Page212024年春期高二期中考試數(shù)學(xué)（理工類）第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某地區(qū)小學(xué)，初中，中學(xué)三個學(xué)段的學(xué)生人數(shù)分別為4800人，4000人，2400人．現(xiàn)接受分層抽樣的方法調(diào)查該地區(qū)中小學(xué)生的“才智閱讀”狀況，在抽取的樣本中，初中學(xué)生人數(shù)為70人，則該樣本中中學(xué)學(xué)生人數(shù)為（）A.42人 B.84人 C.126人 D.196人【答案】A【解析】【分析】設(shè)中學(xué)抽取人數(shù)為，依據(jù)條件，建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)中學(xué)抽取人數(shù)為x則，得故選：A【點睛】本題主要考查了分層抽樣應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的除法即可求解.【詳解】，所以z的虛部為.故選：A.3.已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.（0，4）C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題與它的否定命題真假性相反，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，當(dāng)時，不等式為，明顯成立；所以時，應(yīng)滿意，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C．4.在的二項綻開式中，的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出二項綻開式的通項公式令，即得解；【詳解】由題意，二項綻開式的通項為：令因此二項綻開式中的系數(shù)是：；故選：B.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定的程序框圖，依次計算直到條件被滿意即可作答.【詳解】由程序框圖知，第一次循環(huán)，推斷不成立，，；其次次循環(huán)，推斷不成立，，；第三次循環(huán)，推斷不成立，，；第四次循環(huán)，推斷成立，，；第五次循環(huán)，推斷成立，，；第六次循環(huán)，推斷成立，，，跳出循環(huán)，輸出．故選：B6.某會議有來自6個學(xué)校代表參與，每個學(xué)校有3名代表.會議要選出來自3個不同學(xué)校的3人構(gòu)成主席團，不同的選舉方法數(shù)為（）A.816 B.720 C.540 D.120【答案】C【解析】【分析】先從6個學(xué)校中挑3個學(xué)校用來選舉，然后每個學(xué)校中的三個人中選出1個即，然后利用分步乘法計算即可.【詳解】先從6個學(xué)校中挑3個學(xué)校用來選舉，然后每個學(xué)校中的三個人中選出1個即，則不同的選舉方法數(shù)為.故選：C7.下表是某廠月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份用水量由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來直線方程是，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出樣本中心點，將該點的坐標(biāo)代入回來方程可求得的值．詳解：由題意得．∴樣本中心為．∵回來直線過樣本中心，∴，解得．故選A．點睛：回來直線過樣本中心是一個重要的結(jié)論，利用此結(jié)論可求回來直線中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．由于此類問題常涉及到大量的運算，所以在解題是要留意計算的精確性．8.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)單調(diào)遞增求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合題意將原問題轉(zhuǎn)化為子區(qū)間的問題，得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】詳解：因為，令可得-2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則區(qū)間（2m，m+1）是區(qū)間的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，解得-1≤m<1，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D9.若事務(wù)為兩個互斥事務(wù)，且，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）①②③④A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③【答案】A【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的含義可推斷①；依據(jù)題意可知，從而推斷②；依據(jù)概率的性質(zhì)可推斷③④．【詳解】事務(wù)為兩個互斥事務(wù)，，，故①正確；事務(wù)為兩個互斥事務(wù)，則，，故②錯誤；，故③正確；，故④正確，綜上，①③④正確，故選：A．10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷削減，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)、在放射性同位素銫衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿意函數(shù)關(guān)系：，則銫含量在時的瞬間變更率為（）A.（太貝克/年） B.（太貝克/年）C.（太貝克/年） D.（太貝克/年）【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令即可得到含量在時的瞬間變更率．【詳解】解：依題意，，所以銫含量在時的瞬間變更率為：（太貝克年），故選：．【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算，對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與瞬時變更率，屬于基礎(chǔ)題．11.設(shè)橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為、，P是橢圓上一點，，()，，則橢圓離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，運用橢圓的定義和勾股定理，求得，令，可得，即有，運用二次函數(shù)的最值的求法，解不等式可得所求范圍．【詳解】解：設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由②①，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)或3時，取得最大值，即有，解得：，所以橢圓離心率的取值范圍為.故選：B.【點睛】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的范圍，同時考查不等式的解法，屬于中檔題．12.設(shè)函數(shù)，若不等式僅有1個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式，即，兩邊除以，則，轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點落在直線的下方，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】由函數(shù)的定義域為，不等式，即，兩邊除以，則，留意到直線恒過點，不等式僅有1個正整數(shù)解，即函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點落在直線的下方，由圖象可知，這個點，可得，即，故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，其中解答中轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點落在直線的下方，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若1，2，3，x的平均數(shù)是5，而1，3，3，x，y的平均數(shù)是6，則1，2，3，x，y的方差是________.【答案】24.56【解析】【分析】先求出x和y,再求出1，2，3，x，y的方差.【詳解】由題得，所以.所以1，2，3，x，y的平均數(shù)為，所以1，2，3，x，y的方差為.故答案為：24.56【點睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.14.已知命題，命題.若是的充要條件，則的值是________.【答案】【解析】【分析】解不等式，依據(jù)不等式與不等式的解集相同可求得實數(shù)的值.【詳解】解不等式，即，解得，由于是的充要條件，則不等式的解集為，是關(guān)于的方程的一根，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用充要條件求參數(shù)，考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求參數(shù)，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知曲線C：，直線l：．若當(dāng)時，直線l恒在曲線C的上方，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再分別出，再求函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：當(dāng)時，直線l恒在曲線C的上方，等價于當(dāng)時，恒成立，則.設(shè)，則.時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值，所以，即.故答案為：16.已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點F,則___________．【答案】64【解析】【分析】用字母進(jìn)行一般化探討,先求出切點弦方程,再聯(lián)立化簡,最終代入數(shù)據(jù)計算【詳解】設(shè),點處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處切線方程為設(shè)為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點睛】結(jié)論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知函數(shù)（其中）.（1）求函數(shù)的極值點；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值點為，微小值點為；（2）.【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得極值點；（2）函數(shù)有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點，求出函數(shù)的極值，列不等式即可求得的范圍．【詳解】解：（1）因為函數(shù)，則定義域為，且，令，解得或.當(dāng)變更時，，變更狀況如下表：極大值微小值因此函數(shù)在處取得極大值；在處取得微小值，所以函數(shù)的極大值點為，微小值點為（2）函數(shù)有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點由（1）可知，在處取得極大值；在處取得微小值，因為的圖象與軸有三個交點則，解得故實數(shù)的取值范圍為18.某學(xué)校為打算參與市運動會，對本校甲、乙兩個田徑隊中30名跳高運動員進(jìn)行了測試，并用莖葉圖表示出本次測試30人的跳高成果（單位：）．跳高成果在175以上（包括175）定義為“合格”，成果在175以下定義為“不合格”．鑒于乙隊組隊晚，跳高成果相對較弱，為激勵乙隊隊員，學(xué)校確定只有乙隊中“合格”者才能參與市運動會開幕式旗林隊．（1）求甲隊隊員跳高成果的中位數(shù)；（2）假如將全部的運動員按“合格”與“不合格”分成兩個層次，用分層抽樣抽取“合格”與“不合格”的人數(shù)共5人，則各層應(yīng)抽取多少人？（3）若從全部“合格”運動員中選取2名，用表示所選運動員中能參與市運動會開幕式旗林隊的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）合格人數(shù)為人，不合格人數(shù)為人；（3）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）依據(jù)中位數(shù)的定義求解；（2）首先依據(jù)莖葉圖得到甲、乙兩隊合格人數(shù)與不合格人數(shù)，從而依據(jù)抽樣比求解；（3）首先得到的全部可能取值，然后分別求出相應(yīng)概率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】（1）由莖葉圖知，甲田徑隊12名隊員的跳高成果從小到大排列后中間的兩個成果為、，故中位數(shù)為．【小問2詳解】由莖葉圖可知，甲、乙兩隊合格人數(shù)共有12人，不合格人數(shù)18人，所以，抽取五人，合格人數(shù)為人，不合格人數(shù)為人．【小問3詳解】，，，因此，的分布列如下：

0

1

2

∴.19.如圖，直三棱柱，.（1）證明：；（2）設(shè)為的中點，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)與證明平面.（2）以為原點，分別為非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)是，用空間向量法解決.【小問1詳解】直三棱柱，平面，并且平面，又，且，平面平面，又平面，.【小問2詳解】，，兩兩垂直，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以的中點，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，因所求角為鈍角，所以二面角的余弦值為.20.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點.當(dāng)A為橢圓E的上頂點時,.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）當(dāng)時,試推斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點,并說明理由.【答案】（1）（2）以為直徑的圓不經(jīng)過點,理由見解析【解析】【分析】(1)將直線方程求出來,再帶入向量等式即可求出橢圓方程;(2)聯(lián)立計算出值,即可推斷是否經(jīng)過.【小問1詳解】由題意,得橢圓的半焦距,當(dāng)為橢圓的上頂點時,,設(shè),則,.由,得,,∴,將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程,得，解得.又,∴,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】以AB為直徑的圓不經(jīng)過點,理由如下:依題意,知直線的方程為.聯(lián)立,消去,并整理得.設(shè),,則由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.易知,直線,的斜率都存在且不為0.若以為直徑的圓經(jīng)過點,則，所以直線,的斜率之積為-1,即,而,所以以為直徑的圓不經(jīng)過點.21.已知，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù)有兩個零點，，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，探討參數(shù)的取值范圍即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）解法一：先證：，即證：，令函數(shù)，通過求導(dǎo)推斷單調(diào)性可證明，從而得；解法二：由，令利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，再構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證明，從而有．【詳解】（1）解：∵，∴時，，∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時，，∴時，增區(qū)間為：；時，，，∴時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；（2）解法一：由（1）知，時，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；且時，，，函數(shù)的大致圖像如下圖所示因為時，函數(shù)有兩個零點，，所以，即，不妨設(shè)，則；先證：，即證：因為，所以，又在單調(diào)遞增，所以即證：又，所以即證：，令函數(shù)，，則因為，所以，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，所以因為，所以，，即所以．（2）解法二：因為時，函數(shù)有兩個零點，，則兩個零點必為正實數(shù)，（）等價于有兩個正實數(shù)解；令（）則（），在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且令，，則所以在單調(diào)遞增，又，故，又，所以，又，所以，，又在單調(diào)遞增，所以所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的其次問關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)，層層地分析單調(diào)性，從而證明，再結(jié)合均值不等式求得結(jié)果．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.已知曲線的方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極