第一章

集合與常用邏輯用語

1.4.2充要條件授課教師：某某中學(xué)數(shù)學(xué)教研組

某某

2024年某月某日12345678910溫故知新教學(xué)要求情景導(dǎo)入新知探究教材例題課堂練習(xí)課堂小結(jié)作業(yè)布置課后培優(yōu)備選試題內(nèi)容索引溫故知新1命題：一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p,則q”"如果p,那么q"等形式.p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.溫故知新1如果“若p,則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作p?q.此時(shí)，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.一般地，“若p,則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可以推出q,記作p?q,并且說，p是q的充分條件(sufficientcondition),q是p的必要條件(necessarycondition).【課標(biāo)要求1】通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義.【課標(biāo)要求2】理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.【素養(yǎng)要求】針對(duì)充要條件問題，通過幾個(gè)數(shù)學(xué)定義的研究比較，學(xué)生經(jīng)歷梳理知識(shí)、提煉定義、感悟思想的學(xué)習(xí)過程，提升邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教學(xué)要求2情景導(dǎo)入3在初中我們知道：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形;(2)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；(3)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形;(4)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；(5)對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形;(6)平行四邊形的對(duì)角線互相平分.你能說出命題(1)與(2)、(3)與(4)、(5)與(6)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？提示：命題(1)與(2)、(3)與(4)、(5)與(6)的條件與結(jié)論恰好互換了.新知探究4探究一：逆命題的概念探究二：充要條件一二探究問題1探究一：逆命題的概念提出問題逆命題：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.2探究一：逆命題的概念突破問題1.下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題?(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0;(4)若AUB是空集，則A與B均是空集.提示：上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.3探究一：逆命題的概念升華問題1.兩個(gè)命題的條件和結(jié)論剛好反過來，兩個(gè)命題就成為互逆命題，其中一個(gè)叫原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題.2.原命題和逆命題之間的真假關(guān)系并不總是對(duì)應(yīng)的，也就是說原命題為真并不意味著其逆命題也為真，同理原命題為假也并不意味著其逆命題為假.1探究二：充要條件提出問題給出以下兩個(gè)“若p，則q”形式的命題并回答問題：①若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等.②若m≤0.25，則關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根.1.你能判斷這兩個(gè)命題的真假嗎？2.你能寫出它們的逆命題，并判斷其真假嗎？提示：命題①是真命題，②是真命題.提示：①逆命題：若兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等，是真命題.②逆命題：若關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0有實(shí)根，則m≤0.25，是真命題.1探究二：充要條件提出問題在上述問題1的兩個(gè)命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？你能用數(shù)學(xué)語言概括出來嗎？提示：p是q的充分條件，也是必要條件；q是p的充分條件，也是必要條件.“p?q且q?p”(即p?q)，p是q的充要條件.充要條件：如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題，即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件(sufficientandnecessarycondition),顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.2探究二：充要條件突破問題1.判定下列說法是否正確，并說明理由.(1)如果原命題“若p，則q”與其逆命題都為真，那么p是q的充要條件.(2)若p是q的充要條件，則p是唯一的.(3)兩個(gè)三角形相似的充要條件是兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.(4)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要條件.提示：(1)正確，滿足充要條件的定義.(2)錯(cuò)誤，p與q等價(jià)，但p不一定唯一.(3)正確，滿足充要條件的定義.(4)錯(cuò)誤，“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分條件.2探究二：充要條件突破問題下面我們對(duì)(4)“xy>0”是“x>0，y>0”的充要條件.進(jìn)一步進(jìn)行分析.提示：因?yàn)閤y>0?x>0，y>0，所以xy>0不是x>0，y>0的充分條件；因?yàn)閤>0，y>0?xy>0，所以xy>0是x>0，y>0的必要條件.所以“xy>0”是“x>0，y>0”成立的必要不充分條件.如：“1<x<2”是“x≤2”的什么條件？提示：“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要條件.3探究二：充要條件升華問題1.充要條件的等價(jià)說法：p是q的充要條件又常說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或p與q等價(jià).2.條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：（1）p?q，且q?p，p是q的充分不必要條件.（2）q?p，且p?q,p是q的必要不充分條件.（3）p?q，且q?p，即p?q,p是q的充要條件.（4）p?q，且q?p,p是q的既不充分也不必要條件.4探究二：充要條件及時(shí)訓(xùn)練4探究二：充要條件及時(shí)訓(xùn)練4探究二：充要條件及時(shí)訓(xùn)練教材例題5教材例題5教材例題5課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂練習(xí)6課堂小結(jié)7逆命題：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.充要條件：如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題，即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件(sufficientandnecessarycondition),顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.課堂小結(jié)7條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：（1）p?q，且q?p，p是q的充分不必要條件.（2）q?p，且p?q,p是q的必要不充分條件.（3）p?q，且q?p，即p?q,p是q的充要條件.（4）p?q，且q?p,p是q的既不充分也不必要條件.作業(yè)布置81.教材第22頁練習(xí)1、2、3.課后培優(yōu)9課后培優(yōu)9