第一章函數(shù)的極限與連續(xù)第一章函數(shù)的極限與連續(xù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的極限三、無(wú)窮小與無(wú)窮大大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的極限三、無(wú)窮小與無(wú)精品資料精品資料你怎么稱(chēng)呼老師？如果老師最后沒(méi)有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽(yáng)曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒(méi)有學(xué)問(wèn)無(wú)顏見(jiàn)爹娘……”“太陽(yáng)當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥(niǎo)說(shuō)早早早……”大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-ppt課件因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(3)取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線(3)取整函數(shù)y=[x]12345在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為分段函數(shù).(3)分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),例1解故例1解故M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX（1）函數(shù)的有界性:大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX（1）函數(shù)的（2）函數(shù)的單調(diào)性:oxy（2）函數(shù)的單調(diào)性:oxyxyoxyo（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)xyxo-x（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)xyxo-x奇函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x（4）函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.

對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，l稱(chēng)為是f(x)的周期。（4）函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）(1)反函數(shù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃.若對(duì)?y∈W，D上都有唯一確定一個(gè)數(shù)值

x

與

之對(duì)應(yīng)，且?(x)=y.

若把

y

看作自變量,

x

看作因變量,則稱(chēng)函數(shù)x=f-1(y)為函數(shù)

y=?(x)

的反函數(shù).而原函數(shù)

y=?(x)為直接函數(shù);

x,y

互換便有y=φ(x)（y=f-1(x)）,從而函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域及圖象間有一定的關(guān)系.(1)反函數(shù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（2）復(fù)合函數(shù)例：（2）復(fù)合函數(shù)例：注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.例如：例如：注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)(1)冪函數(shù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(1)冪函數(shù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(2)指數(shù)函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)(4)三角函數(shù)正弦函數(shù)(4)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)余割函數(shù)(5)反三角函數(shù)(5)反三角函數(shù)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-ppt課件大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-ppt課件

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).★

我們以后遇到的函數(shù)大多都是初等函數(shù)，分段函數(shù)除外。初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次思考題1思考題1思考題1解答設(shè)則故思考題1解答設(shè)則故二、函數(shù)的極限領(lǐng)域：設(shè)δ是某個(gè)正數(shù)，稱(chēng)開(kāi)區(qū)間(x0-δ,x0+δ)為以為x0中心，以δ為半徑的鄰域，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)x0的鄰域，記為U(x0,δ)空心領(lǐng)域：1.x→∞

時(shí)函數(shù)?(x)的極限

（1）設(shè)函數(shù)?(x)，當(dāng)x>0且無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)?(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)?(x)當(dāng)x→∞

時(shí)以A為極限.記如：二、函數(shù)的極限領(lǐng)域：設(shè)δ是某個(gè)正數(shù)，稱(chēng)開(kāi)區(qū)間(x0-δ,(2)設(shè)函數(shù)?(x),當(dāng)x<0且x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)?(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)?(x)當(dāng)x→－∞時(shí)以A為極限.記如：定義2：設(shè)函數(shù)?(x),當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)?(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)?(x)當(dāng)x→∞

時(shí)以A為極限.記(2)設(shè)函數(shù)?(x),當(dāng)x<0且x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)定理1

函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→∞

時(shí)極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→＋∞與x→－∞時(shí)極限都存在且等于A.即例2

定理1函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→∞時(shí)極限存在且為A的充要2.

x→x0

時(shí)函數(shù)?(x)的極限當(dāng)x從大于1和小于1的方向趨于1即當(dāng)x→1時(shí),函數(shù)?(x)無(wú)限接近于1,記為f(x)→1???oxy11

y=x(1,1)例3

函數(shù)y=?(x)=x

(如右圖)例如2.x→x0時(shí)函數(shù)?(x)的極限當(dāng)x從大于1和小于1的方例4注：(3)中函數(shù)雖在x=1處無(wú)定義,但x→１時(shí)極限卻存在.這說(shuō)明函數(shù)在x0點(diǎn)的極限是否存在與函數(shù)在x0

處有無(wú)定義無(wú)關(guān).這是因?yàn)楹瘮?shù)在x0點(diǎn)的極限是函數(shù)在x0

附近的變化趨勢(shì),而不是在x0處函數(shù)值。例4注：(3)中函數(shù)雖在x=1處無(wú)定義,但x→１時(shí)極限卻存如3.函數(shù)?(x)的左、右極限(1)左極限

當(dāng)x

從x0

左側(cè)(小于)趨于x0

時(shí),?(x)以A為極限.則A是?(x)在x0處的左極限.記為則只能考察x從0的右側(cè)趨于0時(shí)的極限.因而必須引進(jìn)左、右極限的概念.(2)右極限

當(dāng)x從x0右側(cè)(大于)趨于x0

時(shí),?(x)以A為極限.則A是?(x)在x0

處的右極限.記為如3.函數(shù)?(x)的左、右極限(1)左極限當(dāng)左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.它們之間有如下關(guān)系:定理2.

函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→x0

時(shí)極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y

=?(x)的左極限和右極限都存在且等于A。即

此定理給出了怎樣利用單側(cè)極限判斷函數(shù)極限存在的方法;特別對(duì)分段函數(shù)適用.左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.它們之間有如下關(guān)系:定理2.例5

設(shè)?(x)=|x|,求解因則故討論下列函數(shù)當(dāng)x→０時(shí)的極限.oxy?y=|x|

例5設(shè)?(x)=|x|,求解例6

y

=[x]在x→1

時(shí)極限是否存在？解因故oxy°?°?1例7解因例6y=[x]在x→1時(shí)極限是否存在？解因三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

研究函數(shù)極限時(shí),有兩種變量非常重要.一種是在極限過(guò)程中變量可以無(wú)限變小,而且要多么小就有多小;一種是在極限過(guò)程中,變量可以無(wú)限變大,而且要多么大就有多大.我們分別將它們稱(chēng)為無(wú)窮小量和無(wú)窮大量.三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量研究函數(shù)極限時(shí),有兩種變1.無(wú)窮小量定義4

以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量.例:1.無(wú)窮小量定義4以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量.例注1.

很小很小的非零常量不是無(wú)窮小量,但數(shù)“0”是無(wú)窮小量;而無(wú)窮小量卻不一定是數(shù)“0”,僅極限值為0.無(wú)窮小量的性質(zhì):性質(zhì)1.注2.

無(wú)窮小量與自變量的變化過(guò)程有關(guān).性質(zhì)2.有界變量?(x)與無(wú)窮小量α(x)之積仍為無(wú)窮小量.例注1.很小很小的非零常量不是無(wú)窮小量,但數(shù)“0”是無(wú)2.無(wú)窮大量注1

無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量,而不是一個(gè)很大的常量.當(dāng)?(x)取正值無(wú)限增大(取負(fù)值絕對(duì)值無(wú)限增大)時(shí),稱(chēng)為正無(wú)窮大量(負(fù)無(wú)窮大量).注2

通常記為是極限不存在的記號(hào)定義5

如果時(shí)，無(wú)限增大，則稱(chēng)函數(shù)?(x)為該變化過(guò)程下的無(wú)窮大量.記為2.無(wú)窮大量注1無(wú)窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可以任意變大的變量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：定理3

在自變量的同一變化趨勢(shì)下,無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量;非零無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量.

由此定理可知,要證例8

求只需證即可.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：定理3在自變量的同一變化趨