課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測（五十九）直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法[小題對點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)]對點(diǎn)練(一)直接證明1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A解析：選A因?yàn)閑q\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.2．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，bA．c≥b>a B．a(chǎn)>c≥bC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b解析：選A∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知兩式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故選A.3．(2018·山西大同質(zhì)檢)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：選C要證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需證b2－ac<3a2，即證(a＋c)2－ac<3a2，即證2a2－ac－c2>0，即證(2a＋c)(a－c)>0，即證[2a－(a＋b)](a－c)>0，即證(a－b)(a－c)>0，故索的因應(yīng)是(a－b)(a－c)>0.4．已知a，b∈R，m＝eq\f(6a,36a＋1＋1)，n＝eq\f(1,3)b2－b＋eq\f(5,6)，則下列結(jié)論正確的是()A．m≤n B．m≥nC．m>n D．m<n解析：選Am＝eq\f(6a,36a＋1＋1)＝eq\f(6a,62a＋2＋1)＝eq\f(1,626a＋6－a)≤eq\f(1,2\r(62))＝eq\f(1,12)，n＝eq\f(1,3)b2－b＋eq\f(5,6)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,2)))2＋eq\f(1,12)≥eq\f(1,12)，所以n≥m，故選A.5．設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為________．答案：a>c>b6．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，∴cn隨n的增大而減?。郼n＋1<cn.答案：cn>cn＋1對點(diǎn)練(二)間接證明1．用反證法證明命題：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的假設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù)B．a(chǎn)，b，c，d全都為正數(shù)C．a(chǎn)，b，c，d全都為非負(fù)數(shù)D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)解析：選C用反證法證明命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”的否定是“a，b，c，d全都為非負(fù)數(shù)”．2．用反證法證明“若△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則B<eq\f(π,2)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A．B>eq\f(π,2) B．B＝eq\f(π,2)C．B≥eq\f(π,2) D．B≤eq\f(π,2)答案：C3．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：選A反證法中否定結(jié)論需全否定，“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”．對點(diǎn)練(三)數(shù)學(xué)歸納法1．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n＞2n＋1，n的第一個(gè)取值應(yīng)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C∵n＝1時(shí)，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；n＝2時(shí)，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．∴n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是()A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k＋1成立解析：選D當(dāng)f(k)≥k＋1成立時(shí)，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當(dāng)k＝n時(shí)，f(n)≥n＋1成立，那么當(dāng)k＝n＋1時(shí)，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當(dāng)k＝4時(shí)，f(4)≥5成立，那么當(dāng)k≥4時(shí)，f(k)≥k＋1也成立．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為______________．解析：當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[大題綜合練——遷移貫通]1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－1).求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列．證明：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，則2·eq\f(1,2q)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(1,2r)，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因?yàn)閜<q<r，且p，q，r∈N*，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立．所以假設(shè)不成立，原命題得證．2．在數(shù)列{an}與{bn}中，a1＝1，b1＝4，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0,2an＋1為bn與bn＋1的等比中項(xiàng)，n∈N*.(1)求a2，b2的值；(2)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)由題設(shè)有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1，解得a2又4aeq\o\al(2,2)＝b2b1，b1＝4，解得b2＝9.(2)由題設(shè)nSn＋1－(n＋3)Sn＝0，a1＝1，b1＝4，及a2＝3，b2＝9，進(jìn)一步可得a3＝6，b3＝16，a4＝10，b4＝25，猜想an＝eq\f(nn＋1,2)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.先證an＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1×1＋1,2)＝1，等式成立．當(dāng)n≥2時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(ⅰ)當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(2×2＋1,2)＝3，等式成立．(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即ak＝eq\f(kk＋1,2)，k≥2.由題設(shè)，kSk＋1＝(k＋3)Sk，①(k－1)Sk＝(k＋2)Sk－1.②①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得kak＋1＝(k＋2)ak；從而ak＋1＝eq\f(k＋2,k)ak＝eq\f(k＋2,k)·eq\f(kk＋1,2)＝eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)可知，等式an＝eq\f(nn＋1,2)對任何的n≥2成立．綜上所述，等式an＝eq\f(nn＋1,2)對任何的n∈N*都成立．再用數(shù)學(xué)歸納法證明bn＝(n＋1)2，n∈N*.(a)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝(1＋1)2＝4，等式成立．(b)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即bk＝(k＋1)2，那么bk＋1＝eq\f(4a\o\al(2,k＋1),bk)＝eq\f(k＋12k＋22,k＋12)＝[(k＋1)＋1]2.這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．根據(jù)(a)和(b)可知，等式bn＝(n＋1)2對任何的n∈N*都成立．3．對于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；(2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])是不是理想函數(shù)．解：(1)證明：取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，∴f(0)≥0，于是f(0)＝0.(2)對于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．對于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)．對于f(x)＝eq\r(x)，x∈[0,1]，顯然滿足條件①②.對任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x