人教版高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（一）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚，3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?jiān)嚲砩洗痤}無效.4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.12.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7 B.7.5 C.8 D.93.設(shè)為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.已知在平行四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如果，，那么向量（）A. B.C. D.5.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.7.如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A.B.C.D.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為＝﹣1﹣iC.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個(gè)根10.某市教體局對全市高三年級的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們的身高都處在，，，，五個(gè)層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計(jì)圖表，則下面敘述正確的是（）A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B.樣本中層人數(shù)最多C.樣本中層次男生人數(shù)為6人D.樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)11.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨(dú)立，那么，D.如果與相互獨(dú)立，那么，12.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.若點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則B.點(diǎn)到平面的距離為C.直線與平面所成的角等于D.三棱柱外接球的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且，則________.14.已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.15.已知，，，則與的夾角為________.16.如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.18.已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，______，求的正弦值．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并作答．19.在四面體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，且，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角.20.溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分．在競賽中，甲、乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問題正確的概率分別為，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．（1）分別求甲隊(duì)總得分為3分與1分的概率；（2）求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率．21.如圖，在三棱錐中，底面，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn).（1）求證：平面平面.（2）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積.22.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué)．為了了解高一學(xué)生的選科意向，某學(xué)校對學(xué)生所選科目進(jìn)行線上檢測，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖；（i）求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)；（ii）估計(jì)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）為了進(jìn)一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學(xué)、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生來自不同組的概率．答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1【答案】B【分析】本題先將化簡為的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的定義建立方程求參數(shù).【詳解】解：∵是純虛數(shù)，∴，解得：，故選：B.【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式以及純虛數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.2.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7 B.7.5 C.8 D.9【答案】C【分析】把該組數(shù)據(jù)從小到大排列，計(jì)算，從而找出對應(yīng)的第80百分位數(shù)；【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，7，8，9，且，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的百分?jǐn)?shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【分析】利用空間線線、線面、面面間的關(guān)系對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解．【詳解】若，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；若，，則由直線與平面垂直的判定定理知，故正確；若，，則或，故錯(cuò)誤；若，，則，或，或與相交，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．4.已知在平行四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如果，，那么向量（）A. B.C. D.【答案】B【分析】作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基底分解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，根據(jù)其表面積為，得到，再由它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線為，因?yàn)槠浔砻娣e為，所以，即，又因?yàn)樗膫?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的面積、周長、圓錐的側(cè)面積及體積等知識點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.6.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題先將所有的基本事件都列出來共9種，再將田忌的馬獲勝的事件選出共3種，最后計(jì)算概率即可.【詳解】解：設(shè)田忌的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，齊王的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場比賽產(chǎn)生的基本事件為：，，，，，，，，，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：，，，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，是基礎(chǔ)題.7.如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計(jì)算出.【詳解】在中，，為直角，則，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分點(diǎn)在、軸進(jìn)行分類討論，可得出點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，由此可得出點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：①若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對稱，此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)；②若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對稱，此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè).綜上所述，滿足題中條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求解，考查了平面向量加法法則的應(yīng)用，屬于中等題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為＝﹣1﹣iC.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個(gè)根【答案】ABCD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求出，可知正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求出，可知正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知正確；將代入方程成立，可知正確.【詳解】因?yàn)椋?﹣i）z＝2i，所以，所以，故正確；所以，故正確；由知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，它在第二象限，故正確；因，所以正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模長公式，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.10.某市教體局對全市高三年級的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們的身高都處在，，，，五個(gè)層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計(jì)圖表，則下面敘述正確的是（）A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù) B.樣本中層人數(shù)最多C.樣本中層次男生人數(shù)為6人 D.樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直方圖和餅圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【詳解】樣本中女生人數(shù)為：，男生數(shù)為，正確；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；故正確；樣本中層次男生人數(shù)為：，正確；樣本中層次男生人數(shù)：，女生人數(shù)為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖表，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨(dú)立，那么，D.如果與相互獨(dú)立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)在前提下，計(jì)算出，，即可判斷；B選項(xiàng)在與互斥前提下，計(jì)算出，，即可判斷；C、D選項(xiàng)在與相互獨(dú)立前提下，計(jì)算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項(xiàng)：如果，那么，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如果與互斥，那么，，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨(dú)立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎(chǔ)題.12.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.若點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則B.點(diǎn)到平面的距離為C.直線與平面所成的角等于D.三棱柱的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)：通過平行的傳遞性得到結(jié)論；B選項(xiàng)：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為，進(jìn)一步得到答案;C選項(xiàng)：根據(jù)直線與平面所成的角為∠，進(jìn)一步得出結(jié)論；D選項(xiàng)：根據(jù)三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，進(jìn)一步得到答案.【詳解】A選項(xiàng)：若點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則又∵所以，故A正確；B選項(xiàng)：連接交于點(diǎn)，由題易知點(diǎn)到平面的距離為，∵正方體的棱長為1，∴，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：易知直線與平面所成的角為∠，∴∠，故C正確；D選項(xiàng)：易知三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，∴∴表面積為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，通過線線平行、點(diǎn)到面的距離、線面角，以及外接球的知識點(diǎn)來考查，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得的值進(jìn)而求得．【詳解】，，，，由于為三角形內(nèi)角，可得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦．14.已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.【答案】(1).19(2).8【解析】【分析】由題意結(jié)合平均數(shù)公式和方差公式計(jì)算即可得解.【詳解】由已知條件可得，，所以數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，方差為故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知，，，則與的夾角為________.【答案】【解析】【分析】本題先求，，，再根據(jù)化簡整理得，最后求與的夾角為.【詳解】解：∵，，∴，，，∵，∴整理得：，∴與的夾角為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用數(shù)量積的定義與運(yùn)算求向量的夾角，是基礎(chǔ)題.16.如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，證明出，，可得出面角的平面角為，計(jì)算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：，為的中點(diǎn)，則，且，，，同理可得，且，所以，二面角的平面角為，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二面角余弦值的計(jì)算，考查二面角的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)?，所以可以設(shè)求出坐標(biāo)，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計(jì)算出與坐標(biāo)（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關(guān)于的方程，完成本題.【詳解】（1）法一:設(shè)，則，所以解得所以或法二:設(shè)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以解得或，所以或?）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【點(diǎn)睛】考查了向量的線性表示，引入?yún)?shù)，只要我們能建立起引入?yún)?shù)的方程，則就能計(jì)算出所求參數(shù)值，從而完成本題.18.已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，______，求的正弦值．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并作答．【答案】（1），；（2）選①，；選②，.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進(jìn)而可求得的面積；（2）選①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進(jìn)而可求得的正弦值；選②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，再利用兩角和的正弦公式可求得的值.【詳解】（1）由余弦定理得，整理得，，解得，；（2）選①，如下圖所示：在中，由正弦定理得，可得，在中，，則，所以，；選②，在中，由正弦定理得，可得，由于為銳角，則，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了三角形內(nèi)角正弦值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19.在四面體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，且，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知和，得到即為異面直線與所成的角，在中，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）由（1）知，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）.在中，，所以為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記線面平行的判定定理和異面直線所成角的概念，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.20.溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分．在競賽中，甲、乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問題正確的概率分別為，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．（1）分別求甲隊(duì)總得分為3分與1分的概率；（2）求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）記“甲隊(duì)總得分為3分”為事件，記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件，甲隊(duì)得3分，即三人都回答正確，甲隊(duì)得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯(cuò)，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲隊(duì)總得分為3分與1分的概率．（2）記“甲隊(duì)得分為2分”為事件，記“乙隊(duì)得分為1分”為事件，事件即甲隊(duì)三人中有2人答對，其余1人答錯(cuò)，事件即乙隊(duì)3人中只有1人答對，其余2人答錯(cuò)，由題意得事件與事件相互獨(dú)立，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率．【詳解】解：（1）記“甲隊(duì)總得分為3分”為事件，記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件，甲隊(duì)得3分，即三人都回答正確，其概率為，甲隊(duì)得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯(cuò)，其概率為．甲隊(duì)總得分為3分與1分的概率分別為，．（2）記“甲隊(duì)得分為2分”為事件，記“乙隊(duì)得分為1分”為事件，事件即甲隊(duì)三人中有2人答對，其余1人答錯(cuò)，則，事件即乙隊(duì)3人中只有1人答對，其余2人答錯(cuò)，則，由題意得事件與事件相互獨(dú)立，甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21.如圖，在三棱錐中，底面，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn).（1）求證：平面平面.（2）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明，再證明，從而證明平面，最后證明平面平面；（2）先判斷點(diǎn)為的中點(diǎn)，再判斷三棱錐的體積等于三棱錐的體積，最后求體積即可.【詳解】（1）證明：因底面，且底面，所以.因?yàn)?，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所?因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).法一：由題意知點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以.所以三棱錐的體積為.法二：因?yàn)槠矫妫深}意知點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等.所以，又，，，，由（1）知，，又，且，所以平面，所以.所以三棱錐體積為.法三：又，，，，由（1）知：平面，且.所以.所以三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，三棱錐的體積，是中檔題.22.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué)．為了了解高一學(xué)生的選科意向，某學(xué)校對學(xué)生所選科目進(jìn)行線上檢測，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖；（i）求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)；（ii）估計(jì)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）為了進(jìn)一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學(xué)、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)7組頻率和為1列方程可解得結(jié)果；（2）（i）根據(jù)前三組頻率和為，前四組頻率和為可知中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)即可解得結(jié)果；（ii）利用各組的頻率乘以各組的中點(diǎn)值，再相加即可得解；（3）根據(jù)分層抽樣可得從成績在[220，240）的組中應(yīng)抽取人，從成績在[260，280）的組中應(yīng)抽取人，再用列舉法以及古典概型的概率公式可得解.【詳解】（1）由，得；（2）（i）因?yàn)椋?，所以中位?shù)在，設(shè)中位數(shù)為，所以，解得，所以物理、化學(xué)、生物三科總分成績的中位數(shù)為；（ii）這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績的平均數(shù)為（3）物理、化學(xué)、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中的人數(shù)分別為：人，人，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知，從成績在[220，240）的組中應(yīng)抽取人，記為，從成績在[260，280）的組中應(yīng)抽取人，記為，從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有基本事件為：，，共有種，其中這2名學(xué)生來自不同組的共有種，根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)，考查了利用直方圖求參數(shù)，考查了分層抽樣，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.人教版高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（二）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知向量，，且與共線，則實(shí)數(shù)x的值是（）A. B. C. D.2.一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖的面積為1，則原梯形的面積為（）A.1 B. C.2 D.3.設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則4.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，故每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；據(jù)此估計(jì)，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（）A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.65.將一個(gè)棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱中，，，則直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.7.在平行四邊形中，，若交于點(diǎn)M.且，則（）A. B. C. D.8.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo).常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學(xué)分別隨機(jī)抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（）A.1.75 B.1.85 C.1.95 D.2.05二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.9.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.z的實(shí)部為1C. D.10.是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是單位向量 B.C. D.11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B.M與N不對立C.M與N相互獨(dú)立 D.12.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面C.與平面所成的角的大小為45°D.平面將正方體分成兩部分的體積的比為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，若向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是______________.14.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.15.如圖，要計(jì)算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.16.在中，，E，F(xiàn)是邊的三等分點(diǎn)，若，則_______________四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，，求周長.18.某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.19.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間距離.20.如圖所示，在中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，，.（1）求長；（2）若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.21.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)M，在點(diǎn)M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)N，在點(diǎn)N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點(diǎn)投中的概率都為p，在N點(diǎn)投中的概率都為q.且在M，N兩點(diǎn)處投中與否互不影響.設(shè)定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊(duì)”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率.22.如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角余弦值.答案解析第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知向量，，且與共線，則實(shí)數(shù)x的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，然后根據(jù)與共線建立方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以因?yàn)榕c共線，所以，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是向量共線在坐標(biāo)形式下的表示，屬于基礎(chǔ)題.2.一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖的面積為1，則原梯形的面積為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個(gè)直角梯形，從而可求出其面積【詳解】解：把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，如圖所示，設(shè)原來梯形的上底為，下底為，高為，則直觀圖中等腰梯形的高為，因?yàn)橹庇^圖的面積為，所以，所以原梯形的面積為，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的直觀圖的畫法與應(yīng)用問題，掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】D【解析】【分析】A.由或異面判斷；B.由或相交判斷；C.由則或判斷；D.由面面垂直的性質(zhì)判斷.【詳解】A.若，，則或異面，故錯(cuò)誤；B.若，，，，則或相交，故錯(cuò)誤；C.若，，則或，故錯(cuò)誤；D.若，，，則，又，所以，故正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.4.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，故每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；據(jù)此估計(jì)，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（）A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6【答案】C【解析】【分析】這是一個(gè)古典概型，已知基本事件的總數(shù)為20種，然后從中找出3次射擊至少2次擊的基本事件的種數(shù)，代入公式求解.【詳解】基本事件的總數(shù)為20種，其中3次射擊至少2次擊的基本事件有162151271932408471333027730163039共11種，所以3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.5.將一個(gè)棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，球體最大體積直徑為棱長，利用球的體積公式即可求解.【詳解】正方體的棱長為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的內(nèi)切球、球的體積公式，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知正四棱柱中，，，則直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求出答案即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎睦庵?，，，所以所以所以，所以直線和所成的角的余弦值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)水平，屬于基礎(chǔ)題.7.在平行四邊形中，，若交于點(diǎn)M.且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知找到相似三角形，用向量、線性表示向量.【詳解】如圖，平行四邊形中，，，，.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.8.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評價(jià)他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo).常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學(xué)分別隨機(jī)抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（）A.1.75 B.1.85 C.1.95 D.2.05【答案】C【解析】【分析】設(shè)乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，根據(jù)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8、方差為2.2可得，再根據(jù)方差的公式可求20個(gè)數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設(shè)甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，故這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為，因?yàn)橐业玫绞皇忻竦男腋８兄笖?shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，，故，而，故，而，故所求的方差為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算，注意樣本數(shù)據(jù)的方差為，也可以是，本題屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.9.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.z的實(shí)部為1C. D.【答案】BC【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解：由，得，所以z的實(shí)部為1，，，故選：BC【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題10.是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是單位向量 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運(yùn)算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷.【詳解】A.因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因?yàn)?，，所以，所以，故正確；C.因，所以，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.M與N互斥 B.M與N不對立C.M與N相互獨(dú)立 D.【答案】BCD【解析】【分析】相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A：事件與是可能同時(shí)發(fā)生的，故與不互斥，選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)：事件與不互斥，不是對立事件，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨(dú)立.對于選項(xiàng)：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項(xiàng)正確.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機(jī)事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.12.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面C.與平面所成的角的大小為45°D.平面將正方體分成兩部分的體積的比為【答案】ACD【解析】【分析】如圖，計(jì)算可得分別為所在棱的中點(diǎn)，利用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，計(jì)算出直線與平面所成的角為后可得C正確，而幾何體為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.【詳解】如圖，連接，則，故棱與球面沒有交點(diǎn).同理，棱與球面沒有交點(diǎn).因?yàn)槔馀c棱之間的距離為，故棱與球面沒有交點(diǎn).因?yàn)檎襟w的棱長為2，而，球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，所以棱與球面各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖各記為.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，故為棱的中點(diǎn).同理分別為棱的中點(diǎn).由正方形、為所在棱的中點(diǎn)可得，同理，故，故共面.由正方體可得，故因?yàn)槠矫?，平面，故平面，故A正確.因?yàn)樵谥苯侨侵?，，，，與不垂直，故與不垂直，故平面不成立，故B錯(cuò)誤.由正方體可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，因?yàn)?，故平面，所以為直線與平面所成的角，而，故直線與平面所成的角為，因?yàn)椋逝c平面所成的角的大小為45°.故C正確.因?yàn)榉謩e為所在棱的中點(diǎn)，故幾何體為三棱柱，其體積為，而正方體的體積為8，故平面將正方體分成兩部分的體積的比為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計(jì)算和體積的計(jì)算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點(diǎn)，本題屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，若向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是______________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，對?yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及平面向量的減法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.15.如圖，要計(jì)算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.【答案】【解析】【分析】在中，根據(jù)，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得：，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16.在中，，E，F(xiàn)是邊的三等分點(diǎn)，若，則_______________【答案】【解析】【分析】以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到平行四邊形ABCD是菱形，則，設(shè)，利用勾股定理分別求得，的長度，在中利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，則，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以平行四邊形ABCD是菱形，所以，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，，求的周長.【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理以及兩角和的正弦公式，再結(jié)合，即可得的值.（2）利用向量數(shù)量積定義知，可得，再利用余弦定理，可求，即可得周長.【詳解】（1）由正弦定理，得.∴，即又，∴.（2）∵∴由余弦定理，得即解得.∴的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題.18.某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積代表概率，所以所有小矩形面積之和等于，即可得a的值，成績在以下的頻率為，成績在分以下的頻率為，第80百分位數(shù)，.（2）先利用頻率之比求出，的兩組中應(yīng)抽的人數(shù)，然后列出從這6人中隨機(jī)抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成績在內(nèi)包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.【詳解】（1）由題意可知，解得.∵，，，，∴成績在分以下的頻率為，成績在分以下頻率為，∴第80百分位數(shù)，..（2）∵，的頻率之比為∴從中隨機(jī)抽取人.從中隨機(jī)抽取人.從中隨機(jī)抽取的4人記為1，2，3，4，從中隨凱抽取的2人記為a，b，從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣木空間為，共有15個(gè)樣本點(diǎn)，.設(shè)事件“至少有1人的成績在內(nèi)”，則，共有9個(gè)樣本點(diǎn).∴.∴至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，以及古典概率的計(jì)算，屬于中檔題.19.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，AE∥平面，且，即可證得平面平面；（2）先將平面與平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到面的距離，然后把當(dāng)作頂點(diǎn)求出總體積，再把當(dāng)作頂點(diǎn)利用等體積法建立方程，即可求出點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）證明：∵正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴∥，=∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面，平，∴平面.∵∥，=∴四邊形是平行四邊形.∴.又平向，平面，∴AE∥平面.又∵，∴平面平面.（2）平面與平面之間的距離也就是點(diǎn)B到面的距離，設(shè)為h，∵正方體的棱長為2，∴，，∴的面積∴三棱錐的體積，.又三棱錐的體積.由可得，解得.∴平面與平面之間的距離為.【點(diǎn)睛】此題考查空間位置關(guān)系、面面距離的計(jì)算、面面平行的判定、等體積求距離，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題20.如圖所示，在中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且，，.（1）求的長；（2）若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）在中，首先利用兩角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解.（2）的面積，設(shè)，，由為銳角角形，即，即求.【詳解】解：（1）在中，∴.∴.在中，由正弦定理，得，即.（2）由題設(shè)知的面積.在中，由正弦定理，得設(shè)，則.∴為銳角角形，∴，，又，∴.∴.∴，從而.∴的面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)M，在點(diǎn)M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)N，在點(diǎn)N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點(diǎn)投中的概率都為p，在N點(diǎn)投中的概率都為q.且在M，N兩點(diǎn)處投中與否互不影響.設(shè)定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊(duì)”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，，，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，，，，分別表示在一次比賽中乙得分的事件，由題意結(jié)合在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為，由求解.（2）由題意知：，，，，設(shè)“星隊(duì)”在一次比賽屮的總得分為5分”，則，然后利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解.【詳解】（1）設(shè)，，，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，，，，分別表示在一次比賽中乙得分的事件.因?yàn)樵谝淮伪荣愔屑椎?分的概率為，乙得5分的概率為，所以.解得，.（2）由已知得，，，，設(shè)““星隊(duì)”在一次比賽屮的總得分為5分”，則，則，，，，所以“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率是.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.22.如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，連接交于點(diǎn)O，證明平面即可；（2）延長，，設(shè)，連接，可得是平面與平面的交線，作，垂足為H，連接，然后證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，然后求出即可.【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，易求.∴四邊形為菱形.連接交于點(diǎn)O，則.∴在圖2中，，.又，∴平面.又平面，∴.（2）解：在圖2中延長，，設(shè)，連接.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線.∵平面平面，，平面平面，∴平面.又平面，∴.作，垂足為H，連接.又，∴平面，又平面，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴.∵，∴，解得在中，.∴∴平面與平面所成銳二面角余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查的是線面垂直的證明和面面垂直的性質(zhì)、二面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.人教版高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（三）（本試卷4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置；2.作答選擇題時(shí)：選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上；非選擇題必須用黑色字跡的專用簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效；3.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且（其中是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有名志愿者服用此藥，體重變化結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)如果另有一人服用此藥，估計(jì)這個(gè)人體重減輕的概率約為（）A. B. C. D.3.若圓錐的底面半徑與高均為，則圓錐的表面積等于（）A. B. C. D.4.隨機(jī)擲兩枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”為事件，記“向上的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)”為事件，則（）A. B.C.互斥但不對立 D.對立5.在中，，，，則（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，上下底面均為等腰直角三角形，且平面，若該三棱柱存在內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.7.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）A. B. C. D.8.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中不正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，，則下述正確的是（）A. B.直線與異面C. D.三點(diǎn)共線10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的編號為的名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題：您的編號是否為奇數(shù)？問題：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機(jī)從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球個(gè)，紅球個(gè)）中摸出一個(gè)小球：若摸出白球則回答問題，若摸出紅球則回答問題，共有人回答“是”，則下述正確的是（）A.估計(jì)被調(diào)查者中約有人吸煙 B.估計(jì)約有人對問題的回答為“是”C.估計(jì)該地區(qū)約有的中學(xué)生吸煙 D.估計(jì)該地區(qū)約有的中學(xué)生吸煙11.如圖，在平行四邊形中，分別為線段的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.12.如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（）A.平面B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.三棱錐外接球的體積為三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．14.在三棱錐中，若平面平面，且.則直線與平面所成角的大小為_____________.15.設(shè)角是的三個(gè)內(nèi)角，已知向量，，且.則角的大小為_____________.16.某人有把鑰匙，其中把能打開門，如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為_____________；如果試過的鑰匙又混進(jìn)去，第二次才能打開門的概率為_____________.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（1）求；（2）隨機(jī)從復(fù)數(shù)中有放回的先后任取兩個(gè)復(fù)數(shù)，求所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等于的概率.18.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面平面，為線段上的一點(diǎn)，，是等邊三角形.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）證明：平面平面.19.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并進(jìn)行作答.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）求周長和面積.20.如圖，在半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，為中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.21.有一種魚身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的（即百萬分之一）時(shí)，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害.現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（2）有，兩個(gè)水池，兩水池之間有個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過條魚.（ⅰ）將其中汞的含量最低的條魚分別放入水池和水池中，若這條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（ⅱ）將其中汞的含量最低的條魚都先放入水池中，若這條魚均會獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由水池進(jìn)入水池且不再游回水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入水池的概率.22.某學(xué)校高一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，成績均在分到分之間.學(xué)生成績頻率分布直方圖如圖：（1）估計(jì)這名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到）（2）某老師抽取了名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若剔除其中的和兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.（參考公式：）（3）該學(xué)校有座構(gòu)造相同教學(xué)樓，各教學(xué)樓高均為米，東西長均為米，南北寬均為米.其中號教學(xué)樓在號教學(xué)樓的正南且樓距為米，號教學(xué)樓在號教學(xué)樓的正東且樓距為米.現(xiàn)有種型號的考試屏蔽儀，它們的信號覆蓋半徑依次為米，每個(gè)售價(jià)相應(yīng)依次為元.若屏蔽儀可在地下及地上任意位置安裝且每個(gè)安裝費(fèi)用均為元，求讓各教學(xué)樓均被屏蔽儀信號完全覆蓋的最小花費(fèi).（參考數(shù)據(jù)：）答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)為，且（其中是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法求，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求得【詳解】∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)，應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，并由共軛復(fù)數(shù)的概念求所得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，屬于簡單題2.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有名志愿者服用此藥，體重變化結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)如果另有一人服用此藥，估計(jì)這個(gè)人體重減輕的概率約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)得：估計(jì)這個(gè)人體重減輕的概率約為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.3.若圓錐的底面半徑與高均為，則圓錐的表面積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑與高均為，利用勾股定理求得圓錐的母線長，然后由圓錐的表面積公式求解.【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑與高均為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的表面積等于，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的幾何特征和表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.4.隨機(jī)擲兩枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”為事件，記“向上的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)”為事件，則（）A. B.C.互斥但不對立 D.對立【答案】D【解析】【分析】把事件、的情況一一列出，即可判斷.【詳解】解：包括：兩枚骰子都出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其和是偶數(shù)；兩枚骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其和是偶數(shù)；包括：一枚骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，另一枚骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其差奇數(shù)；故事件、對立.故選：D.【點(diǎn)睛】考查兩個(gè)事件之間關(guān)系的判斷，基礎(chǔ)題.5.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出，再在中，由，即可求出的值.【詳解】解：由題可知，在中，，，，如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，，則，在中，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，屬于基礎(chǔ)題.6.在三棱柱中，上下底面均為等腰直角三角形，且平面，若該三棱柱存在內(nèi)切球，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知，，，由三角形內(nèi)切圓的半徑公式，可得內(nèi)切圓的半徑，而內(nèi)切球的半徑，棱柱的高，再由平面，可推出該三棱柱為直三棱柱，故．【詳解】由題可知，為等腰直角三角形，，，，內(nèi)切圓的半徑，此三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑，且棱柱的高，平面，該三棱柱為直三棱柱，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱中的簡單計(jì)算，牢記三角形內(nèi)切圓的半徑公式是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】密碼被破譯分三種情況：甲破譯出密碼乙未破譯，乙破譯出密碼甲未破譯，甲乙都破譯出密碼，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率和公式可求解出答案.【詳解】設(shè)“甲獨(dú)立地破譯一份密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地破譯一份密碼”為事件B，則，，，，設(shè)“密碼被破譯”為事件C，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問題為背景考查相互獨(dú)立事件的概念及其發(fā)生的概率的計(jì)算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.8.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中不正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，則D若，，，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A中，由于，故，又，故，A正確；選項(xiàng)B中，由得或，又，故只有，故B正確．選項(xiàng)C中，由面面垂直的判定定理可得C正確．選項(xiàng)D中，由題意得的關(guān)系可能平行、相交、垂直．故D不正確．綜上可知選項(xiàng)D不正確．選D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，，則下述正確的是（）A. B.直線與異面C. D.三點(diǎn)共線【答案】BCD【解析】【分析】對于，；對于，由條件可知直線與是異面直線；對于，由，，得；對于，，，是平面和平面的公共點(diǎn)，從而，，三點(diǎn)共線．【詳解】解：在四棱錐中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，對于，，故錯(cuò)誤；對于，平面，平面于，，由異面直線判定定理得直線與是異面直線，故正確；對于，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，，故正確；對于，，，平面平面，，，是平面和平面的公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，空間向量加法定理、異面直線判定定理、平行公式、平面的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的編號為的名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題：您的編號是否為奇數(shù)？問題：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機(jī)從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球個(gè)，紅球個(gè)）中摸出一個(gè)小球：若摸出白球則回答問題，若摸出紅球則回答問題，共有人回答“是”，則下述正確的是（）A.估計(jì)被調(diào)查者中約有人吸煙 B.估計(jì)約有人對問題的回答為“是”C.估計(jì)該地區(qū)約有的中學(xué)生吸煙 D.估計(jì)該地區(qū)約有的中學(xué)生吸煙【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意知被調(diào)查者回答第一個(gè)問題的概率為，其編號是奇數(shù)的概率也是，計(jì)算可得隨機(jī)抽出的名學(xué)生中回答第一個(gè)問題且為“是”的學(xué)生數(shù)，由此求出回答第二個(gè)問題且為是的人數(shù)，由此估計(jì)此地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比，進(jìn)而估計(jì)出被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)，判斷選項(xiàng)可得結(jié)論．【詳解】隨機(jī)抽出的名學(xué)生中，回答第一個(gè)問題的概率是，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題且回答是的人數(shù)為；所以回答第二個(gè)問題，且為是的人數(shù)；由此估計(jì)此地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為；估計(jì)被調(diào)查者中約有人吸煙；故表述正確的是BC．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)抽樣方法的應(yīng)用問題，是中檔題．11.如圖，在平行四邊形中，分別為線段的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算，結(jié)合其幾何應(yīng)用求得、、、，即可判斷選項(xiàng)的正誤【詳解】，即A正確，即B正確連接AC，知G是△ADC的中線交點(diǎn)，如下圖示由其性質(zhì)有∴，即C錯(cuò)誤同理，即∴，即D錯(cuò)誤故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查了向量線性運(yùn)算及其幾何應(yīng)用，其中結(jié)合了中線的性質(zhì)：三角形中線的交點(diǎn)分中線為1:2，以及利用三點(diǎn)共線時(shí)，線外一點(diǎn)與三點(diǎn)的連線所得向量的線性關(guān)系12.如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（）A.平面B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.三棱錐外接球的體積為【答案】ABC【解析】【分析】由，，易證平面，A正確；B，由所矩形所在平面和圓所在平面垂直，易證平面，所以，由線段為圓的直徑，所以，易證故B正確.C，由可求點(diǎn)到平面的距離為，C正確.D，確定線段的中點(diǎn)是三棱錐外接球心，進(jìn)一步可求其體積，可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】解：，，四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故A正確.線段為圓的直徑，所以，矩形所在平面和圓所在平面垂直，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面，平面，，所以平面，故B正確.，是正三角形，所以，，所以平面，，，，，，是等腰三角形，的邊上的高，，，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離為，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，所以，故C正確.取的中點(diǎn)，則，，所以平面，所以所以是三棱錐外接球的球心，其半徑，三棱錐外接球的體積為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.【點(diǎn)睛】綜合考查線面平行與垂直的判斷，求點(diǎn)面距離以及三棱錐的外接球的體積求法，難題.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．【答案】7【解析】由題意得，則714.在三棱錐中，若平面平面，且.則直線與平面所成角的大小為_____________.【答案】；【解析】【分析】過作，交于，推導(dǎo)出是中點(diǎn)，且平面，從而直線與平面所成角為，由此能求出直線與平面所成角的大小．【詳解】過作，交于，∵在三棱錐中，平面平面，且，∴為等腰直角三角形，是中點(diǎn)，且平面，∴直線與平面所成角為，∵在等腰直角三角形中，∴直線與平面所成角的大小為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15.設(shè)角是的三個(gè)內(nèi)角，已知向量，，且.則角的大小為_____________.【答案】【解析】【分析】先利用得到三角正弦之間的關(guān)系，再根據(jù)正、余弦定理求出，即得角.【詳解】因?yàn)?，，且所以即根?jù)正弦定理得故根據(jù)余弦定理知，又因?yàn)榈霉蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦定理的應(yīng)用，是?？嫉木C合題，屬于中檔題.16.某人有把鑰匙，其中把能打開門，如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為_____________；如果試過的鑰匙又混進(jìn)去，第二次才能打開門的概率為_____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】不能打開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門，即為第一次取了開不了門的鑰匙，余下兩把則一定可以開門，即可求出概率；試過的鑰匙又混進(jìn)去，第二次才能打開門，即為兩次取鑰匙互為獨(dú)立事件，即可求出概率【詳解】有把鑰匙，其中把能打開門，隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門1、把不能打開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門，即第一次打不開的概率為，第二次一定能打開，所以它的概率是2、試過的鑰匙又混進(jìn)去，第二次才能打開門，即第一次打不開的概率為，第二次能打開的概率，所以它的概率是故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了有放回與不放回試驗(yàn)的概率，不放回：前后事件是相關(guān)事件，即后發(fā)生事件的概率隨前一事件的發(fā)生而改變；而有放回：前后事件相互獨(dú)立，概率始終保持不變四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（1）求；（2）隨機(jī)從復(fù)數(shù)中有放回的先后任取兩個(gè)復(fù)數(shù)，求所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等于的概率.【答案】（1）；；；；（2）.【解析】【分析】（1）化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算即可得答案；（2）根據(jù)古典概型的方法列舉基本事件及兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等于包含的事件，再根據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題意知：，，（2）設(shè)隨機(jī)從復(fù)數(shù)中有放回的任取兩個(gè)復(fù)數(shù)的樣本點(diǎn)為，則該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為所以設(shè)事件“所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等于”，則事件，所以所以.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與古典概型問題，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.18.如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，平面平面，為線段上的一點(diǎn)，，是等邊三角形.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）證明：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，即可判定線線平行；（3）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，再由面面垂直的判定定理，即可證明面面垂直.【詳解】（1）在平行四邊形中，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以為的中位線，所以；所以平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嫠?；?）因?yàn)闉檎切危c(diǎn)為中點(diǎn)，所以；又因?yàn)?，，所以平面；又因?yàn)槠矫?；所以，平面平?【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，證明線線平行，證明面面垂直，熟記判定定理以及性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.19.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并進(jìn)行作答.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，.（1）求角的大?。唬?）求周長和面積.【答案】選擇見解析；（1）；；（2）周長為；面積.【解析】【分析】（1）若選擇①，首先得出，然后算出和即可，若選擇②，求出即可；（2）由正弦定理算出即可.【詳解】（1）若選擇①：因?yàn)?，，所以所以因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，若選擇②：設(shè)為方程，的兩根解得，且所以所以（2）由正弦定理知：因?yàn)?，，所以所以的周長為所以的面積【點(diǎn)睛】本題考查的是三角恒等變換、正弦定理和三角形的面積公式，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況和計(jì)算能力.20.如圖，在半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，為的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【解析】【分析】（1）求出底面面積與高，然后求解．（2）過點(diǎn)作圓柱的母線交于，說明為直線與所成的角，通過求解三角形推出結(jié)果．（3）說明為二