2020-2021學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《5.3正方形》同步基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（附答案）

1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相垂直平分

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

B.一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形

C.菱形有四條對(duì)稱軸

D.對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.平行四邊形對(duì)角線相等

B.矩形的對(duì)角線互相垂直

C.菱形的四個(gè)角都相等

D.正方形的對(duì)角線互相平分

4.對(duì)角線互相垂直且相等四邊形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.無(wú)法確定

5.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C.菱形的對(duì)角線互相垂直

D.對(duì)角線長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的面積是工a2

28a

6.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度

沿BC、CZ）向終點(diǎn)C、￡＞運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN,交于點(diǎn)P,連接PC,則PC長(zhǎng)的最小值

C.375-1D.2娓

7.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且AE=4B,連接BE,DE,則N

CDE的度數(shù)為（）

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

8.如圖所示，正方形A8CZ）的邊長(zhǎng)為2,AB在x軸的正半軸上，以4（1,0）為圓心，AC

為半徑作圓交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）

9.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A8c。中，點(diǎn)M為對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)，于E,MF

_LC￡）于凡則EF的最小值為（）

E

A.3A/2B.6A/2C.3D.2

10.如圖，四邊形OBCZ）是正方形，O,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,0）,（0,6）,點(diǎn)C在第

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

11.如圖，等邊△48C與正方形。EFG重疊，其中。、E兩點(diǎn)分別在AB、8C上，且

BE.若AB=6,DE=2,則的面積為（）

13.如圖，P為正方形ABC。的對(duì)角線8。上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE_L8C于點(diǎn)E,PFA.CD

于點(diǎn)凡連接E凡給出以下4個(gè)結(jié)論，其中，所有正確的結(jié)論是（）

①△FPC是等腰直角三角形；②AP=EF=PC：?AD=PD；④NPFE=NBAP.

14.如圖，在正方形ABC。中，B/UCE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ABCG^ACDfB.AG=BEC./OBG=NOCED.ZABG^ZAGB

15.如圖，正方形A8C0和正方形。EFO的頂點(diǎn)A,E,。在同一直線/上，且

48=3,給出下列結(jié)論：①/CO￡>=45°,@AE=5,?CF=BD=VT?>④△COF的面

積S?OF=3,其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

16.如圖，正方形A8C。的面積為36,點(diǎn)E、F分別在AB,AD上，若CE=3娓,S.ZECF

C5工D?嘮

~3~

17.如圖，在正方形48C。中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

OEA.OF交AB邊于點(diǎn)尸，點(diǎn)G,H分別是點(diǎn)E,F關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，圖中陰影部分的面積大小變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.一直不變D.不確定

18.如圖，將正方形。砂G放在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,3）,

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為

19.如圖，將正方形0A8C放在平面直角坐標(biāo)系中，。是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,遙），則

點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

20.正方形A8C￡）,點(diǎn)尸為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足出=3,尸8=2正，PC=5,則/AP8的

度數(shù)為度.

21.如圖，正方形A8C。的對(duì)角線80上有一點(diǎn)E,且BE=3DE,點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，

連接E凡過(guò)點(diǎn)E作EG_LEF,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接G尸并延長(zhǎng)，交。B的延長(zhǎng)

22.如圖，四邊形ABCZXAEFG都是正方形，且NBAE=45°,連接BE并延長(zhǎng)交。G于

點(diǎn)、H,若AB=4,AE=M，則線段的長(zhǎng)是.

23.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,P為射線AO上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)A關(guān)于直

線BP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接PE,BE,CE,DE.當(dāng)△CDE是等腰三角形時(shí)，AP的值

為

24.如圖,在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形4OE,連接BE,則NAEB的度數(shù)為

25.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，JiAE=AB,則NBEA的度數(shù)是

度.

26.如圖，在正方形ABCC中，對(duì)角線AC、BD交于O,E點(diǎn)在8c上，EGA.OB,EFVOC,

27.在正方形A8CD中，E是BC邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=B￡>,則NAEC=

28.如圖，正方形A8CO中，點(diǎn)E、尸分別在邊8C、CD上，連接4E、EF、AF,S.ZEAF

=45°,下列結(jié)論:

①△ABE絲"。尸；

③正方形ABC。的周長(zhǎng)=2Z\CEF的周長(zhǎng)；

④SZ\ABE+SA4DF=SZ\CEF,其中正確的是.（只填寫(xiě)序號(hào)）

29.如圖，ABC。為正方形，NC48的角平分線交8c于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF_LAE交AE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接BG、DG、與AC相交于點(diǎn)H,則下

列結(jié)論：①△48E絲△C8尸；②GF=CG；③BG_LOG；@DH=(&-1)AE,其中正

確的是.

30.如圖，在正方形ABCO中，E是邊CO上一點(diǎn)，4凡LAE交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接

DF,分別交AE、4B于點(diǎn)G、P.

求證：AE=AF.

31.如圖，在矩形A8C。中，A￡>=6,DC=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,H分別在矩

形ABC￡>的邊AB,CD,DA±,A〃=2,DG=2.求證：四邊形EFGH為正方形.

32.如圖，正方形48co中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接PB,邊作PE_LPB交4。邊

于于點(diǎn)E,且點(diǎn)E不與點(diǎn)A,O重合，作PMLAO,PNLAB,垂足分別為點(diǎn)M和N.

(1)求證：PM=PN；

(2)求證：EM=BN.

33.如圖，在。A8CD中，對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,E是8D延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且aACE是

等邊三角形.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形.

(2)若NAEO=2/E4。，求證：四邊形A8CD是正方形.

34.已知：如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,若NCAO=NDBC.

(1)求證：四邊形ABC。是正方形.

(2)E是0B上一點(diǎn)，DHLCE,垂足為4,Z)H與0C相交于點(diǎn)F,求證：0E=0F.

35.如圖，已知正方形A8c。，尸是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，PMLAD,PNLAB,垂足分別

為點(diǎn)M和N,PE上PB交AD于點(diǎn)、E.

(1)求證：四邊形M4VP是正方形；

(2)求證：EM=BN.

DC

M

E

B

36.己知，如圖，矩形ABC。中，AD=6,DC=1,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,"分別

在矩形ABC。的邊4B,CD,D4上，AH=2,連接CE

(1)若DG=2,求證四邊形EFGH為正方形；

(2)若。G=6,求△FCG的面積；

(3)當(dāng)。G為何值時(shí)，△尸CG的面積最小.

37.如圖，在。BCFQ中，點(diǎn)E是。F的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，與BO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)A,

連接CD,AF.

(1)求證：四邊形AOC尸是平行四邊形；

(2)若CA=CB,貝gAOCF為(填矩形、菱形、正方形中的一個(gè)).

38.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CE=C￡>,過(guò)點(diǎn)E作EFJ_AC

交AO于點(diǎn)凡連接8E.

(1)求證：DF=AE；

(2)當(dāng)A8=2時(shí)，求AF的值.

39.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為連接AC、B。交于點(diǎn)O,CE平分NACD交BD

于點(diǎn)E,

(1)求。E的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)E作ERLCE,交A8于點(diǎn)凡求B尸的長(zhǎng)；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EG_LCE,交CO于點(diǎn)G,求OG的長(zhǎng).

40.在邊長(zhǎng)為5的正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊C。所在直線上，連接BE,以BE為邊,在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，BG=;AG=;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，DE=2,求AG的長(zhǎng)；

(3)若AG=請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)OE的長(zhǎng).

2

參考答案

1.解：A、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對(duì)角線都互相平分，故本選項(xiàng)正確；

8、只有矩形，正方形的對(duì)角線相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、只有菱形，正方形的對(duì)角線互相垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、只有菱形，正方形的對(duì)角線互相垂直平分，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

2.解：4.因等腰梯形滿足“一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行”，但它不是平行四邊形，故

此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

B.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不一定是矩形，故此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

C.菱形的對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在的直線，因此菱形只有兩條對(duì)稱軸，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.因?yàn)閷?duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，若再加上對(duì)角線互相垂直條件，則矩形

便轉(zhuǎn)化為正方形，所以對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，故此選項(xiàng)正確；

故選：D.

3.解：A、平行四邊形對(duì)角線互相平分，錯(cuò)誤；

8、矩形的對(duì)角線相等，錯(cuò)誤；

C、菱形的四條邊都相等，錯(cuò)誤；

。、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，正確；

故選：D.

4.解：對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，故A選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)角線互相垂直平分的四邊形才是菱形，故B選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形才是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；

故。選項(xiàng)正確.

故選：D.

5.解：因?yàn)閷?duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

因?yàn)閷?duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以8選項(xiàng)正確，不符合題意；

因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以C選項(xiàng)正確，不符合題意；

因?yàn)閷?duì)角線長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的面積是：所以。選項(xiàng)正確，不符

22228

合題意.

故選:A.

6.解：由題意得：BM=CN,

?..四邊形ABC。是正方形，

：.ZABM^ZBCN=90a,AB=BC=4,

在△48M和△8CN中，AB=BC,NABM=ZBCN,MB=CN,

.'△ABM絲Z\BCN(SAS),

:.NBAM=ZCBN,

'：ZABP+ZCBN=90°,

NABP+NBA例=90°,

AZAPB=9Q°,

???點(diǎn)p是以AP為半徑的圓上遠(yuǎn)動(dòng)，設(shè)圓心為O,運(yùn)動(dòng)路徑一條弧衣，是這個(gè)圓的工,

4

如圖所示：

連接OC交圓。于P,此時(shí)PC最小，

VAB=4,

：.OP=OB=2,

由勾股定理得：。。=62+42=2泥,

:.PC=OC-OP=2遙-2；

故選：A.

7.解：??,四邊形ABCZ）是正方形，

：.AB=AD,ZADC=90Q,ZDAC=45Q,

???AE=A8,

：.AD=AEf

：.ZADE=ZAED=61.5°,

AZCD￡=90°-67.5°=22.5

故選:B.

8.解：???四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，

.?.AB=BC=2,

AC=2"\/2>

?.?以A為圓心，AC為半徑畫(huà)圓交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)P,

AP=AC=2"\/2>

又；點(diǎn)A(1,0),

：.OP=242-b

:.點(diǎn)P(1-2亞,0),

故選：D.

9.解：連接MC,如圖所示：

；四邊形ABC3是正方形，

.\ZC=90°,ZDBC=45",

8c于E,MF_LC￡>于F

四邊形"EC尸為矩形，

：.EF=MC,

當(dāng)MCI.BD時(shí)，MC取得最小值,

此時(shí)△BCM是等腰直角三角形，

:.MC=?BC=AX—=372,

22

.?.EF的最小值為3圾；

故選：A.

B

E

10.解：,?,四邊形O8CO是正方形，

：.OB=BC=CD=OD,ZCDO=ZCBO=90°,

VO,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0),(0,6),

：?OD=6,

：?OB=BC=CD=6,

：.C(6,6).

故選：D.

11.解：過(guò)尸作bQJLBC于Q,則NH2E=90°,

:△ABC是等邊三角形，AB=6f

：.BC=AB=6,ZB=60°,去

?；BD=BE,DE=2,/\

??.△BE。是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,D/^\\

:?BE=DE=2,NBED=6U0,

BECC

；?CE=BC-BE=4,M

???四邊形OEFG是正方形，DE=2,

,EF=DE=2,ZDEF=90°,

AZFEC=180°-60°-90°=30°,

：.QF=1.EF=\,

2

.?.△ETC的面積為?|■XCEXFQ="^X4X1=2，

故選：B.

12.解：?.?四邊形ABC。是正方形，

.?./A￡>C=90°,AD=DC,

：是等邊三角形，

：.DE=DC,NE￡)C=60°,

AZADE=900+60°=150°,AD=ED,

：.ZDAE=ZDEA=A(180°-ZADE)=15°,

2

故選：B.

13.解：???尸為正方形ABC。的對(duì)角線BO上任一點(diǎn),

：.PA=PC,ZBCD=90a,

,/過(guò)點(diǎn)P作PE_LBC于點(diǎn)E,PFX.CD,

AZPEC=ZDFP=ZPFC=ZC=90°,

...四邊形PECF是矩形，

：.PC=EF,

：.PA=EF,故②正確，

YBD是正方形ABCD的對(duì)角線，

:./ABD=NBDC=NDBC=45°,

VZPFC=ZBCr>=90°,

：.PF//BC,

：.ZDPF=ZDBC=45°,

:NDFP=90°,

...△FP。是等腰直角三角形，故①正確，

在和△PCB中，

'AB=CB

?PA=PC>

BP=BP

.,.△BAB絲△PCBCSSS),

:.NBAP=NBCP,

在矩形PECF中，ZPFE=NFPC=NBCP,

:.NPFE=NBAP.故④正確，

；點(diǎn)P是正方形對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，

：.AD不一定等于PD,

只有/84P=22.5°時(shí)，AD=PD,故③錯(cuò)誤，

故選：C.

14.解：A.：四邊形ABC。是正方形，

AZBCD=90°,NBCG=NCDE=45°,BC=CD,

,：HFICE,

...NBFC=90°,

:.NCBG+NBCF=NBCF+NDCE=90°,

：.NCBG=NDCE,

:.△BCG義ACDE(ASA),

故A正確；

B.一△BCGECDE,

：.CG=DE,

?.?正方形ABC。中，AC=BD,

J.AG^BE,

故B正確；

C.,:XBCG經(jīng)4CDE,

：.NCBG=NDCE,

???正方形ABC￡>中NOBC=NOC￡>=45°,

:.NOBG=NOCE,

故C正確；

E是O。上的任意一點(diǎn)，

.?.當(dāng)8EW8C時(shí)，有AB/BE,

"：AG=BE,

J.AB^AG,

：.ZABG^ZAGB,

故。錯(cuò)誤；

故選：D.

15.解：①?.?/AOC=90°,ZDOE=45°,

AZCOD=180°-ZAOC-ZDOE=45°,

故正確；

②?;EF=血,

：.OE=2,

；AO=A8=3,

二AE=AO+OE=2+3=5,

故正確；

③作DHVAB于H,作FGLCO交CO的延長(zhǎng)線于G,

則FG=\,

CF=VFG2<G2=Vl2+(3+l)2=A/n,

BH=3-1=2,

0H=3+1=4,

8D=廬”=2粕，

故錯(cuò)誤；

④△C0F的面積&COF=2X3XI=3,

22

故錯(cuò)誤；

16.解：：正方形A8CO的面積為36,

：.BC=AB=6,

如圖，延長(zhǎng)尸。到G,使。G=BE；

連接CG、EF；

?.,四邊形ABC。為正方形，

CB=CD

在△BCE與△CCG中，■ZCBE=ZCDG，

BE=DG

：./\BCE^/\DCG(SAS),

:.CG=CE,NDCG=NBCE,

.?.NGCF=45°,

rGC=EC

在△GCF與△￡(#中，，NGCF=NECF，

CF=CF

.,.△GCF^AECF(SAS),

：.GF=EF,

,:CE=38CB=6,

.?.BE=3,

：.AE=3,

設(shè)AF=x,貝ij。尸=6-x,G尸=3+(6-x)=9-x,

??衣=〃12+乂2=4？'

:.(9-x)2=9+7,

Ax=4,

即Ab=4,

ADF=6-4=2,

CF=YCD2+DF2=462+22=2715,

故選：A.

17.解:連接B￡>,

?.?四邊形ABC。是正方形，

.?.N8OC=90°,

：.ZBOE+ZEOC=90Q,

'：OE±OF,

.../BOE+/FOB=90°,

：.ZFOB=ZEOC,

在△FOB和△EOC中，

rZF0B=ZE0C

>0B=0C，

ZFB0=ZEC0=45°

：./\FOB^/\EOC,

同理，AHOD^AGOC,

圖中陰影部分的面積=△ABD的面積=上義正方形ABCD的面積,

故選：C.

HD

18.解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線E”，垂足為H.過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線GM,垂足為例,

連接GE、尸。交于點(diǎn).

?.?四邊形OEFG是正方形，

：.OG=EO,NGOM=NOEH,NOGM=NEOH,

"ZOGM=ZEOH

在△OGAf與△EOH中，＜OG=EO，

ZG0M=Z0EH

.?.△OGM絲△EOH(ASA)

：.GM=OH^\,0M=EH=3,

：.G(-3,1).

：.O'(-1,2).

；點(diǎn)尸與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O'對(duì)稱，

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,4).

故答案是:(-2,4).

?；四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OC,ZAOC=90°=ZEOF,

.'.ZCOE^ZAOF,

在△40尸和△<%>￡中，

，ZAF0=ZCE0

'ZA0F=ZC0E>

A0=C0

AAA0F^AC0￡（A4S）,

：.AF=CE=l,0E=0F=娓,

.?.點(diǎn)c（-詬1）,

故答案為：（-1）.

20.解：將AAPB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°得到△3P'C,則NP2P'=90°,BP=BP',AP=P'

C,NAPB=NCP'B,

,:PB=2近,

:.BP'=2&,

：.PP'=4,ZBP'P=45°,

?.,勿=3,PC=5,

：.P'C=3,

:PP'2+P'C2=42+32=52=PC2,

.?.△PPC是直角三角形，ZPP'C=90°,

：.ZBP1C=/BP'P+ZPP'C=135°,

AZAPB=\35°,

故答案為：135.

21.解：如圖，作EN_LAB于N,EM_LBC于M,PHLCB于H.

AD

???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=DC=CB=AB=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,NABD=NCBD=

NADB=NCDB=45°,

:?EN=EM=BN=BM,

?:BE=3DE,

:?BN=3AN,所以AN=1,BN=3,

???EM=EN=BM=BN=3,

VEF±EG,

：.ZFEG=90°,

VZNEM=90°,

，/NEF=/MEG,

在和△MEG中：

<ZFNE=ZGME

<NE=ME

ZNEF=ZMFG

：.ANEFQAMEG(ASA),

:?MG=NF,EG=EF,

VBF=1,

:.NF=NB+BF=4,

???MG=4,

：?BG=BM+MG=7,

9：ZPBF=ZABD=45°,

：.ZPBG=135°,

：?NPBH=45°,

AZHPB=45°,

:?BH=PH,PB=MPH,

設(shè)BH=PH=x,則PB=@,GH=BH+BG=x+7,

得》=工，

6

所以PB=2叵,

6

又因?yàn)锽E=&BN=3?

所以EP=EB+BP=旦!2.

6

22.解：連接GE交A。于點(diǎn)N,連接DE,如圖,

'：ZBAE=45°,

尸與EG互相垂直平分，且A尸在上，

,:AE=近,

:.AN=GN=\,

:.DN=A-\=3,

在RtZ\￡WG中，￡>G=^DN2+CN2=A/TO；

由題意可得：△ABE相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AG。,

：.DG=BE=y[]X),

?：SADEG=LGE?ND=LDG?HE,

22

V105_

BH=BE+HE=K&+Ri=囚迅

55

故答案是：曲叵.

5

23.解：①如圖1,當(dāng)CE=CD,且點(diǎn)P在線段A。上時(shí)，

由題意知，LBEC為等邊三角形,

過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，分別交AO,8C于點(diǎn)例，N,

則EN=y^.BE=X^-,

22

-返，

2

在四邊形A8EP中，

ZABE=30°,NA=NPEB=90°,

.?./APE=150°,

；./MPE=180°-/APE=30°,

在RtZXPEM中，

PE=2ME=2-弧,

：.AP=PE^2-5/3；

②如圖2,當(dāng)CE=CD,且點(diǎn)尸在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，

由題意知，ABCE為等邊三角形,

過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，交BC于N,交AO于M，

貝I]NE=?CE=?,

22

：.ME=l+叵,

2

在四邊形ABE尸中，

/A=NBEP=90°,ZABE^ZABC+ZEBC=150°,

：.ZAPE=30°,

在RtZXPME中，

PE=2ME=2+M，

：.AP=PE=2+y/3i

③如圖3,當(dāng)EO=EC時(shí)，點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，也在A8的垂直平分線上,

：.AE=BE,

又"：AB=EB,

.?.△ABE為等邊三角形，

/.ZABE=60°,

：.ZABP=ZEBP=30°,

在Rt/\ABP中，

AP=?1B=返，

33

綜上所述，AP的值為2-相或2+?或返.

3

24.解：根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知AB=AE,

/.ZBA￡=90°+60°=150°,

AZA￡B=(180°-150°)4-2=15°.

故答案為：15°

25.解：：四邊形ABC。是正方形，

：.ZBAC=45°,

9

\AE=ABf

???N8E4=NA8E=180、Y5。=67.5°.

2

故答案為：67.5.

26.解：???四邊形A8co是正方形，AC=10,

：.AC±BD,BO=OC=5,

〈EG上OB,￡F±OC,

S^BOE+S^COE=SMOC，

.?」WEG+九?OC?EFT?OB?OC,

222

.".AX5X￡G+AX5XEF=JLX5X5,

222

：.EG+EF=5.

故答案為5.

27.解：連接AC,則正方形ABC。中，AC=BD

'：CE=BD

：.AC=EC

：.ZE=ZCAF

'：AD//EC

：.ZE=ZDAF

：.ZCAF=ZDAF

???NC4O=45°

???ZCAF=ZDAF=22.5°

：.NAEC=22.5°

28.解：①當(dāng)E、尸不分別是8c和CD的中點(diǎn)時(shí)，BEWDF,則△A8E注八4￡下不成立，故

①錯(cuò)誤；

②延長(zhǎng)CO至G,使得DG=BE,如圖1,

*：AB=ADfZABE=ZADG=90°,

??.△ABE四△AOG(SAS),

:?/BAE=/DAG,/AEB=/G,AE=AGf

VZBAD=90°,NE4尸=45°,

AZBAE+ZDAF=45°,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=45°,

：.AEAF=ZFAG,

VAF=AF,

A/XAEF^^AGF(5AS),

JNAEF=/G,

?,.ZAEB=NAEF,

故②正確；

G

圖1

③：AAEF^AAGF,

，EF=GF=DG+DF=BE+DF,

：.ACEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC,

?:正方形ABC。的周長(zhǎng)=4BC,

...正方形ABCD的周長(zhǎng)=2△CEF的周長(zhǎng)，

故③正確；

④；/\ABE^/\ADG,

-'?S&ABE=S&ADG>

S^ABE+S^DF—S&\GF，

,:GF=EF>CF,AD,CE,

.,/F?AD〉看:F?CE，即S&4GF〉SACEF，

/?S&ABE+S八ADFWSMEF，

故④錯(cuò)誤;

故答案為：②③.

29.解：①四邊形ABCZ）為正方形,

：.AB=CB,ZABC=ZCBF=90Q,

\'AG±CF,

：.ZAGF=90°,

AZGAF+ZF=90°,

VZBCF+ZF=90°,

：.ZGAF=ZBCF,

:.△ABE—CBF(ASA),

故此小題結(jié)論正確;

②;AG是NCA8的角平分線,

：.ZBAG=ZCAGf

VZAGF=ZAGC=90°,AG=AG,

AAAFG^AACG(ASA),

:,FG=CG,

故此小題結(jié)論正確；

③???NC3b=90°,FG=CG,

：?BG=CG,

:./CBG=/BCG,

VZABC=ZDCB=9G0,

:.NABG=/DCG,

?；AB=DC,

AAABG^ADCG(SAS),

???NAGB=/DGC,

VZDGC+ZAGD=ZAGC=90°,

???NAG5+NAGD—90°,

：.BGA.DG,

故此小題結(jié)論正確；

@VAABG名/\DCG,

：.ZCDG=NBAG=ZCAG,

■:/DCH=NACE,

券AE'

故此小題結(jié)論錯(cuò)誤.

由上可知，正確的結(jié)論是①②③，

故答案為：①②③.

DC

30.證明：I?四邊形A2C￡>為正方形，

：.AB=AD,ZABC^ZBAD^ZA￡>C=90°,

'：AFLAE,

/.ZEAF=90°,即NMB+NEAB=90°,

而NE4O+NEAB=90°,

：.ZFAB^ZEAD,

在△ABF和△ADE中，

，ZFAB=ZEAD

,AB=AD，

ZABF=ZADE

A/XABF^/XADE(ASA),

：.AE=AF.

31.解：?.?四邊形4BCO為矩形，四邊形"EFG為菱形,

.".ZD=ZA=90°,HG=HE,

又AH=DG=2,

：.Rt/\AHE^Rt/^,DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

'：ZAHE+ZHEA=90°,

NAHE+/￡?HG=90°,

：.ZEHG=90°,

四邊形HEFG為正方形.

32.證明：(1)???四邊形A8CO為正方形，

；.AC平分NBAO,

又；PMLAD,PN1AB,

：.PM=PN.

(2)'：PM1AD,PNA.AB,ZMAN=90<>,PM=PN,

???四邊形PM4V為正方形，

：.ZMPN=90°,即NMPE+NEPN=90°.

；PE±PB,

：.NEPN+NNPB=90°,

：.ZMPE=ZNPB.

'JPMLAD,PNLAB,

：.NPME=ZPNB=90°.

fZMPE=ZNPB

在△「〃￡■和△/WB中，＜PM=PN,

ZPME=ZPNB

:.XPME迫叢PNB(ASA),

：.EM=BN.

33.證明：(1)'：°ABCD,

：.AO=OC,

???△ACE是等邊三角形，

：.EOLAC(三線合一)

即BD1AC,

，。ABC。是菱形；

(2):△ACE是等邊三角形，NE4C=60°

由(1)知，EOLAC,AO=OC

/4E0=NOEC=30°,ZkAOE是直角三角形

...NEAO=60°,

ZAED=2ZEAD,

：.ZEAD=\5°,

：.ZDAO^ZEAO-ZEAD=45°,

是菱形,

：.ZBAD=2ZDAO=90°,

二菱形ABC。是正方形.

34.(1)證明：?.?四邊形ABC。是菱形，

J.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,NABC=2NDBC,

：.ZBAD+ZABC=ISO°,

'：ZCAD^ZDBC,

：.NBAD=NABC,

/.2ZBAD=180°,/.ZBAD=90Q,

四邊形ABC。是正方形；

(2)證明：I?四邊形ABC。是正方形，

：.AC±BD,AC=BD,CO=Lc,DO=^BD,

22

.../COB=N￡>OC=90°,CO=DO,

"：DH1CE,垂足為"，

?：NDHE=90°,ZEDH+ZDEH=90°,

；NECO+NDEH=90°,

：.ZECO^ZEDH,

'/ECO=/EDH

在和△FQ。中，<CO=DO，

ZCOE=ZDOF

.?.△EC。絲△EDO(ASA),

：.OE=OF.

35.證明：(1)?.?四邊形ABC。是正方形，

AZDAB=90°,AC平分NZMB,

,：PM1AD,PNLAB,

.?./PM4=NPM4=90°,

二四邊形MANP是矩形，

平分NDAB,PMA.AD,PNLAB,

：.PM=PN,(3分)

二四邊形MANP是正方形；

(2)?.,四邊形ABC。是正方形，

:.PM=PN,NMPN=9G°,

VZEPB=90°,

二NMPE+NEPN=ZNPB+ZEPN=90°,

：.ZMPE=ZNPB,

在△E/W和△BPN中，

，ZPMA=ZPNB=90°

PM=PN，

ZMPE=ZNPB

:.△EPM%/\BPN(ASA),

：.EM=BN.

36.解：(1)：四邊形ABC。為矩形，四邊形HEFG為菱形，

；./￡>=/A=90°,HG=HE,又AH=QG=2,

/.Rt/\AHE^Rt/\DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

'：ZAHE+ZHEA=90°,

/.ZAHE+ZDHG=90Q,

：.ZEHG=90°,

，四邊形”E尸G為正方形；

(2)過(guò)下作FM_L￡>C,交。C延長(zhǎng)線于M,連接GE,

'JAB//CD,

：.NAEG=ZMGE,

"：HE//GF,

：.NHEG=ZFGE,

：.NAEH=/MGF,

在△?!〃￡：和△MFG中，/A=/M=90°,HE=FG,

：.△AHaXMFG,

：.FM=HA=2,即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2,

因此SzkFCG"fxFMXGcVx2X(7-6)=1；

(3)設(shè)。G=x,則由第(2)小題得，SMCG=I-x,在中，AEW48=7,

.,.HE1^53,

.?./+16W53,

：?xW后,

:.S&FCG的最小值為7-病，止匕時(shí)DG-V37-

...當(dāng)￡>G=幅時(shí)，△FCG的面積最小為(7-病).

37.解：(1)在平行四邊形BCFC中，

DE//BC,

TE是。尸的中點(diǎn)，

：.DE=^BC,

2

.?.OE是△A8C的中位線，

.?