第三講函數(shù)的奇偶性與周期性知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有________________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有_______________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于_________對(duì)稱關(guān)于________對(duì)稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有________________，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)______________，那么這個(gè)____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正數(shù)最小正數(shù)雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(－2,2]是偶函數(shù)．(

)(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0.(

)(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(

)××√√××BC3．(必修1P85T3改編)若函數(shù)y＝f(x)(x∈(a，b))為奇函數(shù)，則a＋b＝______.04．(必修1P85T1改編)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)y＝f(x)圖象上的是(

)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析]

∵函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)．即點(diǎn)(－a，－f(a))一定在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．B5.(必修1P87T12改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為________________.(－2,0)∪(2,5][解析]

由圖象可知，當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x≤5時(shí)，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)<0，當(dāng)－5≤x<－2時(shí)，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P87T11改編)定義在R上的奇函數(shù)f(x)以2為周期，則f(1)＋f(2)＋f(3)的值是(

)A．0 B．1C．2 D．3[解析]

根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性得到f(3)＝f(－1)＝－f(1)、f(2)＝f(0)＝0，從而可求f(1)＋f(2)＋f(3)．因?yàn)楹瘮?shù)以2為周期，所以f(3)＝f(－1)，f(2)＝f(0)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(0)－f(1)＝0，故選A.A7．(必修1P86T3改編)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝________.[解析]

因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，則f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.－7B[解析]

思路一：將函數(shù)f(x)的解析式分離常數(shù)，通過(guò)圖象變換可得函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，此函數(shù)即為奇函數(shù)；思路二：由函數(shù)f(x)的解析式，求出選項(xiàng)中的函數(shù)解析式，由函數(shù)奇偶性定義來(lái)判斷．B考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究函數(shù)的奇偶性考向1判斷函數(shù)的奇偶性——自主練透1.(多選題)已知奇函數(shù)f(x)與偶函數(shù)g(x)的定義域、值域均為R，則(

)A．f(x)＋g(x)是奇函數(shù)B．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)C．f(x)g(x)是偶函數(shù)D．f[g(x)]是偶函數(shù)BD[解析]

根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義逐一判斷即可．因?yàn)閒(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，故B正確；因?yàn)閒(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閒[g(－x)]＝f[g(x)]，所以f[g(x)]是偶函數(shù)，故D正確．故選BD.[分析]

先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域內(nèi)，解析式帶絕對(duì)值號(hào)的先化簡(jiǎn)，計(jì)算f(－x)，再判斷f(－x)與f(x)之間的關(guān)系．抽象函數(shù)常用賦值法判斷．名師點(diǎn)撥：判斷函數(shù)的奇偶性的方法1．定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，再判斷f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，據(jù)此得出結(jié)論．2．圖象法：奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱．3．性質(zhì)法：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．(注：利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)考向2函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用——多維探究

角度1利用性質(zhì)求解析式1.(2024·十堰模擬)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，則f(－2)等于(

)A．－2

B．2C．－6 D．6A[解析]

因?yàn)閥＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則有f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－x，則f(－2)＝－f(2)＝－2.2．(2023·呂梁模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋x－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于(

)A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1[解析]

當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.DBD名師點(diǎn)撥：1．求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．2．求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對(duì)于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2019·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝(

)A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1[解析]

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故選A.A2．(角度2)已知函數(shù)f(x)＝x(2x＋a×2－x)(x∈R)，若f(x)是偶函數(shù)，則記a＝m，若f(x)是奇函數(shù)，則記a＝n，則m＋2n＝(

)A．0 B．1C．2 D．－1[解析]

當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(x)＝f(－x)，即x(2x＋a×2－x)＝－x(2－x＋a×2x)，即(1＋a)·(2x＋2－x)x＝0，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a＝－1，即m＝－1；當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(－x)＝－f(x)，即－x(2－x＋a×2x)＝－x(2x＋a×2－x)，即(1－a)(2x－2－x)x＝0，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.B[解析]

∵f(x)為奇函數(shù)，∴x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝e－x＋1－3＝－f(x)，∴x<0時(shí)，f(x)＝－e－x＋1＋3，則g(－1)＝f(－1)＋3＝－e－(－1)＋1＋6＝6－e2，故選C.C函數(shù)的周期性——師生共研

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)求f(2)的值；(3)當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，求f(x)的解析式；(4)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)．[解析]

(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.(3)當(dāng)x∈(－2,0]時(shí)，－x∈[0,2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，x－4∈(－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.f(2024)＝f(0)＝0，f(2025)＝f(1)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＋f(2025)＝1.名師點(diǎn)撥：高考中對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值，以及解決與周期有關(guān)的函數(shù)綜合問(wèn)題．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用題目提供的信息，找到函數(shù)的周期，利用周期在有定義的范圍內(nèi)進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練】1．若函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，則x∈[7,9]時(shí)的函數(shù)解析式是___________________________.[解析]

由函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)可知f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，因此函數(shù)的周期是2.設(shè)x∈[7,9]，則－1≤x－8≤1，因此f(x－8)＝(x－8)2，根據(jù)函數(shù)的周期是2可知f(x－8)＝f(x)，因此f(x)＝(x－8)2.f(x)＝(x－8)2(x∈[7,9])2．(2023·滄州七校聯(lián)考)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，則f(2025)＝______.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用——多維探究角度1奇偶性與單調(diào)性結(jié)合

若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足f(x)≥0的取值范圍是(

)A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C[解析]

由已知得圖象，故選C.[引申1]若將“奇函數(shù)”改為偶函數(shù)，則結(jié)果為______.[解析]

如圖．D[引申2]若將不等式改為xf(x－1)≥0呢？結(jié)果為______________.[－1,0]∪[1,3]角度2奇偶性與周期性結(jié)合[解析]

由偶函數(shù)的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì)，分析函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，由此判斷各選項(xiàng)．∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函數(shù)，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,0)軸對(duì)稱，f(x)為周期函數(shù)且周期為8，故選AD.角度3單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合[解析]

因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．名師點(diǎn)撥：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略1．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．2．周期性與奇偶性結(jié)合．此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．3．周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．B2．(角度2)(多選題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)與f(x－1)都是偶函數(shù)，則(

)A．f(x)是偶函數(shù)

B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x＋3)是偶函數(shù)

D．f(x)＝f(x＋4)CD[解析]

因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，從而f(－x)＝f(x＋2)．因?yàn)閒(x－1)是偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x－1)，從而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f