34.正多邊形與圓代碼中考題及解析3401（2020湖州）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（B）A．70° B．110° C．130° D．140°【解析】選B．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，3401（2020張家界）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BCD為120°，則∠BOD的度數(shù)為（C）A．100° B．110° C．120° D．130°【解析】選C．∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°．3402（2020株洲）據(jù)《漢書律歷志》記載：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中國古代的一種量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是說：“斛的底面為：正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓”，如圖所示．問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的周長為4尺．（結(jié)果用最簡根式表示）【解析】如圖，∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D＝90°，CD＝DE，∴CE為直徑，∠ECD＝45°，由題意，得AB＝2.5，∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD＝CE，∴∠ECD＝45°，∴正方形CDEF周長為尺．3403（2020寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．【解析】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如圖1，延長BC到點T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）①如圖2，連接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，F(xiàn)D＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如圖3，過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴設(shè)AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE?FM＝．3403（2020懷化）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）下面四邊形是垂等四邊形的是④；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過點D作BD垂線交BC的延長線于點E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．【解析】（1）①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形；②矩形對角線相等但不垂直，故不是垂等四邊形；③菱形的對角線互相垂直但不相等，故不是垂等四邊形；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；選④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是垂等四邊形；（3）如圖，過點O作OE⊥BD，∵四邊形ABCD是垂等四邊形，∴AC＝BD，又∵垂等四邊形的面積是24，∴AC?BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半徑為4．3403（2020通遼）中心為O的正六邊形ABCDEF的半輕為6cm，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s的速度沿AF，DC向終點F，C運動，連接PB，PE，QB，QE，設(shè)運動時間為t（s）．（1）求證：四邊形PBQE為平行四邊形；（2）求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比．【解析】（1）證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可證PE＝QB，∴四邊形PEQB為平行四邊形．（2）解：連接BE、OA，則∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，當t＝0時，點P與A重合，Q與D重合，四邊形PBQE即為四邊形ABDE，如圖1所示：則∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此時四邊形ABDE是矩形，即四邊形PBQE是矩形．當t＝6時，點P與F重合，Q與C重合，四邊形PBQE即為四邊形FBCE，如圖2所示：同法可知∠BPE＝90°，此時四邊形P