛煉數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點】

A

角平分線的判定.D/

【教學(xué)難點】

UEB

三角形的內(nèi)角平分線的應(yīng)用.

戶教學(xué)國震

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊的距離相等的

點是否在角的平分線上呢？

【教學(xué)說明】如圖所示，已知PD_LOA于D,PE_LOB于E,PD=PE,那么能否得到點P在

ZAOB的角平分線上呢？事實上，在RtAOPD和RtAOPE中，我們利用HL可得到RtAOPD

^RtAOPE.所以NAOP=NBOP,即點P在NA0B的角平分線上.

二、思考探究，獲取新知

三角形內(nèi)角平分線是角平分線的延伸，那如何利用它來解題呢？

例1如圖0是AABC內(nèi)的一點，且0到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE.若/A=70°,

求/BOC的度數(shù).

【分析】由OD=OE=OF,且OD±BC>OE_LAC、OF±AB知，0是4ABC的三角平分線的交點，

所以N1=N2、N3=/4.要求NBOC的度數(shù)，只要求出N1+N3的度數(shù)，即只要求出2(/1+

Z3)=ZABC+ZACB的度數(shù)即可，在aABC中，運用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出NBOC

的度數(shù).

解：：OF_LAB,OD±BC,且OF=OD,

，B0平分NABC,即N1=N2,同理可得N3=N4.A

D

圖①

-ZA)=90°+izA=125".

2

【教學(xué)說明】求三角形中角的度數(shù)，要善于運用角平分線的性質(zhì).

例2如圖①,D、E、F是ZkABC的三條邊上的點，且CE=BF,SMSADBF,

求證：AD平分/BAC.

【分析】由已知條件可知ADCE和4DBF的兩底CE=BF,且它們的面積相圖②

等，所以這兩底上的高應(yīng)該相等.因此過點D作DMXAB,DN1AC,垂足分A

別為M和N,則DM=DN.由角平分線的判定定理可知，AD平分NBAC.

【證明】如圖②，過點D作DMLAB于點M,作DNLAC于點N.FC----4

an11

VSADC^SADBF,即一CE?DN=-BF?DM.

又,.?CE=BF,；.DN=DM,.?.點D在NBAC的平分線上，即AD平分/BAC.

例3如圖所示