排列與組合

我們先看下面兩個(gè)問題.

(1)從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4班，汽車有2班,

輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙

地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有s種不同的方法，在第二類辦法

中有叫種不同的方法，……，在第n類辦法中有m“種不同的方法.那么完成這件事共有N=mi十m2十…

十m”種不同的方法.

(2)我們?cè)倏聪旅娴膯栴}：

由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條.從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的

走法？

這里，從A村到B村有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村

又有2種不同的走法.因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有小種不同的方法，做第二步有叫種不同

的方法，……，做第n步有％種不同的方法.那么完成這件事共有N=m,w…%種不同的方法.

例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語(yǔ)文書.

1)從中任取一本，有多少種不同的取法？

2)從中任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各一本，有多少的取法？

解：(1)從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法是從上層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取一

本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語(yǔ)文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法.根據(jù)加法原理,

得到不同的取法的種數(shù)是6+5=11.

答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各本，可以分成兩個(gè)步驟完成：第?步取?本數(shù)學(xué)書，有6種方

法；第二步取一本語(yǔ)文書，有5種方法.根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是N=6X5=30.

答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語(yǔ)文書各?本，有30種不同的方法.

練習(xí)：一同學(xué)有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣

1)從中任取枚，有多少種不同取法？2)從中任取明清古幣各枚，有多少種不同取法？

例2：(1)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

(3)由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？

解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選?

個(gè)數(shù)字，共有5種選法；第二步確定卜位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，

這仍有5種選法，第二步確定個(gè)位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法.根據(jù)乘法原理，得到可以組成

的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N=5X5X5=125.

答：可以組成125個(gè)三位數(shù).

練習(xí)：

1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，乂從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條

水路可走.

(1)從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？

(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.一名兒童做加法游戲.在一個(gè)紅口袋中裝著20張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、19、20的紅卡片，從中任

抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另?個(gè)黃口袋中裝著10張分別標(biāo)有數(shù)1、2、…、9、10的黃卡片，從

中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù).這名兒童一共可以列出多少個(gè)加法式子？

3.題2的變形

4.由0—9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

小結(jié)：要解決某個(gè)此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時(shí)用加法，分步時(shí)用乘法

其次要注意怎樣分類和分步，以后會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)

練習(xí)

1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完

成.選出一個(gè)人來完成這件工作，共有多少種選法？

2.在讀書活動(dòng)中，一個(gè)學(xué)生要從2本科技書、2本政治書、3本文藝書里任選一本，共有多少種

不同的選法？

3.乘積(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)？

4.從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到「地有4條路可通，從「地到

丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

5.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同.

(1)從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

(2)從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

作業(yè)：

排列

【復(fù)習(xí)基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有n種不同的方法，第二辦法中有

|叱種不同的方法……，第n辦法中有叫種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m?+m2+m3+,??m,,

種不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有g(shù)種不同的方法，做第二步有m?

種不同的方法，……，做第n步有m0種不同的方法，.那么完成這件事共有

N=m|Xm2xm3x??,xmn

種不同的方法.

3.兩個(gè)原理的區(qū)別：

【練習(xí)1]

1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的機(jī)票？

2.由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？請(qǐng)一一列出.

【基本概念】

1.什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取m(/WW〃)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一

鶴懣濟(jì)III：成一列，叫做從n個(gè)不同元素沖取出m個(gè)元素的一個(gè)押列

2.什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個(gè)不同.

3.什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.

4.什么叫一個(gè)排列？

【例題與練習(xí)】

1.由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

2.已知a、b、c、d四個(gè)元素，①寫出每次取出3個(gè)元素的所有排列；②寫出每次取出4個(gè)元素的所有

排列.

【排列數(shù)】

1.定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（，“<〃）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m

元素的排列數(shù)，用符號(hào)p；表示.

用符號(hào)表示上述各題中的排列數(shù).

2.排列數(shù)公式：p；=n（nT）（n-2）…（n-m+1）

P：=------；Pn=-------------:P；：=--------------:P：=-----------------:

計(jì)算：P：=------------------；P；=--------------；P；5=------------------；

【課后檢測(cè)】

1.寫出：

①?gòu)奈鍌€(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有排列；

②由1、2、3、4組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

③由0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的所有3位數(shù).

2.計(jì)算：

8

①p：oo②P；③P；-2p；④-y-

P12

排列

一、復(fù)習(xí)：（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)整理）

1.排列的定義，理解排列定義需要注意的兒點(diǎn)問題；

2.排列數(shù)的定義，排列數(shù)的計(jì)算公式

〃！

A：=n（n—1）（H—2）…（〃一根+1）或A：=--------（其中mWnm,neZ）

（n-m）!

3.全排列、階乘的意義；規(guī)定0!=1

4.“分類”、“分步”思想在排列問題中的應(yīng)用.

二、新授：

例1：⑴7位同學(xué)站成?排，共有多少種不同的排法？

解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列一Ay=5040

⑵7位同學(xué)站成兩排（前3后4）,共有多少種不同的排法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040

⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一A：=720

⑷7位同學(xué)站成?排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有

種則共有A；=240種排列方法

⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解法一（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有

種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法所以一共有A；=2400

種排列方法.

解法：：（排除法）若甲站在排頭有A；種方法；若乙站在排尾有A；種方法；若甲站在排頭且乙站

在排尾則有4；種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有-2+4；=2400種.

小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)

先考慮.

例2：7位同學(xué)站成一排.

⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有

種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所以這樣的排法一共有A：=1440

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？

解：方法同上，一共有A；A；=720種.

⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？

解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂?/p>

頭和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元

素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法.所以這樣的排法一共

有A；A：=960種方法.

解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在?起看成?個(gè)元素，此時(shí)?共有6個(gè)元素，若內(nèi)站在排頭或排尾

有2A；種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有（A：—=960種方法.

解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^

和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A：種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法，

最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有A：A；=960種方法.

小結(jié)二：對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）.

例3：7位同學(xué)站成一排.

（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法一：（排除法）=3600

解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），

再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有種方法，所以一共有=3600種方法.

⑵甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A：種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入

這五個(gè)“空”有用種方法，所以一共有A：A；=1440種.

小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）.

三、小結(jié)：

1.對(duì)有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如卜.類型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置：

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；

2.基本的解題方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位

置）法（優(yōu)限法）；

⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素

的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；

⑶某些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空

法”；

⑷在處理排列問題時(shí)，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑，這是學(xué)好排

列問題的根基.

四、作業(yè)：《課課練》之“排列課時(shí)1-3”

課題：排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）

目的：使學(xué)生切實(shí)學(xué)會(huì)用排列數(shù)公式計(jì)算和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，進(jìn)?步培養(yǎng)分析問題、解決問題的

能力，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解.

過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式；

2.常見的排隊(duì)的三種題型：

⑴某些元素不能在或必須排列在某?位置——優(yōu)限法；

⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）一捆綁法；

⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）一插空法.

3.分類、分布思想的應(yīng)用.

二、新授：

示例一：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在

第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？

解法一：（從特殊位置考慮）136080

解法二：（從特殊元素考慮）若選：若不選：A；

則共有+136080

解法三：（間接法）-Ag=136080

示例二:

⑴八個(gè)人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，則共有多少種不同的排

法？

略解：甲、乙排在前排丙排在后排其余進(jìn)行全排列

所以一共有A：A：=5760種方法.

⑵不同的五種商品在貨架上排成一排，其中兩種商品必須排在一起，而兩種商品不排在一起,

則不同的排法共有多少種？

略解：(“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用)捆在一起與e進(jìn)行排列有A；；

此時(shí)留下三個(gè)空，將C,d兩種商品排進(jìn)去一共有A；；最后將外加‘松綁所以一共有A；A；A；

=24種方法.

⑶6張同排連號(hào)的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？

略解：(分類)若第一個(gè)為老師則有A；A；；若第一個(gè)為學(xué)生則有A；

所以?共有2A；A：=72種方法.

示例三：

(1)由數(shù)字I,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？

略解：A；+A：+A：+A；+A：=325

(2)由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整數(shù)？

解法一：分成兩類，一類是首位為1時(shí)，十位必須大于等于3有種方法；另一類是首位不為1,

有種方法.所以一共有=114個(gè)數(shù)比13000大.

解法二：(排除法)比13000小的正整數(shù)有個(gè)，所以比13000大的正整數(shù)有—4：=114個(gè).

示例四：用1,3,6,7,8,9組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，由小到大排列.

⑴第114個(gè)數(shù)是多少？⑵3796是第兒個(gè)數(shù)？

解：⑴因?yàn)榍粩?shù)是1的四位數(shù)一共有=60個(gè)，所以第114個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是“3”，十位數(shù)

字是“1”即“31”開頭的四位數(shù)有4：=12個(gè)：同理，以“36”、“37”、“38”開頭的數(shù)也分別有12個(gè)，

所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”，而“3968”排在第6個(gè)位置上，所以“3968”是第114個(gè)數(shù).

(2)由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個(gè),而3796在“37”開頭的四位數(shù)中排在第

11個(gè)(倒數(shù)第二個(gè))，故3796是第95個(gè)數(shù).

示例五：用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中

(1)能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？

⑵十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？

解：⑴能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種，末尾為50的四位數(shù)有個(gè)，末尾為

25的有A；A；個(gè)，所以一共有+44=21個(gè).

注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,5Q75,00四種情況.

（2）用0,1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，一共有=300個(gè).因?yàn)樵谶@300個(gè)數(shù)中，

1.二

十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大小關(guān)系是“等可能的"，所以十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有萬4A；=15。個(gè).

三、小結(jié)：能夠根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)呐帕蟹椒?，同時(shí)注意考慮問題的全面性，此外能夠借助?題多解

檢驗(yàn)答案的正確性.

四、作業(yè)：“3+X”之排列練習(xí)

組合⑴

課題：組合、組合數(shù)的概念

目的：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式.

過程：

一、復(fù)習(xí)、引入：

1.復(fù)習(xí)排列的有關(guān)內(nèi)容：

相同排

定義特點(diǎn)公式

列

排列

以上由學(xué)生口答.

2.提出問題：

示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，

1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？

引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序''排列"，而示例2只要求選出

2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的.

引出課題：組令問題.

二、新授：

1.組合的概念：一般地，從"個(gè)不同元素中取出，“（mW”）個(gè)元素并成一組，叫做從"個(gè)不同元素

中取出，"個(gè)元素的個(gè)組合.

注：L不同元素2.“只取不排"一一無序性3.相同組合：元素相同

判斷卜.列問題哪個(gè)是排列問題哪個(gè)是組合問題：

⑴從A、B、C,。四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；（組合）

⑵從甲、乙、丙、「四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部書記排列）

2.組合數(shù)的概念：從，，個(gè)不同元素中取出，“個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從”個(gè)不同元

素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)C：'表示.

例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙，甲丙，乙丙.即有C；=3種組合.

又如：從4、B,C,。四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：AB,AC,AD,BC,BD,CO一共6種

組合，即：=6

在講解時(shí)一定要讓學(xué)生去分析：要解決的問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看是否與順序有

關(guān).那么又如何計(jì)算C：”呢?

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)

⑴提問：從4個(gè)不同元素a,b,c,"中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？

啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)可以求得，故我

們可以考察一下c：和川的關(guān)系，如下：

組合排列

abc—>abc,bac,cab,acb,bca,cba

abd—>abd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adc,eda,dca

bedTbed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知：每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此,求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)

A：,可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的

屋

3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得：Al=Cl-Al，所以：c[=得.

⑵推廣：一般地，求從"個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),可以分如下兩步：①先求從n

個(gè)不同元素中取出"，個(gè)元素的組合數(shù)C：”;②求每個(gè)組合中，"個(gè)元素全排列數(shù)A；；,根據(jù)分布計(jì)數(shù)原

理得：A：=C：.A；；

⑶組合數(shù)的公式：

rmA：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

-----------------

nI

或C：=-----------(n,meN\<ri)

(4)鞏固練習(xí)：

1.計(jì)算：⑴C；(2)CjQ

C+、T廠in〃?+1廠m+1

2.求證：Crt=-----Cft

n-m

3.設(shè)N+,求+C；：/的值.

(2x-3>x-i

解：由題意可得：J即：24W4

x4-1>2x-3

VXGN+，，x=2或3或4

當(dāng)x=2時(shí)原式值為7；當(dāng)x=3時(shí)原式值為7；當(dāng)m2時(shí)原式值為11.

.,?所求值為4或7或II.

4.例題講評(píng)

例1.6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分

法？

略解：Cl-Cl-C1=90

例2.4名男生和6名女生組成至少有I個(gè)男生參加的三人實(shí)踐活動(dòng)小組，問組成方法共有多少種？

解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有,

所以一共有C：+?C：+C：?=100種方法.

解法二：（間接法）GI-C：=100

5.學(xué)生練習(xí)：（課本99練習(xí)）

三、小結(jié):

相同組

定義特點(diǎn)4公式

排列

組合

此外，解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時(shí)要利

用分類和分步計(jì)數(shù)原理.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：教學(xué)與測(cè)試75課

課外作業(yè)：課課練課時(shí)7和8

組合⑵

課題：組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

目的：深刻理解排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系，熟練掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并

且能夠運(yùn)用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.

過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

強(qiáng)調(diào)：排列一次序性；組合一無序性.

2.練習(xí)一：

練習(xí)I：求證：c：=&C；：，（本式也可變形為：機(jī)

m

練習(xí)2：計(jì)算：①和②③c：+G；

答案：①120,120②20,20③792

（此練習(xí)的目的為下面學(xué)習(xí)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)打好基礎(chǔ).）

3.練習(xí)二:

⑴平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

⑵平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

答案：⑴Gi=45（組合問題）⑵=90（排列問題）

二、新授：

1.組合數(shù)的性質(zhì)1：C：=.

理解：一般地，從〃個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素后，剩下〃-根個(gè)元素.因

為從〃個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的〃-加個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)座，所

以從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這〃個(gè)元素中取出"-m個(gè)元素的組合數(shù)，即：

C：=c7：在這里，我們主要體現(xiàn)：“取法”與“乘U法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想.

mn)

證明：???C；m=-----------------------------=--—

m!(〃一機(jī))！

又/=m膏i(n—m\)\；C=cr

注：1°我們規(guī)定C：=1

2。等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

3°此性質(zhì)作用：當(dāng)"2時(shí)，計(jì)算C；可變?yōu)橛?jì)算能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

例如：C歌=《歌2。。=。短=2002.

4°C,,=C；nx=y或x+y="

2.示例?：(課本101例4)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.

(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？

⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？

解：⑴Cg=56(2)C；=21(3)C；=35

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：C；=C，+C；.為什么呢？

我們可以這樣解釋：從口袋內(nèi)的8個(gè)球中所取出的3個(gè)球，可以分為兩類：?類含有1個(gè)黑球，?類

不含有黑球.因此根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，上述等式成立.

?般地，從％,。2，?一，。“+1這”+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是。：；|，這些組合可以

分為兩類：?類含有元素外,?類不含有為.含有的組合是從。2,。3，‘"，4"+1這”個(gè)元素中取出“

a

-1個(gè)元素與%組成的，共有C：，個(gè)；不含有生的組合是從“2,。3，一,，n+l這n個(gè)元素中取出＞n個(gè)元

素組成的，共有C："個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另?個(gè)性質(zhì).在這里，我們主要體現(xiàn)從特

殊到般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想.

3.組合數(shù)的Ifi2：c：%=c：+c：i.

證明：Cm+Cm-]=--—+-----------------

_〃!（〃一加+1）+n\m

ml（n-機(jī)+1）!

（〃一加+1+m）幾！

加?。āㄒ患?1）!

5+1）!

?。。āㄒ粰C(jī)+1）!

一

_C?:+l

.in_「ni

注：1。公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與高的相

同的一個(gè)組合數(shù).

2。此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算.在今后學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，我們會(huì)看到它的主要應(yīng)

用.

4.示例二：

（1）計(jì)算：C；+C；++C；

⑵求證：C，=《+2Cr+C；2

⑶解方程：G，=C/3

⑷解方程：c：+；+c：+]=—A：+3

x十/K十4]0X+J

（5）計(jì)算：。：+。：+。：+。：+。：和。；+。；+。；+。；+。；+。；

推廣：C：+C：+C"..+C，'+C：=2"

5.組合數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：

證明下列等式成立：

⑴（講解）。3+。：-2+。3+一.+。3+a=C*

⑵（練習(xí)）以++%+???+*=

⑶C：+2C1+3C；+.??+〃C；=]（C,；+C；+…+C：）

6.處理《教學(xué)與測(cè)試》76課例題

三、小結(jié)：1.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；

2.從特殊到一般的歸納思想.

四、作業(yè)：課堂作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》76課

課外作業(yè)：課本習(xí)題10.3：課課練課時(shí)9

組合⑶

課題：組合、組合數(shù)的綜合應(yīng)用⑴

目的：進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì)，能夠解決一些較為復(fù)雜的組合應(yīng)用問題，提高合理

選用知識(shí)的能力.

過程：

一、知識(shí)復(fù)習(xí)：

1.復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容：

依然強(qiáng)調(diào)：排列一次序性；組合一無序性.

2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1:C：=C7"性質(zhì)2:C2=C：+C：I

常用的等式：cf=C?+1=C：=C^=1

3.練習(xí)：處理《教學(xué)與測(cè)試》76課例題

二、例題評(píng)講：

例I.100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件檢查.

⑴都不是次品的取法有多少種？

⑵至少有1件次品的取法有多少種？

⑶不都是次品的取法有多少種？

解：⑴=2555190：

⑵/-，）=C：?+GU+。起0+/=1366035；

⑶/-C,t=+%。+C衰;。+C^=3921015.

例2.從編號(hào)為1,2,3,…，10,11的共11個(gè)球中，取出5個(gè)球，使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù),

則?共有多少種不同的取法？

解：分為三類：1奇4偶有：3奇2偶有5奇1偶有C；

所以一共有C：C：+C；C；+C；=236.

例3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語(yǔ)翻譯工作；有4名青年能勝任德語(yǔ)翻

譯工作（其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事

英語(yǔ)翻譯工作，2名從事德語(yǔ)翻譯工作，則有多少種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語(yǔ)翻譯工作，有C：C；；

②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語(yǔ)翻譯工作，有

③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有

所以一共有+=42種方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不值周六，問可以排出

多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）一=42

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有c：c：；另一類為甲不值周一，但值周六,

有所以-共有c：c：+c：c；=42種方法.

例5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？

解：第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法：第二步將5個(gè)

“不同元素(書)”分給5個(gè)人有種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，-共有4；=18()()種方法.

變題1：6本不同的書全部送給5人，有多少種不同的送書方法？

變題2：5本不同的書全部送給6人，每人至多1本，有多少種不同的送書方法？

變題3：5本相同的書全部送給6人