2023-2024學年北京市九中高二數(shù)學（下）期中考試卷（考試時間120分鐘，試卷滿分150分）2024.5一、單選題（共40分）1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．2．已知甲盒中有2只紅球，6只白球；乙盒中有5只紅球，3只白球，則隨機選一盒，再從該盒中隨機取一球，該球是白球的概率為（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列，則（

）A．36 B．18 C．72 D．94．二項式的展開式中，項的系數(shù)為（

）A． B． C．15 D．605．已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（

）A． B． C．-1 D．16．甲、乙、丙三人從足球、籃球、乒乓球、羽毛球這四門選修課中，每人任選一門參加，則不同的選擇方案共有（

）種.A． B． C． D．7．若函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)的圖象與直線相切于點，則（

）A．4 B．8 C．0 D．-89．某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：）與融化時間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關系：（H為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結束的平均融化速度為.那么瞬時融化速度等于的時刻是圖中的（

）.A． B． C． D．10．若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構造出新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，3進行構造，第1次得到數(shù)列1，4，3；第2次得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次構造，第次得到數(shù)列1，．記，若成立，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（共25分）11．若甲、乙兩名籃球運動員進行定點投球的命中率分別為，，現(xiàn)每人獨立進行投籃1次，則兩人恰好有1人命中的概率為.12．隨機變量X的分布列如下表，若，則．13．過原點作曲線的切線，則切線的方程為.14．若正項數(shù)列滿足，則稱為“夢想數(shù)列”，已知數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且，則．15．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和.下列關于“斐波那契數(shù)列”的結論：①，②，③，④.其中，所有正確結論的序號是.三、解答題（共85分）16．在等差數(shù)列{}中，(1)求{}的通項公式；(2)若是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列{}的前n項和．17．某高校學生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下大學生就業(yè)情況的滿意情況，對20名學生進行問卷計分調查（滿分100分），得到如圖所示的莖葉圖：(1)計算男生打分的平均分.再觀察莖葉圖，設女生分數(shù)的方差為，男生分數(shù)的方差為，直接指出與的大小關系（結論不需要證明）；(2)從這20多學生中打分在80分以上的同學中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值．19．隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質要求越來越高.某牛奶企業(yè)針對生產的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進行了質量滿意調查.現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人作為樣本，得到下表（單位：人）老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080(1)從樣本中任意取1人，求這個人恰好對生產的酸奶質量滿意的概率；(2)從該地區(qū)青年人中隨機選取3人，以頻率估計概率，記這3人中對酸奶滿意的人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結果）注：本題中的滿意度是指消費群體中滿意的人數(shù)與該消費群體總人數(shù)的比值.20．已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)設，當時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，求的最大值．21．對于數(shù)列，，…，，記，.設數(shù)列，，…，和數(shù)列，，…，是兩個遞增數(shù)列，若A與滿足，，且，，則稱A，具有關系.(1)若數(shù)列A：4，7，13和數(shù)列：3，，具有關系，求，的值；(2)證明：當時，存在無數(shù)對具有關系的數(shù)列；(3)當時，直接寫出一對具有關系的數(shù)列和.（本小問不用寫解答過程）1．A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，由計算.【詳解】數(shù)列滿足，，則，.故選：A.2．D【分析】由全概率公式結合條件即得.【詳解】由題意得，，故選：D.3．A【分析】、、成等比數(shù)列，可得，即，解得．再利用求和公式即可得出．【詳解】、、成等比數(shù)列，，可得，解得則．故選：．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4．D【分析】求出二項式展開式的通項，令，得，代入即可求解.【詳解】因為二項式的展開式的通項公式為，，令，得，所以，即項的系數(shù)為60.故選：D5．A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質、等比中項的意義列式計算即得.【詳解】依題意，，所以.故選：A6．C【分析】依題意每人任選一門參加，可以分為3步完成，根據(jù)分步乘法原理，即可求得答案.【詳解】甲、乙、丙三人從足球、籃球、乒乓球、羽毛球這四門選修課中，每人任選一門參加，可以分3步完成，每一步由1人選擇一門選修課，每步均有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，故共有種不同的選擇方案，故C正確，其他選項均不符合題意.故選：C7．A【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再賦值計算即得.【詳解】函數(shù)，求導得，當時，，所以.故選：A8．B【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義直接求解出的值，再根據(jù)點在直線上求解出的值，即可計算出結果.【詳解】直線的斜率為4，直線與函數(shù)的圖象相切于點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即為切線的斜率，所以，又點在函數(shù)的圖象上，同時也在切線上，所以，．則．故選：B．9．C【分析】根據(jù)題意可知，平均融化速度為，反映的是圖象與坐標軸交點連線的斜率，通過觀察某一時刻處瞬時速度（即切線的斜率），即可得到答案.【詳解】解：平均融化速度為，反映的是圖象與坐標軸交點連線的斜率，觀察可知處瞬時速度（即切線的斜率）為平均速度一致，故選：C．【點睛】本題考查了圖象的識別，瞬時變化率和切線斜率的關系，理解平均速度表示的幾何意義（即斜率）是解題的關鍵.10．C【分析】根據(jù)規(guī)律確定的關系式，進而可得，即有的通項公式，求解即可得結果．【詳解】由，，，，，則，則，則，當時，．當時，．故選：C．11．【分析】分別求解甲命中和乙命中兩種情況求解即可.【詳解】記兩人恰好有1人命中為事件，則.故答案為：12．2【分析】由于分布列的概率之和為1，以及，列出關于的方程，再根據(jù)方差公式即可求出．【詳解】由題意可知，∴，所以．故答案為：．13．【解析】求導得到設切點為，根據(jù)切線過原點，由求解.【詳解】因為所以設切點為，因為切線過原點，所以，解得，所以，所以切線方程是，故答案為：【點睛】本題在考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.14．##0.015625【分析】由“夢想數(shù)列”的定義可推導出，即數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項求解.【詳解】若數(shù)列為“夢想數(shù)列”，則，且，即，且，所以是以公比為的等比數(shù)列，則故答案為：15．①③④【分析】利用斐波那契數(shù)列的遞推公式一一判定結論即可.【詳解】對于①，由題意可知，所以①正確；對于②，顯然，所以②錯誤；對于③，易知，所以，所以③正確；對于④，，，累加得，顯然，所以④正確.故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握斐波那契數(shù)列的遞推公式，并對其轉化變形，從而得解.16．(1)(2)【分析】（1）設公差為，根據(jù)已知求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項求出數(shù)列的通項，即可得出數(shù)列{}的通項，再利用分組求和法即可得解.【詳解】（1）解：設公差為，則，解得，則，所以，所以；（2）解：，因為是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.17．(1)平均分為69；(2)分布列見解析，數(shù)學期望為.【分析】（1）結合莖葉圖計算可得男生打的平均分為69；觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故.（2）由題意可得的可能取值為1，2，3，結合超幾何概型的概率公式即可求得分布列，然后計算可得數(shù)學期望.【詳解】（1）解：男生打的平均分為：，觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故.（2）因為打分在80分以上的有3女2男，所以的可能取值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123.18．(1)單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為(2)極大值16，極小值【分析】（1）對求導，利用導數(shù)與單調性的關系即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，導函數(shù)，令，解得，則，隨的變化情況如下表：200取極大值取極小值故函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為;（2）由小問1知，當時，函數(shù)取得極大值16;當時，函數(shù)取得極小值．19．(1)(2)分布列見解析，期望(3)青年人【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，計算滿意的概率；（2）由條件可知，，根據(jù)二項分布，求分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結合每類人對鮮奶的滿意度，即可作出判斷.【詳解】（1）設這個人恰好對生產的酸奶滿意人數(shù)事件為，樣本總人數(shù)為500人，其中對酸奶滿意人數(shù)為人，所以；（2）用樣本頻率估計總體概率，青年人對酸奶滿意的概率，的取值為，，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學期望是.（3）青年人青年人總體人數(shù)最多，對鮮奶的滿意度較低，所以鮮奶的滿意度提高0.1，則人數(shù)提高最多，則整體對鮮奶的滿意度會大幅提高.20．(1)(2)答案見詳解(3)【分析】（1）對函數(shù)求導后，利用，求解即可；（2）對函數(shù)求導后，討論的范圍，考查的正負即可；（3）依題意，恒成立，不等式化為，構造函數(shù)，求得的最大值，令最大值小于零，即，構造函數(shù)，考查函數(shù)的單調性，進一步分析即可.【詳解】（1）由題，函數(shù)的定義域為，則，，由于曲線在點處的切線與直線垂直，則，所以，解得，.（2），故當時，恒成立，則在上單調遞增；當時，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（3）依題知，當時，恒成立，即恒成立，化簡為，設，則，當時，恒成立，故在單調遞增，此時不符合題意；當時，，令，得，令，得，所以在單調遞增，在單調遞減，則恒成立，化為，設，則恒成立，則在上單調遞增，又，且，，故的最大值為.【點睛】方法點睛：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.21．(1)；(2)證明見解析(3)不妨取數(shù)列1，4，6，7，9，12，14，15；數(shù)列2，3，5，8，10，11，13，16；【分析】（1）根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結果；（2）由（1），得到對任意，都有，推出對任意，都能使數(shù)列，，，，，和數(shù)列，，，，，具有關系，即可證明結論成立；（3）不妨設四個連續(xù)的數(shù)為，推導出，且，同理可得另一組滿足要求的數(shù)據(jù)，由數(shù)列新定義驗證，即可得出結果.【詳解】（1）由題意可得，，解得；（2）由（1），因為，對任意，都有，即，則，，和，，一組重新按從小到大順序排列得到新數(shù)列A，，，和，，一組重新按從小到大順序排列得到新數(shù)列，此時數(shù)列和數(shù)列滿足，；當時，可得數(shù)列，，，，，和數(shù)列，，，，，具有關系；滿足題意；當時，，，不能滿足，當時，，不能滿足，當時，數(shù)列A中的項按遞增順序排列為，，，，，；數(shù)列中的項按遞增順序排列為，，，，，；此時滿足；綜上，除和