PAGE中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，精心整編吐血推薦,如若有用請(qǐng)打賞支持，感激不盡！【2017年中考攻略】專(zhuān)題14：數(shù)學(xué)思想方法之化歸探討化歸是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng)。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是一系列化歸的過(guò)程，中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是化歸的方法?；瘹w思想是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有意識(shí)地對(duì)所研究的問(wèn)題從一種對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一對(duì)象的思維方式。通常有從未知——已知；復(fù)雜——簡(jiǎn)單；抽象——具體；一般——特殊；綜合——單一；高維——低維；多元——一元；困難——容易，以及數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式之間的轉(zhuǎn)化、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題等。說(shuō)到底，化歸的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。體現(xiàn)上述化歸思想的有換元法、消元法、配方法、降次法、待定系數(shù)法、幾何三大變換法、幾何問(wèn)題代數(shù)化法、代數(shù)問(wèn)題函數(shù)化法、數(shù)形結(jié)合法等等。例如，當(dāng)時(shí)，求的值。該題可以采用直接代入法，但是更簡(jiǎn)易的方法應(yīng)為先化簡(jiǎn)再求值，此時(shí)原式。這就是由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。又如，解一元二次方程。我們可以將左邊分解因式，應(yīng)用降次化為兩個(gè)一元一次方程求解，這就是由高維——低維的化歸；也可以將方程配方成為一個(gè)整式的平方等于一個(gè)數(shù)的形式，應(yīng)用平方根的性質(zhì)求解，這就是由未知——已知的化歸。再如，如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PB的最小值。連接DE，交BD于點(diǎn)P，連接BD。因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，所以DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值。從而將求PE+PB的最小值變?yōu)榍驞E的長(zhǎng)。這就是應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的從困難——容易的化歸?；瘹w的基本思想是：將待解決的問(wèn)題A，在一定條件下轉(zhuǎn)化為問(wèn)題B，再把問(wèn)題B轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或較易解決的問(wèn)題C，而通過(guò)對(duì)C的解決，達(dá)到原問(wèn)題的解決，可用框圖表示如下：化歸應(yīng)遵循的原則：（1）化歸目標(biāo)的簡(jiǎn)單化原則，即化歸的方面是由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，對(duì)復(fù)雜總是采用分解或變更的方法，使目標(biāo)簡(jiǎn)單化。（2）化歸的熟悉化原則，即化歸的方向是由不熟悉到熟悉，把要解決的（不熟悉）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉會(huì)解的問(wèn)題，使所要解決的問(wèn)題熟悉化。（3）化歸的具體化原則，即化歸的方向一般是由抽象到具體。在分析問(wèn)題時(shí)，盡力將問(wèn)題具體化。（4）化歸的和諧化原則，即化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。（5）化歸的正難則反原則，即當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。結(jié)合2016年全國(guó)各地中考的實(shí)例，我們從下面四方面探討化歸思想的應(yīng)用：（1）代數(shù)問(wèn)題之間的化歸；（2）代數(shù)問(wèn)題與函數(shù)問(wèn)題之間的化歸；（3）幾何問(wèn)題之間的化歸；（4）代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題之間的化歸。一、代數(shù)問(wèn)題之間的化歸：典型例題：例1.（2016江蘇宿遷8分）求代數(shù)式的值，其中a=1，b=.【答案】解：原式=，當(dāng)a=1，b=時(shí)，原式=2。【考點(diǎn)】代數(shù)式求值，完全平方公式和平方差公式?！痉治觥繎?yīng)用完全平方公式和平方差公式展開(kāi)后合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入求值?！军c(diǎn)評(píng)】先化簡(jiǎn)后求值體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例2.（2016四川涼山4分）已知，則的值是【】A． B． C． D．【答案】D?！究键c(diǎn)】比例的性質(zhì)?！痉治觥俊?，∴設(shè)出b=5k，得出a=13k，把a(bǔ)，b的值代入，得，。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】應(yīng)用待定系數(shù)法求值體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例3.（2016廣西柳州3分）你認(rèn)為方程x2＋2x－3=0的解應(yīng)該是【】A．1B．-3C．3D．1或-3【答案】D?！究键c(diǎn)】因式分解法解一元二次方程?！痉治觥坷靡蚴椒纸夥?，原方程可變?yōu)椋▁+3）（x-1）=0，即可得x+3=0或x-1=0，解得：x1=-3，x2=1。故選D。【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用因式分解法解一元二次方程體現(xiàn)了由高維——低維的化歸。例4.（2016福建寧德4分）二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\al(x＋y＝3,2x－y＝6))的解是【】A．eq\b\lc\{(\a\al(x＝6,y＝－3))B．eq\b\lc\{(\a\al(x＝0,y＝3))C．eq\b\lc\{(\a\al(x＝2,y＝1))D．eq\b\lc\{(\a\al(x＝3,y＝0))【答案】D?！究键c(diǎn)】解二元一次方程組。【分析】。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】應(yīng)用加減消元法（代入消元法）解二元一次方程組體現(xiàn)了由多元——一元的化歸。例5.（2016湖北襄陽(yáng)3分）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是【】A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D?！究键c(diǎn)】一元二次方程定義和根的判別式，二次根式有意義的條件?！痉治觥坑深}意，根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0定義知：k≠0；根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)的條件得：2k+1≥0；根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者聯(lián)立，解得﹣≤k＜且k≠0。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】應(yīng)用一元二次方程定義和根的判別式，二次根式的概念將求k的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。例6.（2016湖北荊州3分）若與|x﹣y﹣3|互為相反數(shù)，則x+y的值為【】A．3B．9C．12D．27【答案】D?！究键c(diǎn)】相反數(shù)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)?！痉治觥俊吲c|x﹣y﹣3|互為相反數(shù)，∴+|x﹣y﹣3|=0，∴，解得?！鄕+y=12+15=27。故選D。【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)將求x+y的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。練習(xí)題：1.（2016河北省3分）已知y=x－1，則（x－y）2＋（y－x）＋1的值為▲。2.（2016北京市5分）已知，求代數(shù)式的值。3.（2016貴州銅仁4分）一元二次方程的解是▲．4.（2016福建漳州4分）二元一次方程組的解是【】A．B．C．D．5.（2016湖南常德3分）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是【】A.B.C.D.6.（2016四川攀枝花3分）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是【】 A． 20或16B．20C．16D．以上答案均不對(duì)7.（2016廣西河池6分）解分式方程.二、代數(shù)問(wèn)題與函數(shù)問(wèn)題之間的化歸：典型例題：例1.（2016浙江衢州3分）函數(shù)的自變量x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，在數(shù)軸上表示不等式的解集?！痉治觥扛鶕?jù)二次根式有意義的條件，計(jì)算出的取值范圍，再在數(shù)軸上表示即可，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：＞，≥向右畫(huà)；＜，≤向左畫(huà)，在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示。根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須。故在數(shù)軸上表示為：。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)二次根式有意義的條件，把函數(shù)自變量的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式求解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。例2.（2016山西省2分）如圖，一次函數(shù)y=（m﹣1）x﹣3的圖象分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A．B，則m的取值范圍是【】 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0【答案】B?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得m＜1。故選B?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，把m的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式求解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。例3.（2016陜西省3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)與圖象交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為【】A．（－1，4） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）【答案】D?！究键c(diǎn)】?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，解二元一次方程組【分析】聯(lián)立，解得?！帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，把求點(diǎn)M的坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。例4.（2016浙江臺(tái)州4分）點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函數(shù)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是【】 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y【答案】D?！究键c(diǎn)】曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，有理數(shù)的大小比較?！痉治觥坑牲c(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函數(shù)的圖象上，得y1=－6，y2=3，y3=2。根據(jù)有理數(shù)的大小關(guān)系，－6＜2＜3，從而y1＜y3＜y2。故選D。【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，把求坐標(biāo)值的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的大小比較求解體現(xiàn)了由未知——已知的化歸。例5.（2016湖南株洲3分）如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣1，則該拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是【】A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．x=﹣3D．x=﹣2【答案】A。【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性?！痉治觥吭O(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（b，0），∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣1，∴=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故選A?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，把求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題求解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。例6.（2016四川內(nèi)江3分）函數(shù)的圖像在【】A第一象限B.第一、三象限C.第二象限D(zhuǎn).第二、四象限【答案】A?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖象，函數(shù)的定義域和值域，平面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的特征。【分析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，∴根?jù)面直角坐標(biāo)系中各象限點(diǎn)的特征知圖像在第一象限，故選A?！军c(diǎn)評(píng)】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件，把函數(shù)圖象所在象限問(wèn)題轉(zhuǎn)化求函數(shù)的定義域和值域問(wèn)題求解體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸。練習(xí)題：1.（2016湖北荊門(mén)3分）已知點(diǎn)M（1﹣2m，m﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是【】A．B．C．D．2.（2016江蘇蘇州3分）若點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=2x+1的圖象上，則2m-n的值是【】A.2B.-2C.1D.-13.（2016江西南昌3分）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）經(jīng)過(guò)（2，﹣1）、（﹣3，4）兩點(diǎn)，則它的圖象不經(jīng)過(guò)【】 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限4.（2016江蘇南通3分）已知點(diǎn)A(－1，y1)、B(2，y2)都在雙曲線(xiàn)y＝EQ\F(3＋2m,x)上，且y1＞y2，則m的取值范圍是【】A．m＜0B．m＞0C．m＞－EQ\F(3,2)D．m＜－EQ\F(3,2)5.（2016江蘇常州2分）已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x分別取，3，0時(shí)，對(duì)應(yīng)的值分別為，則的大小關(guān)系正確的是【】A.B.C.D.6.（2016山東濱州3分）拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是【】A．3B．2C．1D．0三、幾何問(wèn)題之間的化歸：典型例題：例1.（2016北京市4分）如圖，直線(xiàn)AB，CD交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OM平分∠AOD，若∠BOD=760，則∠BOM等于【】A． B． C． D．【答案】C?！究键c(diǎn)】角平分線(xiàn)定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義。【分析】由∠BOD=760，根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)，得∠AOC=760，根據(jù)補(bǔ)角的定義，得∠BOC=1040。由射線(xiàn)OM平分∠AOD，根據(jù)角平分線(xiàn)定義，∠COM=380?！唷螧OM=∠COM＋∠BOC=1420。故選C。【點(diǎn)評(píng)】經(jīng)過(guò)等量代換，把未知角化為已知角的和求解體現(xiàn)了由未知——已知的化歸。例2.（2016山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是【】A．4B．3C．2D．1【答案】D?！究键c(diǎn)】三角形中位線(xiàn)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE?！逧是AC中點(diǎn)，∴DE=EH?！唷鱀CE≌△HAE（AAS）?！郉E=HE，DC=AH。∵F是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線(xiàn)?！郋F=BH?！郆H=AB﹣AH=AB﹣DC=2?！郋F=1。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】作輔助線(xiàn)：連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，把EF變換成△DHB的中位線(xiàn)，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由未知——已知、綜合——單一的化歸。例3.（2016重慶市6分）已知：如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求證：BC=ED．【答案】證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC。在△EAD和△BAC中，∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED（ASA）。∴BC=ED。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再由條件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA證明△ABC≌△AED，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=ED。【點(diǎn)評(píng)】經(jīng)過(guò)等量代換，把∠1=∠2變換∠EAD=∠BAC，結(jié)合已知的∠B=∠E，AB=AE，構(gòu)成兩三角形全等，使問(wèn)題得到解決體現(xiàn)了由困難——容易的化歸。例4.（2016湖北天門(mén)、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為4，AE=2，則BD的長(zhǎng)為【】A．2B．3C．D．【答案】A?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，等邊三角形的性質(zhì)?！痉治觥垦娱L(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF=BD，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF?！唷鱁BD≌△EFC（SAS）?！唷螧=∠F?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB?！唷螦CB=∠F?！郃C∥EF?！郃E=CF=2?！郆D=AE=CF=2。故選A?！军c(diǎn)評(píng)】作輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF=BD，構(gòu)成全等三角形，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由綜合——單一的化歸。例5.（2016四川南充3分）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長(zhǎng)是▲cm.【答案】4?！究键c(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，將△ADC旋轉(zhuǎn)至△ABE處，則△AEC的面積和四邊形ABCD的面積一樣多為24cm2，,這時(shí)三角形△AEC為等腰直角三角形，作邊EC上的高AF，則AF=EC=FC,∴S△AEC=AF·EC=AF2=24?！郃F2=24?！郃C2=2AF2=48AC=4?！军c(diǎn)評(píng)】作旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)成等腰直角三角形，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例6.（2016廣西南寧3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，則OA的取值范圍是【】A．2cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cm【答案】C?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥俊咂叫兴倪呅蜛BCD中，AB=3cm，BC=5cm，∴OA=OC=AC（平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分），BC－AB＜AC＜BC＋AB（三角形三邊關(guān)系），即2cm＜AC＜8cm?！?cm＜OA＜4cm。故選C。【點(diǎn)評(píng)】將已知條件轉(zhuǎn)換到一個(gè)三角形內(nèi)，應(yīng)用三角形三邊關(guān)系，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例7.（2016江蘇徐州2分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠A=600。是以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的弧，是以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的弧。則陰影部分的面積為▲cm2。【答案】?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，連接BD?！吡庑蜛BCD中∠A=600，∴△ABD和△BCD是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形?！郆D與圍成的弓形面積等于CD與圍成的弓形面積?！嚓幱安糠值拿娣e等于△BCD的面積。由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠A=600得△BCD的高為2sin600=?！唷鰾CD的面積等于（cm2），即陰影部分的面積等于cm2?！军c(diǎn)評(píng)】作輔助線(xiàn)：連接BD，進(jìn)行等面積代換，將求陰影部分的面積變?yōu)榍蟆鰾CD的面積，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例8.（2016海南省3分）如圖，點(diǎn)A、B、O是正方形網(wǎng)格上的三個(gè)格點(diǎn)，⊙O的半徑為OA，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則的值是【】A．1B．C．D．【答案】A?！究键c(diǎn)】圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。【分析】如圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P1，連接AB，BP1。設(shè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為a。則由直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)，得∠ABP1=900。根據(jù)勾股定理，得AB=BP1=。根據(jù)正切函數(shù)定義，得。根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等的性質(zhì)，得∠ABP=∠ABP?！唷９蔬xA。【點(diǎn)評(píng)】作輔助線(xiàn)：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P1，連接AB，BP1，應(yīng)用圓周角定理將轉(zhuǎn)換為直角三角形內(nèi)的角，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。例9.（2016四川涼山8分）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法．他把管道l看成一條直線(xiàn)（圖（2）），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′．②連接AB′交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題．如圖在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使△PDE得周長(zhǎng)最?。?）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDE周長(zhǎng)的最小值：．【答案】解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求。（2）8．例10.（2016山東濱州10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的解析式；（2）若點(diǎn)M是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得，解這個(gè)方程組，得?！鄴佄锞€(xiàn)的解析式為y=﹣x2+x。（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，并且對(duì)稱(chēng)軸垂直平分線(xiàn)段OB?！郞M=BM。∴OM+AM=BM+AM。連接AB交直線(xiàn)x=1于M點(diǎn)，則此時(shí)OM+AM最小。過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，在Rt△ABN中，，因此OM+AM最小值為。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解方程組，二次函數(shù)的性質(zhì)，線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。【分析】（1）已知拋物線(xiàn)上不同的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該拋物線(xiàn)的解析。（2）根據(jù)O、B點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)：拋物線(xiàn)上，O、B兩點(diǎn)正好關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，那么只需連接A、B，直線(xiàn)AB和拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為符合要求的M點(diǎn)，而AM+OM的最小值正好是AB的長(zhǎng)。對(duì)x=1上其它任一點(diǎn)M′，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，總有：OM′+AM′=BM′+AM′＞AB=OM+AM，即OM+AM為最小值?！军c(diǎn)評(píng)】作軸對(duì)稱(chēng)變換，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由復(fù)雜——簡(jiǎn)單的化歸。練習(xí)題：1.（2016重慶市4分）已知：如圖，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，則∠ABD的度數(shù)為【】A．60°B．50°C．40°D．30°2.（2016廣東佛山6分）如圖，已知AB=DC，DB=AC（1）求證：∠ABD=∠DCA，注：證明過(guò)程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)．（2）在（1）的證明過(guò)程中，需要作輔助線(xiàn)，它的意圖是什么？3.（2016江蘇常州5分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求證：∠DBC=∠DCB。4.（2016貴州銅仁4分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為【】A．6B．7C．8D．95.（2016四川綿陽(yáng)4分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，則圖中陰影部分的面積為▲（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)π≈3.14）。6.（2016湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且∠ACB=30°，則∠AOB的大小是【】A.40° B.50° C.60° D.70°7.（2016四川內(nèi)江3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，則陰影部分圖形的面積為【】A.B.C.D.8.（2016山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為▲cm．9.（2011甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AE＜AD），點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是▲．10.（2016廣西貴港2分）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA＋PB的最小值是▲。四、代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題之間的化歸：典型例題：例1.例5.（2016廣東廣州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c(diǎn)】勾股定理，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，三角形的面積?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示。在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根據(jù)勾股定理得：。過(guò)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，則由S△ABC=AC?BC=AB?CD，得?！帱c(diǎn)C到AB的距離是。故選A?！军c(diǎn)評(píng)】應(yīng)用勾股定理和三角形面積公式，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)計(jì)算問(wèn)題使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由綜合——單一的化歸。例2.（2016北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．【答案】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=?！摺螦EB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2?！郃C=2+1+=3+?！唷！究键c(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積。【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用三角形面積公式，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)計(jì)算問(wèn)題使問(wèn)題易于解決體現(xiàn)了由綜合——單一的化歸。例3.（2016浙江紹興12分）小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真的探索。【思考題】如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？（1）請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，則B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，解方程得x1=，x2=，∴點(diǎn)B將向外移動(dòng)米。（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問(wèn)題：【問(wèn)題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？【問(wèn)題二】在“思考題”中，梯子的頂端