8.5空間直線、平面的平行5題型分類一、平行線的傳遞性文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號(hào)語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行二、空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.三、直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言四、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言五、平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β圖形語言六、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行符號(hào)語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言（一）平行線傳遞性的應(yīng)用空間直線平行的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.題型1：平行線傳遞性的應(yīng)用11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且，求證：直線EH與直線FG平行．12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．（二）直線與平面平行的判定利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行線的傳遞性等.題型2：直線與平面平行的判定21．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)．求證：∥平面.22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．證明：平面.

23．（2024高三·遼寧大連·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)證明：平面.（三）直線與平面平行的性質(zhì)線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.題型3：直線與平面平行的性質(zhì)31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為線段的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn).求證：.32．（2024高一·全國·隨堂練習(xí)）木工小羅在處理如圖所示的一塊木料時(shí)，發(fā)現(xiàn)該木料表面內(nèi)有一裂紋，已知平行于平面AC．他打算經(jīng)過點(diǎn)M和棱將木料鋸開，卻不知如何畫線，你能幫助他解決這個(gè)問題嗎？

33．（2024高一·全國·課堂例題）如圖，點(diǎn)A，B分別位于異面直線a，b上，過AB中點(diǎn)O的平面與a，b都平行，M，N分別是a，b上異于A，B的另外兩點(diǎn)，MN與交于點(diǎn)P．求證：P是MN的中點(diǎn)．

34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn)．求證：.（四）平面與平面平行的判定兩個(gè)平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法.解答問題時(shí)一定要尋求好判定定理所需要的條件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.題型4：平面與平面平行的判定41．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，三條直線、、不共面，但交于一點(diǎn)，若，，，那么平面和平面的位置關(guān)系是．42．（2024高一下·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點(diǎn).求證：(1)E、F、D、B四點(diǎn)共面(2)平面平面.43．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖平面，是矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)．當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在指出點(diǎn)位置并證明，若不存在說明理由．44．（2024高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)且平面

(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)給出點(diǎn)的位置，并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由.（五）平面與平面平行的性質(zhì)利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條.(2)判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出).(3)再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上.(4)由定理得出結(jié)論.題型5：平面與平面平行的性質(zhì)51．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點(diǎn)共面，，．求證：.54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置.一、單選題1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直2．（2024高三上·寧夏·期中）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關(guān)系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能3．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）如圖，四面體中，分別為的中點(diǎn)．則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B．C．平面 D．平面4．（2024高一上·陜西渭南·期末）下列選項(xiàng)中，能判定平面和平面平行的是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線都與平行 B．內(nèi)的任意一條直線都與平行C．與垂直于同一平面 D．與平行于同一直線5．（2024高一下·福建福州·期末）已知直線m，n和平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，，， D．，6．（2024高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．7．（2024高一下·遼寧錦州·階段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足平面，則（

）A． B． C． D．8．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)是平面的中心，點(diǎn)是平面的對(duì)角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長為（

）A． B． C． D．9．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）在正六棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2024高二下·陜西榆林·期末）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，若，，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C．是兩條異面直線 D．11．（2024高三上·山東濱州·期末）平面與平面平行的充要條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面C．，平行于同一條直線 D．內(nèi)有兩條相交直線都與平行12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形是（

）

A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形13．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，，則（

）A． B．或C． D．或14．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）15．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定16．（2024高三上·河北衡水·期末）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知在棱長均為的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．18．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）在空間中，直線平面的一個(gè)充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．任意一條與垂直的直線都垂直于 D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過19．（2024高三上·湖南湘潭·開學(xué)考試）已知直三棱柱的側(cè)棱和底面邊長均為分別是棱上的點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．20．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．二、多選題21．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，過EF的平面截三棱錐得到的截面為，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）

A． B．C．平面 D．平面22．（2024高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，截面是正方形，則下列判斷正確的是（

）

A． B．平面C． D．點(diǎn)B，D到平面的距離不相等．23．（2024高一下·江蘇鹽城·期中）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線AF異面 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D．點(diǎn)C和點(diǎn)B到平面的距離相等24．（2024高三上·湖南衡陽·期末）若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（

）A．重合 B．相交于一點(diǎn) C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行25．（2024高三上·江西南昌·開學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

26．（2024高一下·重慶酉陽·階段練習(xí)）已知、是兩條互相平行的直線，是一個(gè)平面．若要使得，則需添加下列哪些條件（

）A． B． C． D．三、填空題27．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，分別為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，.

28．（2024高二上·上海閔行·期末）已知表示三個(gè)不同的平面，若，且，則直線，的位置關(guān)系是.29．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，寫出滿足條件的一個(gè)平面：（1）與平面平行的平面為；（2）與平面平行的平面為；（3）與平面平行的平面為．30．（2024高三上·上海浦東新·期中）如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則．

31．（2024高一下·全國·單元測試）A是所在平面外一點(diǎn)，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，并且平面BCD，當(dāng)時(shí)，．

32．（2024高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，且，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)使得平面，則長度為.33．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知，，是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法：①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③若平面，平面，則，一定是異面直線；④若，與成等角，則．其中正確的說法是（填序號(hào)）．34．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是.35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）若直線，c，d為不重合的兩條直線，且，，則c與d的位置關(guān)系是．36．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系是．37．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，，若點(diǎn)N在平面內(nèi)，且平面，則點(diǎn)N的位置是．（寫出一種即可）38．（2024高一下·北京西城·期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P滿足條件時(shí)，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個(gè)滿足題意的條件即可)39．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為棱上的點(diǎn)，，且平面，則.40．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為線段，上的點(diǎn)，，若平面，則.41．（2024高一下·湖北襄陽·階段練習(xí)）正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)，分別在和上，并且，平面，則線段的長為．42．（2024高二下·河南·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是上底面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則點(diǎn)的軌跡長為.43．（2024高二上·北京海淀·階段練習(xí)）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).給出下列四個(gè)推斷：

①平面；②平面；③平面；④平面平面，其中推斷正確的序號(hào)是.44．（2024高二上·上海浦東新·期中）如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則.45．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判斷兩個(gè)平面α與β平行的條件有個(gè)．46．（2024高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形序號(hào)是．（寫出所有符合條件的序號(hào)）47．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是.48．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知S是等邊△ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是．四、解答題49．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

50．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，從平面外一點(diǎn)，引射線、、，在它們上面分別取點(diǎn)、、，使得．(1)畫出平面并判斷兩個(gè)平面的位置關(guān)系；(2)若點(diǎn)到平面的距離為2，求點(diǎn)到平面的距離．51．（2024高三上·江蘇連云港·期中）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面平面，H為的中點(diǎn)，，，，求該幾何體的體積.52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E．求證：.

53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點(diǎn)．54．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知正方體，點(diǎn)E為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F為中點(diǎn)．55．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

56．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，是棱長為正方體的棱上的一點(diǎn)，且平面，求線段的長．57．（2024高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．

(1)證明：直線平面；(2)若該四棱柱的體積為，求的長．58．（2024高一·浙江杭州·期末）如圖，點(diǎn)S是所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且．求證：平面．

59．（2024高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)設(shè)，，求點(diǎn)D到平面的距離.60．（2024高一下·福建寧德·期末）在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點(diǎn).(1)求證：平面BDE.(2)求三棱錐的體積61．（2024高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．62．（2024高一·全國·課堂例題）如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，平面平面，平面．求證：

(1)；(2)N為AC的中點(diǎn)．63．（2024高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．64．（2024高二上·天津靜海·階段練習(xí)）如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，E、F分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的余弦值．65．（2024高一下·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點(diǎn)E在線段上，平面.（1）求線段的長；（2）若平面平面，，直線與平面所成的角為，，求三棱錐的表面積.66．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，的各邊對(duì)應(yīng)平行于的各邊，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且，試判斷EF與的位置關(guān)系，并說明理由．67．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．68．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果，，那么與之間具有什么關(guān)系？69．（2