19.2.1第2課時菱形性質(zhì)的應(yīng)用一、選擇題1.如圖1,某菱形花壇ABCD的周長是24m,∠BAD=120°,則花壇的對角線AC的長是 ()圖1A.108m B.6m C.27m D.3m2.如圖2,已知四邊形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E,CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F.若CF=3,則CE的長為 ()圖2A.5 B.4 C.3 D.23.已知一個菱形的周長是20cm,兩條對角線的長度之比是4∶3,則這個菱形的面積是()A.12cm2 B.24cm2 C.48cm2 D.96cm24.如圖3,菱形ABCD的周長為8cm,BC邊上的高AE為3cm,則對角線AC和BD的長度之比為 ()圖3A.1∶2 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶35.如圖4,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F,垂足為E,連結(jié)DF,則∠CDF的度數(shù)為 ()圖4A.50° B.60° C.70° D.80°6.校園內(nèi)有一個由兩個全等的正六邊形(邊長為3.5m)圍成的花壇,現(xiàn)將這個花壇在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)建成如圖5所示的一個菱形區(qū)域,并在新擴(kuò)建的部分種上草坪,則擴(kuò)建后菱形區(qū)域的周長為 ()圖5A.28m B.35m C.42m D.56m二、填空題7.如圖6,菱形ABCD的邊長是2cm,E是AB的中點(diǎn),且DE⊥AB,則菱形ABCD的面積為cm2.圖68.如圖7,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=8,BD=6,過點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,則點(diǎn)O到邊AB的距離OH=.

圖79.如圖8所示,菱形ABCD的對角線的長分別為3和6,P是對角線AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合),且PE∥BC交AB于點(diǎn)E,PF∥CD交AD于點(diǎn)F,則陰影部分的面積是.

圖810.如圖9,用3個全等的菱形構(gòu)成活動衣帽架,頂點(diǎn)A,E,F,C,G,H是上、下兩排掛鉤,根據(jù)需要可以改變掛鉤之間的距離(比如A,C兩點(diǎn)可以自由上下活動).若菱形的邊長為13厘米,要使兩排掛鉤之間的距離為24厘米,并在點(diǎn)B,M處固定,則點(diǎn)B,M之間的距離是.

圖9三、解答題11.如圖10,在菱形ABCD中,P是BC邊上的一點(diǎn),連結(jié)AP,E,F是AP上的兩點(diǎn),連結(jié)DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.求證:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE=BF+EF.圖112.如圖11所示,在菱形ABCD中,P是AB上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連結(jié)DP,交對角線AC于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證:∠APD=∠CBE;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△ADP的面積等于菱形ABCD面積的14?為什么圖1113.在菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上.(1)如圖12①,若E是BC的中點(diǎn),∠AEF=60°,求證:BE=DF;(2)如圖②,若∠EAF=60°,求證:△AEF是等邊三角形.圖1214.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,E為BC邊的中點(diǎn),G為AD邊上的一點(diǎn),四邊形AECG是矩形,AF⊥CD,垂足為F,CG與AF相交于點(diǎn)H.(1)求菱形ABCD的面積;(2)求∠CHA的度數(shù).15.已知:如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,E,F分別是AB,AD上的兩個動點(diǎn),且始終保持∠ECF=60°.(1)試判斷△ECF的形狀,并說明理由;(2)若菱形的邊長為2cm,求CE的最小值.參考答案1.B2.C.3.B4.D5.B6.C7.238.1259.9210.30厘米11.證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=DA,DA∥BC,∴∠BPA=∠EAD.又∵∠ABC=∠AED,∴∠BAF=∠ADE.∵∠ABF=∠BPF且∠BAP=∠FAB,∴∠ABP=∠BFA,∴∠BFA=∠AED.又∵AB=DA,∠BAF=∠ADE,∴△ABF≌△DAE.(2)∵△ABF≌△DAE,∴BF=AE,AF=DE.∵AF=AE+EF=BF+EF,∴DE=BF+EF.12.解:(1)證明:∵菱形ABCD是以對角線AC所在直線為對稱軸的軸對稱圖形,且點(diǎn)C與點(diǎn)C對應(yīng),點(diǎn)D與點(diǎn)B對應(yīng),點(diǎn)E與點(diǎn)E對應(yīng),∴△CDE與△CBE關(guān)于直線AC對稱,∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE,∴∠APD=∠CBE.(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB邊的中點(diǎn)時,△ADP的面積等于菱形ABCD面積的14理由:如圖,連結(jié)DB,則S△ABD=12S菱形ABCD∵P為AB邊的中點(diǎn),∴S△ADP=12S△ABD∴S△ADP=14S菱形ABCD13.證明:(1)連結(jié)AC.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD.又∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形.∵E是BC的中點(diǎn),∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-60°=30°.∵∠BCD=180°-∠B=120°,∴∠EFC=30°,∴∠FEC=∠EFC,∴CE=CF.又∵BC=CD,∴BC-CE=CD-CF,即BE=DF.(2)連結(jié)AC,由(1)得△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∴∠BAE+∠EAC=60°.又∵∠EAF=∠CAF+∠EAC=60°,∴∠BAE=∠CAF.∵∠BCD=120°,∠ACB=60°,∴∠ACF=60°=∠B,∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF.又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等邊三角形.14.解:(1)∵在菱形ABCD中,AB=BC=2,E為BC邊的中點(diǎn),∴BE=1.∵四邊形AECG為矩形,∴∠AEC=90°,∴∠AEB=90°.在Rt△ABE中,AE=AB2-∴菱形ABCD的面積=BC·AE=23.(2)連結(jié)AC.∵E為BC邊的中點(diǎn),AE⊥BC,∴AB=AC.又∵AB=BC,∴△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°,∴∠D=∠B=60°.∵AF⊥CD,∴∠DAF=30°.在矩形AECG中,∠AGH=90°,∴∠CHA=∠DAF+∠AGH=30°+90°=120°.15.解:(1)△ECF是等邊三角形.理由:連結(jié)AC.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,AD∥BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ACB=∠BAC=60°,∴∠FAC=∠ACB=60°=∠B,∠BCE+∠ACE=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACE+∠ACF=60°,∴∠BCE=∠ACF.在△BCE