Hamiltoncanonicequation的首次積分

Hamiltoncanonicequation的首次積分系統(tǒng)的首次積分是方程降階降維的基礎(chǔ)，討論Hamiltoncanonicequation的降階降維問(wèn)題能量積分循環(huán)積分H中不顯含某些廣義動(dòng)量的情況2例

、水平直管以勻角速度

繞鉛直軸旋轉(zhuǎn)。管內(nèi)放有用彈簧相聯(lián)的兩相同質(zhì)量m的小球。小球可沿直管無(wú)摩擦地滑動(dòng)。已知彈簧剛度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為l，試寫(xiě)出系統(tǒng)的Hamilton正則方程。小球尺寸略去不計(jì)。解：兩個(gè)自由度，x1、x2為廣義坐標(biāo)，主動(dòng)力均為有勢(shì)力構(gòu)造H函數(shù)

則3Hamilton正則方程給定初始條件后，就可得出正則變量的函數(shù)4如果Hamilton函數(shù)，即不顯含t時(shí)，則可得則（常數(shù)）因?yàn)樗訦amiltoncanonicequation的能量積分

如果是保守系統(tǒng)，則T＝T2，T0＝0則即Hamiltonequation的首次積分等于總機(jī)械能（機(jī)械守恒）5由H函數(shù)定義對(duì)某一廣義坐標(biāo)ql求偏導(dǎo)數(shù)代入（勒讓德變換，或定義廣義動(dòng)量），得因此，如果在Lagrange函數(shù)中存在某個(gè)循環(huán)坐標(biāo)ql，則在Hamilton函數(shù)中也存在相同的循環(huán)坐標(biāo)ql。設(shè)q1,q2,…,ql(l<k)為L(zhǎng)agrange函數(shù)L的循環(huán)坐標(biāo)，則H函數(shù)可表示為6根據(jù)正則方程有于是得l個(gè)循環(huán)積分

利用循環(huán)坐標(biāo)可對(duì)Hamilton正則方程進(jìn)行降維，將上式代入Hamilton函數(shù)得此時(shí)Hamilton正則方程為對(duì)于循環(huán)坐標(biāo)，有即對(duì)H求pj偏導(dǎo)，后將pj用Cj代替7積分上式，得:為積分常數(shù)。降為(j=l+1,l+2,…,k)若系統(tǒng)有l(wèi)個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，則Hamilton正則方程的個(gè)數(shù)由2k個(gè)降為2(k-l)個(gè)。因此對(duì)于一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，希望找到盡可能多的循環(huán)坐標(biāo)，循環(huán)坐標(biāo)越多，對(duì)于方程的求解就越有利。8設(shè)p1,p2,…,pl(l<k)不顯含在H中，則Hamilton函數(shù)可表示為則方程故由k個(gè)減少到k-l個(gè)。H函數(shù)化為9

（方程個(gè)數(shù)由k個(gè)，減少為k-l個(gè)）故共降維2l，即方程個(gè)數(shù)減少為2(k-l)個(gè)。10例3、空心圓管OA繞鉛垂軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。它對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=md2，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)受引力Fr=-μm/r2，式中r是質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)的矢徑，μ是常數(shù)。試列出系統(tǒng)的Hamilton正則方程并求首次積分。解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選r、φ為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，勢(shì)能而11廣義動(dòng)量求Hamilton函數(shù)，因?yàn)橄到y(tǒng)為保守的，故由上式可知，φ