西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)2024.4

本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分仲.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷

上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一?并交回晨

第一部分(選擇題共40分)

一'選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

(I)已知全集。=1<,集合4={x|x<3},B={x\-2^x^2},則力“心二

(A)(2,3)(B)(一8,一2)U(2,3)

(C)[2,3)(D)(-<?,-2]U[2,3)

(2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是

(A)y=x2+x(B)y=cosx

x

(C)y=2(D)y=log21x|

7

(3)在(X-彳)6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

X

(A)60(B)15

(C)-60(D)-15

(4)已知拋物線C與拋物線V=4x關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則C的準(zhǔn)線方程是

(A)x=-l(B)x=-2

(C)y=-\(D)y=-2

(5)設(shè)"=/_；,〃=/+:,c=/(2+/),其中T</<0,貝I」

(A)b<a<c(B)c<a<b

(C)b<c<a(D)c<b<a

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（6）已知向量明兒c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示?若網(wǎng)格紙

上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則C,（G-力）=

（A）-1（B）1

（C）-7（D）7

-2<X<0,若/（X）存在最小值，則C的最大值為

(7)已知函數(shù)/（'）=

一瓜,0Wx<c.

（A）

七（B）i

(8)在等比數(shù)列｛%｝中,%,>0.則”代>勺。+1"是"%+1>%3”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

(9)關(guān)于函數(shù)/（乃=5皿工+8$2%，給出下列三個(gè)命題:

①/（X）是周期函數(shù);

②曲線V=/（x）關(guān)于直線》=四對(duì)稱；

2

③在區(qū)間［0,2兀）上恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中真命題的個(gè)數(shù)為

(A)0(B)1

(C)2(D)3

(10)德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”.“遺忘曲線”中記憶率V隨時(shí)間，（小時(shí)）變化的

趨勢(shì)可由函數(shù)丁=1-0.6/°"近似描述，則記憶率為50%時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為

（參考數(shù)據(jù)：1g2x0,30,lg3?0.48）

（A）2小時(shí)（B）0.8小時(shí)

（C）0.5小時(shí)（D）0.2小時(shí)

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第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)若復(fù)數(shù)z湖足Q+2i),z=3+i,則|z|=.

(12)已知a,/?G(0㈤.使tan(a+夕)<tan(a-4)成立的一組a,Z7的值為a=，

P-............，

(13)雙曲線一q=i的漸近線方程為；若M與圓。:/+,=/(「>0)交

于用8,C,。四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則尸=.

(14)在數(shù)列｛/｝中，/=2,%=-3.數(shù)列｛〃｝滿足々=。用一4(〃eN').若｛"｝是公差

為1的等差數(shù)列，則｛4｝的通項(xiàng)公式為6“=,4的最小值為

(15)如圖，正方形相8和矩形血印所在的平面互相垂直.點(diǎn)尸在正方形4B8及其

內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在矩形4BM及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).設(shè)48=2,4F=1,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在點(diǎn)尸,。，使？。=3；

②存在點(diǎn)尸,。，使CQ//EP；

③到直線和E尸的距離相等的點(diǎn)尸有無(wú)數(shù)個(gè)；

④若PAJLPE,則四面體以以體積的最大值為;.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

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三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題14分)

如圖，在三棱柱/次?-/田G中，側(cè)面41CG為正方形，ABJLAC,AB=AC=2,

。為8C的中點(diǎn).

(I)求證：平面/8Q;

(II)若4。，AB,求二面角D-ABX-4的余弦值.

(17)(本小題13分)

在△A3C中，atanB=2bsinA.

(I)求N3的大小；

(口)若4=8,再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△4BC存在，求△48C的面積.

條件①：邊上中線的長(zhǎng)為歷；

2

條件②：cosA=—；

3

條件③：b=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件

分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

（18）（本小題13分）

10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿

射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽,三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

環(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)

甲的射擊頻數(shù)11102424

乙的射擊頻數(shù)32103015

丙的射擊頻數(shù)24101826

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.

（I）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說(shuō)明理由；

（II）若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率;

（皿）甲、乙、丙各射擊10次，用乂（i=1,2,3）分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于。

環(huán)的次數(shù)，其中ae{6,7,8,9}.寫出一個(gè)a的值,使。（工）>。（苞）>。（乂）?

（結(jié)論不要求證明）

（19）（本小題15分）

已知橢圓G:W+《=l（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4-2,0）,離心率為L(zhǎng)

ab2

（I）求橢圓G的方程；

（II）設(shè)。為原點(diǎn).直線/與橢圓G交于C,。兩點(diǎn)（C,。不是橢圓的頂點(diǎn)），/與直線x=2

交于點(diǎn)E,直線工。,4。分別與直線OE交于點(diǎn)M,N.求證：|OM|=|ON|.

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(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=x+ln3)+：xe*.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線夕=/(刈在點(diǎn)(1,/⑴)處切線的斜率;

(II)當(dāng)°=-1時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(III)若集合有且只有一個(gè)元素，求。的值.

(21)(本小題15分)

對(duì)正整數(shù)加23,”26,設(shè)數(shù)列4瑪,生,…嗎，ate{0,1}(z=1,2,???,??).3是加行〃列

的數(shù)陣，馬表示8中第i行第，列的數(shù)，Z>,7e{0,l}==且8同時(shí)滿

足下列三個(gè)條件：①每行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同.

記集合{/1叫+a2bi2+?-?+a也=0或3,i=1,2,…,加}中元素的個(gè)數(shù)為K.

’111000、

(I)若4:1,1,1,0,0,0,5=101100,求K的值；

、000111,

(U)若對(duì)任意夕Me{l,2,…，力(p<q),8中都恰有r行滿足第p列和第q列的數(shù)均為1.

(i)5能否滿足加=3r?說(shuō)明理由；

(ii)證明：

(考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效)

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西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考2024.4

一'選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)B(2)D(3)A(4)C(5)C

(6)A(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(II)x/2(12)yy(答案不唯一)

(13)y=土百x6(14)n—6—13

(15)①③④

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)連接43,設(shè)43nAB1=E,連接。E.1分

因?yàn)樵谌庵?31G中，四邊形4犯用是平行四邊形,

所以E為43的中點(diǎn).2分

因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，

所以DE〃4c.?3分

又因?yàn)?。二平面OEu平面4BQ,

所以4?！ㄆ矫鎆BQ.,5分

(II)因?yàn)閆8_L4C,ABLAC,

所以.平面4/CG.......6分

所以4B144-

又陰JL/C,所以力兩兩相互垂直?

如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz.......7分

則4(0,0,0),4(2,0,2),D(l,l,0),C(0,2,0).

所以離=(2,0,2),而=(1,1,0).

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考2024.4第1頁(yè)(共6頁(yè))

n??AB.=0.2x+2s=0,

設(shè)平而彳BQ的法向砒為加=（x,y,2），Wi|而°即匕+八。,

令x=-[,則.p=1,2=1.J'W:w=（-!,1,1）............10分

因?yàn)?CJ.平而

所以撫=（0、2.0）他平匍4IB々的一個(gè)法向Hl............”分

所以cos⑴四產(chǎn)坐......T3分

I^H/fCl3

由時(shí)設(shè)，二:而角D-AJix-4的平而角為鈍角,

所以二面角D-AB{-4的余弦值為一半.......14分

（17）（共13分）

解：（I）由atanB=25sinN,得asinB=26sinJcosB............1分

在△NBC中，由正弦定理得sin4sin5=2sin?lsinBcosB............3分

因?yàn)閟in/>0,sinB>0,

所以cosB=1............4分

2

又0<NB<n,......5分

所以NB=2............6分

3

（II）選條件①：5c邊上中線的長(zhǎng)為......7分

設(shè)6c邊中點(diǎn)為“，連接aW,貝=BM=4.

在△45M中，由余弦定理得NA/?=432+8川2-213?8”通058,...........9分

即21=462+16-846cos3.

3

整理得482-448-5=0.

解得/6=5或力〃=-1（舍）.......11分

所以&ABC的面積為SA..=J,4C,sin8=10百.......13分

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選條件③：6=7......7分

在△/8C中，由余弦定理御川=/+c'-2acco,A,.....9分

即7'=8'+/-16<?9￡個(gè)?

整理得c'-&+1$?>0，

解褥C=3或CH5.....TI分

當(dāng)c=3時(shí)，ZX/RC的而枳為金械、=g〃c9in〃=6jS,

當(dāng)c=5時(shí)，△/BC的面積為SAM=："$訪〃=106......13分

（1$）（共13分）

解：（1）甲進(jìn)入決賽，理由如下：

丙射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射擊成績(jī)的總環(huán)數(shù)為1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因?yàn)?49>542,所以甲進(jìn)入決賽......3分

（II）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為2幺4=工2；

605

242

“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為右=二；

605

301

“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為九二彳；

602

“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為善=：.......5分

604

所以這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率可估計(jì)為：

卓吟fc號(hào)端4）端………I。分

（JII）〃=7和8.（寫出一個(gè)即可）......13分

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考2024.4第3頁(yè)（共6頁(yè)）

<19)(共15分)

。=2、

3分

解：（I）由題設(shè)，，￡=；,

（72

,-I）1=C’，

解得"=4、〃=3.

所以橢圓G的方程為工+?=1.

43

<n）由題設(shè),直線/的斜率存在，設(shè)其方程為），=丘+〃>

則￡（2,2k+〃。,直線0E的方程為），=（%+y）x.

由、j,"+〃?，得（4d+3*+8ATHX+47n2-12=0.

31+4y2=12,

由』=48（4/一m2+3）>。，得m2<4^+3.

8^2247M2—\2

設(shè)C（X”弘），。（工2，%），則3=y相

T'/C?3??*,?

直線AC的方程為y=」-(x+2).............9分

x,+2

聯(lián)立直線2C和。E得二^(x+2)=(k+-)x.

Xi+22

解得“二——孫——二氣二姐舞...........11分

/zm\f.wx.znx.+4k

(左+5)(芭+2)-％11

同理可得4=隨讓黑

mx2+4k

(fog+加)(啊+4k)+(姐+加)(啊+4%)

所以+4=4x............12分

(叫+4左)(嗎+妹)

因?yàn)?如+w)(wx2+44)+(fcc2+ni)[mxx+4%)

2

=2kmxlx2+(4/+nj)(X1+x2)+8km

2配(4/-12)8M(4*+/)8袖(4/+3)

4k2+34爐+34/+3

=0,

所以X”+XN=0,即點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱.

所以|O〃|=|ON|.15分

西城區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試試卷數(shù)學(xué)答案及評(píng)分參考2024.4第4頁(yè)（共6頁(yè)）

C20)(共15分)

解：(I)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x+lnx+xc'，

所以/Xv)=1+g+。+x)c'............2分

所以"l)=2e+2.

所以曲線)，=〃、)在點(diǎn)(1、/⑴)處切”的斜率為2c+2............4分

(II)當(dāng)。=-1時(shí),f(x)=x+1n(r)-xc、，/(x)的定義域?yàn)?-s,0)?

=1+--(I+V)e'=(1+.v)(-^-cT).,”"..”6分

因?yàn)閏"v0,

X

所以、￡(-8,-1)時(shí)，/'(\)>0;1€(-1,0)時(shí)，f'(X)<0.

所以〃*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)...........9分

1px

(皿)/'(x)=(l+xX-+y).

當(dāng)。>0時(shí)，“X)的定義域?yàn)?0,+8).

所以/'(x)>0,〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(3>0,所以。>0不合題意?.....11分

a

當(dāng)。<0時(shí)，〃x)的定義域?yàn)?-8,0).

因?yàn)閄€(-8,_1)時(shí)，f'(x)>Q;xe(-1,0)時(shí)，r(x)<0.

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)?

所以/(X)皿=/(-l)=-l+ln(-a)--^-?...........13分

C

111Ay-L1

設(shè)g(x)=T+ln(-x)------,則g'(x)=-+-=——,

exxexrex

因?yàn)閤e(-8,-1)時(shí)，g'(x)<0；xw(-1,0)時(shí)，g'(x)>0,

ee

所以g(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-I);單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)?

ce

所以gWU.=g(-1)=-l-

所以集合｛x|〃x)dT｝有且只有一個(gè)元素時(shí)a=-1...........15分

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(21)(共15分)

解：(1)記乙=哂+。乩+…+”也.

因?yàn)椋?=3、，,=2,八=0,