第3章均衡、分集與多天線通信技術(shù)3.1概述3.2均衡技術(shù)3.3分集技術(shù)3.4多天線通信技術(shù)

3.1概述

由于多徑衰落和多普勒頻移的影響，移動無線信道極其易變，這些影響對于任何調(diào)制技術(shù)都會產(chǎn)生很強的負面效應。無線通信系統(tǒng)需要利用信號處理技術(shù)來改進惡劣無線電傳播環(huán)境中的鏈路性能。

3.2均衡技術(shù)

3.2.1均衡原理

在帶寬受限且時間擴散的信道中，碼間干擾會使被傳輸?shù)男盘柈a(chǎn)生變形，從而導致接收時產(chǎn)生誤碼。碼間干擾被認為是在移動通信信道中傳輸高速數(shù)據(jù)時的主要障礙，而均衡技術(shù)可以有效地解決碼間干擾。均衡器一般放在接收機的基帶或中頻部分實現(xiàn)。為便于理解均衡器的作用，下面采用等效基帶信號的概念。將發(fā)射機基帶信號輸出端到接收機基帶信號的輸入端的部分用一個等效的基帶信號來表示。這樣，使用均衡器的通信系統(tǒng)的簡化框圖如圖3-1所示。圖3-1使用均衡器的通信系統(tǒng)的簡化框圖圖3-1中，f(t)是發(fā)射機、信道、接收機的射頻和中頻部分的合成沖激響應；接收機的基帶處理部分輸入端加入了自適應均衡器。如果x(t)是原始基帶信號，f(t)是等效傳輸信道的沖激響應，那么根據(jù)最佳檢測理論，接收機設(shè)計應使等效傳輸信道符合最大輸出信噪比準則，此時均衡器接收端收到的信號可表示為

(3-2-1)

式中：f*(t)是f(t)的復共軛表示；nb(t)為均衡器輸入端的基帶噪聲；*為卷積運算符號。設(shè)均衡器的沖激響應為heq(t)，則均衡器的輸出為

(3-2-2)式中，g(t)是發(fā)射機、信道、接收機的射頻和中頻部分以及均衡器四部分的等效沖激響應。橫向濾波式均衡器的沖激響應可以表示為

(3-2-3)

式中，cn是均衡器的復系數(shù)。如果假定系統(tǒng)中沒有噪聲，即nb(t)=0，則在理想情況下應有此時沒有任何碼間干擾。為了使

成立，g(t)必須滿足下式：

(3-2-4)

若式(3-2-4)成立，則達到了均衡器的目標。從頻域表示可得到

(3-2-5)3.2.2均衡的分類

均衡技術(shù)分為線性均衡和非線性均衡，二者的差別在于自適應均衡的輸出是否被用于反饋邏輯。線性均衡的恢復信息未被應用于反饋邏輯，這類均衡器應用于具有較好傳播特性的信道，如電話線等，性能良好。非線性均衡的恢復信息被應用于反饋邏輯并影響到均衡器的后續(xù)輸出。在無線信道傳輸中，當信道嚴重失真造成碼間干擾，以致線性均衡器不易處理時，應采用非線性均衡。均衡器的類型、結(jié)構(gòu)和算法示意圖如圖3-2所示。圖3-2均衡器的類型、結(jié)構(gòu)和算法3.2.3均衡技術(shù)算法

1.線性均衡器

線性均衡器的作用是盡量使信道和均衡器的傳輸函數(shù)的乘積滿足一定的準則，可以使信道濾波器級聯(lián)的傳輸函數(shù)完全平坦，或者使濾波器輸出端的均方誤差最小。

線性均衡器的基本結(jié)構(gòu)如圖3-3所示。圖3-3線性均衡器的結(jié)構(gòu)根據(jù)均衡原理，發(fā)送序列xk經(jīng)過信道傳輸，在均衡器輸入端可得到序列uk?，F(xiàn)在需要確定具有2n+1個抽頭的有限沖激響應濾波器(橫向濾波器)的系數(shù)。此濾波器將序列uk轉(zhuǎn)換成序列

(3-2-6)

它應盡可能接近序列xk。定義誤差εk為

(3-2-7)使εk=0,這樣可得迫零均衡器，或者使E{|εk|2}→min，這樣可得最小均方誤差均衡器，則對于具有2n＋1個抽頭

的線性均衡器，均衡器輸出結(jié)果的均方誤差(MSE)表示為

(3-2-8)

均方誤差是各抽頭系數(shù)(權(quán)重)的函數(shù)。均方誤差越小，誤碼率越低，均衡器性能越好。因此，所選擇的抽頭系數(shù)

(權(quán)重)應使得MSE最小化。

2.非線性均衡器

1)判決反饋均衡(DFE)

判決反饋均衡(DFE)的基本思路是：一旦一個比特的信息被正確檢測并判決，就可以利用該信息，并結(jié)合信道沖激響應來計算由該比特引起的碼間干擾。判決反饋均衡器可由橫向濾波器來實現(xiàn)。橫向濾波器由一個前向濾波器和一個后向濾波器組成，其中前向濾波器是一個一般的線性均衡器，如圖3-4所示。圖3-4判決反饋均衡均衡器的前向濾波器有2n1+1階(假設(shè)與上述線性均衡器一致)，后向濾波器有n2階，其輸出為

(3-2-9)

式中，ci為前向濾波器的各級增益；uk為均衡器輸入端得到的序列；Fi為后向濾波器的各級增益；dk為以前由判決器判決出的信號。此時所期望的均衡器輸出為dk，MSE(均方誤差)為

(3-2-10)

為使得MSE最小，確定前向抽頭系數(shù)ci時，令反向抽頭系數(shù)F為0，并求偏導，令結(jié)果等于0，可得相應關(guān)系式。確定反饋系數(shù)的方法與此類似。

2)最大似然序列估值(MLSE)

最大似然序列估值(MLSE)均衡器的結(jié)構(gòu)框圖如圖3-5所示。MLSE利用信道沖激響應估計器的結(jié)果，測試所有可能的數(shù)據(jù)序列，選擇概率最大的數(shù)據(jù)序列作為輸出。圖3-5最大似然序列估值(MLSE)均衡器的結(jié)構(gòu)框圖3.3分集技術(shù)

3.3.1概述

分集技術(shù)利用多徑信號來改善無線鏈路傳播性能。由于無線信道是時變的隨機多徑傳播信道，因此當一條無線傳播路徑中的信號經(jīng)歷深度衰落時，相對獨立的其他路徑中可能包含著較強的信號。分集技術(shù)把接收到的多個衰落獨立的信號副本分別處理，并以適當?shù)姆绞胶喜⑤敵?，從而達到改善接收信號質(zhì)量的目的。3.3.2微分集技術(shù)

1．空間分集

空間分集通常使用兩個或多個相隔一定距離的天線來實現(xiàn)，因此也稱為天線分集，是一種實現(xiàn)簡單、應用最廣泛的分集技術(shù)。根據(jù)收發(fā)天線配置的不同，空間分集又可以分為接收分集(receiverdiversity)和發(fā)射分集(transmitterdiversity)。目前研究較多并且技術(shù)較成熟的是接收分集。圖3-6集中在移動臺周圍的散射體產(chǎn)生的散射波基本上從一個方向到達基站圖3-7接收分集原理框圖

2．時間分集

時間分集就是以超過信道相干時間的時間間隔重復發(fā)送信號，重復發(fā)送的信號經(jīng)無線信道傳播可能具有獨立的衰落特性，從而產(chǎn)生分集效果。

3．頻率分集

頻率分集是將同一信號分別調(diào)制到不同的載波上進行傳輸，只要載波的頻率間隔大于無線信道的相干帶寬，就可以獲得分集的效果。在第三代移動通信的長期演進(LTE)技術(shù)中，正交頻分復用(OFDM)調(diào)制是其中的一項基本技術(shù)，該項技術(shù)利用頻率分集提供跨越較大帶寬的同步調(diào)制信號，當其中一些頻道產(chǎn)生衰落時，組合信號仍然可以解調(diào)。

4．角度分集

角度分集使用方向圖不同的接收天線實現(xiàn)，也稱為天線方向圖分集。由于不同的多徑分量到達接收天線的方向不同，放置于同一位置的兩個方向圖不同的天線對多徑分量的增益就不同，因此多徑分量在兩個天線上產(chǎn)生的干涉效果不同，從而使兩個天線上接收的信號具有統(tǒng)計獨立的衰落特性。角度分集通常與空間分集結(jié)合使用，這種結(jié)合通?？梢栽鰪娊嚯x放置的兩個天線之間的去相關(guān)特性。

5．極化分集

研究表明，即使發(fā)射天線只發(fā)射單一極化的信號，信道的多徑傳播特性也會導致去極化，因此會有兩個極化方向的信號到達接收機。從第2章介紹的無線電波傳播機制知道，反射和繞射過程與電磁波的極化方式有關(guān)，極化方式不同的信號，其衰落特性是統(tǒng)計獨立的。因此，使用雙極化天線同時接收兩個極化方式的信號并分別進行處理，可以實現(xiàn)分集的效果，并且兩個極化正交的天線可以安放在同一位置，對間距沒有要求。3.3.3分集信號的合并

1.合并技術(shù)

分集接收的實質(zhì)，就是將接收端得到的多路衰落特性獨立的信號副本進行合并，以獲得最優(yōu)的信號輸出。一般來說，信號的合并方式如圖3-8所示，接收機有M個分支(Rxk，k=1，2，…，M)，可以同時處理M路的信號副本，各分支解調(diào)處理之后，由調(diào)相電路將各支路信號調(diào)整到同相，然后相加輸出到檢測判決電路。圖3-8分集合并的信號組合框圖假設(shè)M個輸入信號電壓為r1(t)，r2(t)，…，rM(t)，則合并器輸出電壓包絡(luò)r(t)為

(3-3-1)

式中，ak為第k個分集支路的加權(quán)系數(shù)。

1)選擇式合并

選擇式合并就是從多條分集支路中選擇瞬時信噪比最強的信號輸出，從而改善接收信號的瞬時信噪比和平均信噪比。圖3-9給出了選擇式分集合并改善信號質(zhì)量的示意圖，A、B代表兩個來自同一發(fā)射源的獨立衰落信號。如果在任意時刻接收機都選擇其中幅度大的一個信號輸出，則可得到合成信號C。可以看出，信號C要明顯好于信號A或信號B。圖3-9選擇式分集合并示意圖選擇式合并是最簡單的合并方式，實現(xiàn)框圖如圖3-10所示，就是將圖3-8中的“同相合并”單元換成“選擇邏輯”。對于選擇式合并，系統(tǒng)檢測所有分支信號的SNR，并將SNR最高的分支選為輸出，也就是只有SNR最大的那一路加權(quán)系數(shù)選為1，其余分集支路的加權(quán)系數(shù)均為0。實際中，由于實時檢測信噪比具有一定難度，有時也直接使用幅度電平作為選取標準。圖3-10選擇式合并原理圖下面分析選擇式合并對系統(tǒng)性能的改進作用。

假設(shè)接收機M個分集支路對應M個獨立的平坦、慢衰落瑞利信道，每一個分集支路的噪聲功率都相等且為N0，平均信噪比Г相等，第k個分集支路輸出信號的瞬時信噪比為

γk、信號幅度rk服從瑞利分布，則其概率密度函數(shù)為

(3-3-2)設(shè)第k個分集支路信號的瞬時功率為Pinst=rk2/2，平均功率為Pm=σ2。利用坐標變換得到雅可比行列式：

接收信號功率的概率密度函數(shù)可以寫為

(3-3-3)第k個分集支路的瞬時SNR為γk=Pinst/N0，平均SNR為Γ=Pm/N0，對式(3-3-3)利用坐標變換的方法可得γk的概率密度函數(shù)為

(3-3-4)

因此，對于單個分集支路k，其瞬時信噪比γk小于某一指定門限值γs的概率為

(3-3-5)由于所有M個分集支路都是統(tǒng)計獨立的，所以M個分集支路上接收信號的SNR全部低于門限值γs的概率，就是所有支路上接收信號SNR低于門限值γs的概率的乘積，即

(3-3-6)因此，至少有一個分集支路的SNR高于指定門限值γs的概率為

(3-3-7)

顯然，所有M個分集支路上接收信號的SNR全部低于門限值γs的概率隨著分集支路數(shù)M的增加而減小，而至少有一個分集支路的SNR高于指定門限值γs的概率則隨著M的增加而增大。

例3-1

設(shè)無線通信系統(tǒng)使用4支路接收分集，每個分集支路收到一個獨立的瑞利衰落信號。假如各分集支路的SNR平均值為20dB，請確定SNR瞬時值低于10dB的概率，并與沒有使用分集的簡單接收機進行比較。

解此例中有4個分集支路，指定門限γs=10dB，SNR平均值Г=10dB，因此有γs/Г=0.1。

假如不使用分集，則M=1，p1(10dB)=(1－e－0.1)1=0.095。

可見，在沒有使用分集時，SNR低于指定門限值的概率，比采用4個支路分集的概率要高三個數(shù)量級。

例3-2

一個選擇式分集系統(tǒng)，當分集支路數(shù)分別為1、

2、3個時，計算其輸出SNR比每個分集支路的平均SNR低

5dB的概率。

解指定SNR門限為γs(dB)=Γ－5dΒ，即γs=

?！?0－0.5。

應用式(3-3-6)得到輸出SNR低于指定SNR門限的概率為

例3-3

在例3-2中，假設(shè)分集支路數(shù)M=2，兩個支路的平均SNR分別為1.5Г和0.5Г，分析結(jié)果會有何變化。

解在此情況下，輸出SNR低于指定SNR門限

γ=?！?0－0.5的概率為

這個結(jié)果說明，當各分集支路的平均SNR不相等時，分集性能會降低。圖3-11掃描分集的原理框圖

2)最大比值合并

參考圖3-8，合并器輸出電壓r(t)為式(3-3-1)，合并器輸出信號的功率可假設(shè)為r2(t)/2。按前面的假設(shè)，每一個分集支路的噪聲功率都相等且為N0，則合并器輸出的總噪聲功率Nt將是每一條分集支路噪聲功率的加權(quán)和，即

(3-3-8)設(shè)合并器輸出信號的SNR為γt，結(jié)合式(3-3-1)和式

(3-3-8)，并應用柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarzinequality)，可以得到

(3-3-9)

式中:

(3-3-10)

為第k個分集支路的瞬時信噪比。式(3-3-9)表明，分集合并所能夠達到的最大輸出信噪比γt就是各分集支路信噪比γk之和。同時，在合并器輸出電壓包絡(luò)r(t)表達式(3-3-1)中，如果取加權(quán)系數(shù)ak=rk(t)/N0，則同樣可以得到合并器輸出信號的SNR為

(3-3-11)如果用γmrc表示最大比值合并器的輸出信噪比，則有

(3-3-12)所以，當各分集支路的加權(quán)系數(shù)取ak=rk(t)/N0時，合并器輸出信號的SNR最大，由此將這種合并方式稱為最大比值合并。將加權(quán)系數(shù)ak=rk(t)/N0代入到式(3-3-1)中，可得到最大比值合并輸出信號電壓為

(3-3-13)

3)等增益合并

對不同的分集信號合并方法，理論上MRC能夠獲得最大瞬時SNR輸出。然而在實際中，要將各分集支路加權(quán)系數(shù)調(diào)整到MRC的準確值，工程實現(xiàn)復雜，難度和成本都比較高。并且，工程實現(xiàn)上可能存在各種局限，MRC的信噪比改善實際上同理論分析結(jié)果往往存在較大差距?；谶@些原因，提出了實現(xiàn)簡單的等增益合并方法。

2.中斷概率

中斷概率(outageprobability)是描述無線信道性能的一個重要參數(shù)，定義如下：數(shù)據(jù)以某一給定速率通過信道傳輸時，信道處于中斷(即傳輸失敗)狀態(tài)的概率。中斷概率也可以理解為信道容量小于給定容量值的概率。圖3-12選擇式合并中斷概率隨接收天線數(shù)NR的變化情況最大比值合并的瞬時輸出信噪比γmrc是NR個指數(shù)分布隨機變量γk之和，根據(jù)概率論的知識，其概率密度函數(shù)服從2NR個自由度的χ2分布，即

(3-3-14)

最大比值合并器輸出信噪比的累積分布函數(shù)為

(3-3-15)圖3-13最大比值合并輸出中斷概率隨接收天線數(shù)NR的變化情況

3.4多天線通信技術(shù)

上面介紹的空間分集技術(shù)需要通信系統(tǒng)使用多副天線，這樣的通信系統(tǒng)稱為多天線通信系統(tǒng)。一般情況下，無線通信系統(tǒng)可能在發(fā)射端和接收端同時使用多副天線，這時，在無線鏈路的輸入端就有多個并行的無線信道輸入，在無線鏈路的輸出端也有多個無線信道輸出，這樣的無線通信系統(tǒng)稱為多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)。特別地，發(fā)射端使用一副天線，接收端使用多副天線時稱為單輸入多輸出(SIMO)系統(tǒng)。3.4.1MIMO系統(tǒng)的基帶信道模型

圖3-14為MIMO系統(tǒng)的基本模型，系統(tǒng)具有NT副發(fā)射天線和NR副接收天線，無線信道為平坦衰落信道，hij(t)是時刻

t從第j個發(fā)射天線到第i個接收天線的復信道系數(shù)，用以描述無線信道的衰落特性。在平坦衰落信道條件下，hij(t)是時間的函數(shù)，與頻率無關(guān)。NT副發(fā)射天線在時刻t發(fā)射的基帶復信號向量x(t)表示為

(3-4-1)圖3-14MIMO系統(tǒng)的基本模型假設(shè)是獨立同分布的復高斯隨機變量，其均值為0，方差為σx2，則發(fā)射信號向量x(t)的相關(guān)矩陣為

(3-4-2)

式中，是NT×NT的單位矩陣，上標H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。當總的發(fā)射功率P為固定值時，P與NT及σx2的關(guān)系為

(3-4-3)

NR副接收天線上接收到的基帶復信號向量r(t)表示為

(3-4-4)

其中，為第i個接收天線上收到的復信號，即

(3-4-5)

NR×NT階信道矩陣(complexchannelmatrix)為

(3-4-6)信道矩陣H(t)的NR×NT個元素是具有0均值、單位方差的獨立同分布復隨機變量，服從如下復分布：

(3-4-7)

其中N(…)表示實高斯分布。由此可知，幅度|hij(t)|服從瑞利分布，|hij(t)|2服從χ2分布，并且

(3-4-8)假定信道是準靜態(tài)的，即hij(t)在一幀內(nèi)不變，幀與幀之間獨立變化，有時也將這種衰落稱為塊衰落。

以表示加性復信道噪聲，由加性復高斯噪聲構(gòu)成的復信道噪聲向量w(t)為

(3-4-9)信道噪聲向量w(t)的NR個元素是獨立同分布的復高斯

隨機變量，其均值為0，方差為σw2。噪聲向量w的相關(guān)矩陣為

(3-4-10)

式中：是NR×NR階的單位矩陣。根據(jù)假設(shè)，hij(t)是均值為0、方差為1的歸一化隨機變量，因此每個接收機輸入的平均信噪比為

(3-4-11)

對于給定的噪聲方差σw2，一旦總的發(fā)射功率P固定，則ρ為定值，并且同NR無關(guān)。將式(3-4-5)寫成向量形式，得到

(3-4-12)

式(3-4-12)描述了平坦衰落信道下MIMO系統(tǒng)的復基帶信道模型，省掉式中的t可寫成如下的簡單形式：

(3-4-13)

式(3-4-13)描述的復基帶信道模型如圖3-15所示。圖3-15MIMO系統(tǒng)復基帶信道模型3.4.2接收端已知、發(fā)射端未知信道特性時的MIMO系統(tǒng)容量

接收端已知信道特性表示接收端獲得了確定的信道矩陣H。

中斷容量與中斷概率相互對應，談到中斷容量Coutage，必然有一個中斷概率poutage與之對應，反之亦然。中斷概率與中斷容量的關(guān)系可以通過下面的定義去理解：如果系統(tǒng)的信道容量小于某一個固定值Coutage的概率為poutage，即

poutage=prob(C<Coutage)

(3-4-14)

則稱poutage為中斷概率，Coutage為中斷容量。下面根據(jù)復基帶信道模型討論MIMO系統(tǒng)的遍歷容量。

1.遍歷容量

假設(shè)信道是平坦衰落的，若信道的輸入為x，輸出為r，信道容量C定義為信道輸入x和信道輸出r之間平均互信息的最大值，即

(3-4-15)

式中，P(x)表示輸入信號x的概率密度函數(shù)。傳統(tǒng)的單天線系統(tǒng)(SISO)采用一副發(fā)射天線和一副接收天線(NT=NR=1)。假定發(fā)射信號的功率固定為P，信道只受到加性高斯白噪聲的干擾，接收天線的接收功率等于總發(fā)射功率，即假定|h|=1，接收天線上的噪聲功率為σw2，則接收信號的平均信噪比為式(3-4-11)，信道容量隨著SNR按對數(shù)規(guī)

律變化，即只受加性高斯白噪聲干擾的信道歸一化容量為

C=lb(1+ρ)(b/s)/Hz (3-4-16)

顯然，當SNR較高時(即ρ>>1)，SNR每增加3dB，信道容量增加1(b/s)/Hz。實際上無線信道會受到多徑傳播的影響而產(chǎn)生衰落，信道系數(shù)h是時變的，如果用|h|表示信道系數(shù)的幅度，則SISO系統(tǒng)的信道容量可表示為

(3-4-17)對于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，有NT副發(fā)射天線和NR副接收天線，如果發(fā)射端天線間距和接收端天線間距都足夠大，則可以認為各接收天線上的信號相互獨立。利用接收信息和條件信息熵的關(guān)系式，并假設(shè)發(fā)射向量x和接收向量r相互獨立，可以得到

(3-4-18)

由于H(w)為常數(shù)，所以最大化I(x；r)等價于最大化H(r)。熵H(r)由接收向量r的協(xié)方差矩陣Rr決定?？梢宰C明，對

于給定協(xié)方差矩陣Rr的接收向量r，當r服從0均值循環(huán)對稱復高斯分布時，熵H(r)最大。只有x服從0均值循環(huán)對稱復高斯分布，r才服從0均值循環(huán)對稱復高斯分布。因此，0均值循環(huán)對稱復高斯分布是x的最優(yōu)分布。這時可以得到

(3-4-19)當發(fā)射端未知信道信息時，只能將發(fā)射功率平均地分配到各發(fā)射天線上，即各天線等功率發(fā)射相互獨立的信號，此時，能最大化互信息的輸入信號x符合0均值的高斯分布，r也符合0均值的高斯分布，并且r的協(xié)方差矩陣為

(3-4-20)根據(jù)式(3-4-19)和式(3-4-20)，從式(3-4-18)可以得到

(3-4-21)

因此，當接收端已經(jīng)知道信道矩陣H時，MIMO系統(tǒng)的容量為

(3-4-22)在高斯模型假設(shè)條件下，將式(3-4-2)代入式(3-4-22)，得到MIMO系統(tǒng)的遍歷容量為

(3-4-23)

式中，E［·］表示對信道矩陣H求數(shù)學期望。利用式(3-4-11)中平均信噪比ρ的定義，式(3-4-23)可寫成

(3-4-24)

這就是MIMO系統(tǒng)的遍歷容量表達式，也稱為高斯信道MIMO系統(tǒng)的對數(shù)－行列式容量公式。式(3-4-24)對應NT≥NR，并且NR×NR矩陣HHH是滿秩的情況。如果NT≤NR，并且NT×NT矩陣HHH是滿秩的，則式(3-4-24)的等價形式為

(3-4-25)

對于式(3-4-22)，當NT=NR=N，并且當N趨于無窮大時，C

隨N的增大呈現(xiàn)漸近線性關(guān)系

(3-4-26)因此可以得出結(jié)論：在平坦衰落條件下，一個收發(fā)天線數(shù)目均為N的MIMO系統(tǒng)，其遍歷容量近似地隨N的增加而成比例地增加。這個結(jié)論說明MIMO系統(tǒng)的頻譜使用效率將遠遠高于傳統(tǒng)的無線通信系統(tǒng)。這就是MIMO技術(shù)成為新一代移動通信系統(tǒng)基本技術(shù)的原因所在。

另外還可以證明，當N很大時，MIMO系統(tǒng)的遍歷容量同SNR成線性關(guān)系。

例3-4

證明：對于接收端已知信道狀態(tài)的MIMO系統(tǒng)，在高信噪比情況下，信噪比每增加3dB，系統(tǒng)的容量增益為N=min{NT，NR}(b/s)/Hz。

證明：根據(jù)對數(shù)—行列式容量公式

(3-4-27)式中，A=HHH是一個N×N的矩陣，N=min{NT，NR}。推導中應用了等式當信噪比ρ增加3dB時，就是信噪比絕對值增加一倍。所以，以2ρ代替式(3-4-27)中的ρ，則系統(tǒng)的遍歷容量變?yōu)?/p>

(3-4-28)

(3-4-29)

所以，信噪比每增加3dB，系統(tǒng)的容量增加N=min{NT，NR}(b/s)/Hz。證畢。

2.遍歷容量對數(shù)-行列式公式的兩種特殊情況

1)接收分集

在式(3-4-25)中，當NT=1時，信道矩陣退化為一個列向量從而系統(tǒng)容量公式簡化為

(3-4-30)這個公式同前面討論的接收分集MRC的結(jié)論是一致的。如果系統(tǒng)采用選擇式分集，則系統(tǒng)容量公式為

(3-4-31)

2)發(fā)射分集

在式(3-4-24)中，當NR=1時，信道矩陣退化為一個行向量此時系統(tǒng)容量公式變?yōu)?/p>

(3-4-32)3.4.3MIMO系統(tǒng)的等效特征傳輸模型

通過對信道矩陣進行奇異值分解，可以進一步研究MIMO系統(tǒng)的特性。

在式(3-4-24)中(NT≥NR)，H是一個NR×NT階復數(shù)矩陣。根據(jù)矩陣理論，H存在一個奇異值分解(SVD)H=U

VH(上標H表示轉(zhuǎn)置共軛)，其中U是NR×NR階酉矩陣，V是NT×NT階酉矩陣，是NR×NT階矩陣。當NT≥NR時，可以寫成

=［D0］，其中D是NR×NR階半正定對角矩陣，其對角線元素都是H的奇異值。因此，H的奇異值分解可以寫成

(3-4-33)并且有

(3-4-34)

式中，是矩陣H的第i個奇異值，λi是H的自協(xié)方差矩陣W的第i個特征值，有

(3-4-35)

例3-5

將奇異值分解應用于式(3-4-13)的基帶信道模型r=Hx+w，試證明：對NR≤NT，有

(3-4-36)

式中：

(3-4-37)

證明：根據(jù)r=Hx+w，得到

(3-4-38)

證畢?？梢詫⑹?3-4-38)分解的信道模型寫成標量形式：

(3-4-39)根據(jù)式(3-4-39)，信道矩陣H的奇異值分解將NR≤NT的MIMO無線鏈路變換成了NR個獨立并行子信道，第i個子信道的增益為di=它決定了該子信道的數(shù)據(jù)傳輸能力。MIMO系統(tǒng)容量就是這些獨立并行的子信道容量之和。變換后的等效特征傳輸模型如圖3-16所示。圖3-16MIMO系統(tǒng)的等效特征傳輸模型(NR≤NT)

例3-6

證明MIMO系統(tǒng)的容量公式為

(3-4-40)

式中，N=min(NT，NR)，λi是W=HHH的第i個特征值。

證明：首先從式(3-4-24)出發(fā)，證明當NT≥NR時式

(3-4-40)成立。

將式(3-4-33)代入式(3-4-24)，有同理，從式(3-4-25)可以證明，當NT≤NR時式(3-4-40)成立，此種情況下W=HHH。

所以，當取N=min(NT，NR)時，MIMO系統(tǒng)的容量滿足式(3-4-40)。證畢。

從式(3-4-40)可以看出，如果矩陣W=HHH的N個特征值λi都相等，則有

(3-4-41)

這也說明MIMO系統(tǒng)容量隨N=min(NT，NR)呈近似線性增長。

例3-7

一個MIMO系統(tǒng)的信道矩陣為

試計算該系統(tǒng)的等效特征傳輸模型。

解：信道矩陣H的奇異值分解為3.4.4發(fā)射端已知信道特性時的MIMO容量

平坦衰落信道的對數(shù)-行列式容量公式(3-4-24)，是在發(fā)射機沒有信道信息、只有接收機知道信道狀態(tài)的條件下導出的。在發(fā)射機不知道信道信息的情況下，只能將發(fā)射功率在NT副發(fā)射天線間平均分配，在假設(shè)發(fā)射信號向量各元素為獨立同分布復高斯隨機變量的情況下，發(fā)射信號向量的協(xié)方差矩陣由式(3-4-2)給出。一旦發(fā)射端知道信道特性，整個系統(tǒng)就都知道了信道狀態(tài)，這時可以將信道矩陣H看做一個常數(shù)矩陣，推導過程中不再需要對H求數(shù)學期望，問題變成如何構(gòu)建使遍歷容量最大化的最優(yōu)相關(guān)矩陣Rx。為簡化分析，考慮NT=NR=N的MIMO系統(tǒng)，同對數(shù)-行列式容量公式推導過程一樣，對式

(3-4-22)應用矩陣恒等式det(I+AB)=det(I+BA)，得到

(3-4-42)顯然，乘積矩陣HHH是Hermitian矩陣，應用Hermitian矩陣的特征值分解，將HHH對角化，有

(3-4-43)

式中，Λ是由HHH的本征值構(gòu)成的對角矩陣，U是酉矩陣。將式(3-4-43)代入式(3-4-42)，并再次應用恒等式det(I+AB)=det(I+BA)，得到

(3-4-44)式中：

(3-4-45)

注意到Rx是半正定的，故矩陣也是半正定的，并且兩個矩陣的跡相同，即因此在Rx上尋求容量C最大化等效于在上尋求容量C最大化。根據(jù)Hadamard不等式：對于任意半正定矩陣A皆有det(A)≤式中Aii是A的對角線元素，等號在A是對角矩陣時成立。所以，當是對角矩陣時有

(3-4-46)式中：λi是矩陣Λ的第i個對角線元素，即乘積矩陣HHH的第i個特征值；是矩陣的第i個對角線元素。式

(3-4-46)中的等號只在為對角矩陣時成立，這時遍歷容量C也最大。當式(3-4-46)取等號時，容量公式(3-4-44)為

(3-4-47)利用拉格朗日算子，可以得到注水算法的最優(yōu)功率分配方案為

(3-4-48)式中：滿足總發(fā)射功率一定的限制條件

μ是一個保證總發(fā)射功率恒定的常數(shù)；上標“+”表示只保留等式右邊為正數(shù)的項，即令則由式(3-4-48)得到

圖3-17給出了注水定理優(yōu)化信道容量的示意圖，Pi表示在第i個子信道上分配的功率。根據(jù)式(3-4-47)和式(3-4-48)，對應的MIMO鏈路容量的最大值為

(3-4-49)圖3-17注水定理優(yōu)化信道容量的示意圖3.4.5MIMO系統(tǒng)的空時編碼技術(shù)

MIMO系統(tǒng)在發(fā)射端和接收端同時采用了多副天線，傳輸性能較SISO系統(tǒng)有了大幅度的提高，既可以通過空間復用提高系統(tǒng)傳輸容量，也可以通過空間分集提高傳輸可靠性，或者在兩者之間取一個合理的折中。實際中，不同的設(shè)計目標分別可以通過不同的空時編碼方法實現(xiàn)。

1.分層空時編碼

1)分層空時編碼原理

分層空時編碼基于空間復用技術(shù)提高系統(tǒng)的傳輸容量，其原理框圖如圖3-18所示。圖3-18分層空時編碼系統(tǒng)的原理框圖按發(fā)送端分路的方式不同，分層空時編碼有水平分層空時編碼(H-BLAST)、垂直分層空時編碼(V-BLAST)和對角分層空時編碼(D-BLAST)。圖3-19三種分層空時編碼方案結(jié)構(gòu)

2)V-BLAST接收機的檢測算法

(1)最大似然(ML)譯碼算法。

ML譯碼算法是一種最佳的矢量譯碼算法，算法的過程就是從所有可能的發(fā)送信號集合中找到一個滿足下式的信號，即選擇一個使得式(3-4-13)的值最小的x作為發(fā)送信號的ML譯碼估計值。

(3-4-50)

(2)迫零(ZL)譯碼算法。

ZL譯碼算法就是根據(jù)信道矩陣H計算一個加權(quán)矩陣G(即H的偽逆)，然后再把加權(quán)矩陣同接收信號向量相乘，得到發(fā)射信號向量的估值。算法的基本過程如下：首先構(gòu)成NR維的接收信號向量r，接著計算NR×NT維的迫零矩陣G(H的偽逆)：

(3-4-51)

矩陣G的第i行Gi滿足：

式中，Hj表示矩陣H的第j列。最后，將加權(quán)矩陣G同接收信號向量r相乘，計算發(fā)射信號向量x的估值向量

(3-4-52)

迫零譯碼算法需要根據(jù)信道矩陣計算加權(quán)矩陣G，因此接收端需要獲得信道狀態(tài)信息。

(3)最小均方誤差(MMSE)譯碼算法。

MMSE譯碼算法也是先計算一個加權(quán)矩陣G：

(3-4-53)

但G要滿足下面的關(guān)系：對發(fā)射信號的估值則按下式計算：

(3-4-54)

MMSE譯碼算法考慮了噪聲的影響，因此具有比ZF譯碼算法更好的性能，但MMSE譯碼算法需要接收端同時獲得信道信息和噪聲方差才能完成對接收信號的檢測譯碼。

(4)非線性譯碼算法。

第一步：初始化，即

(3-4-55)第二步：迭代，即

(3-4-56)

2.空時網(wǎng)格編碼

在數(shù)字無線通信系統(tǒng)中，接收端是采用軟判決方法完成譯碼的。對于最佳的軟判決譯碼，錯誤概率主要取決于相鄰兩信號之間的歐氏距離。因此，不同信號之間的歐氏距離直接決定系統(tǒng)的抗衰落能力?？諘r網(wǎng)格編碼(STTC，SpaceTimeTrellisCoding)基于網(wǎng)格編碼調(diào)制(TCM，TrellisCodeModulation)技術(shù)，通過將發(fā)射分集同網(wǎng)格編碼調(diào)制技術(shù)相結(jié)合，增加不同信號之間的歐氏距離，從而提高系統(tǒng)的抗衰落性能。圖3-20STTC系統(tǒng)的原理框圖

1)網(wǎng)格編碼調(diào)制

網(wǎng)格編碼調(diào)制原理如圖3-21所示。圖3-21網(wǎng)格編碼調(diào)制原理圖3-22中給出了8PSK和16QAM的信號空間劃分情況。圖3-22信號空間劃分情況

2)空時網(wǎng)格編碼

參考圖3-20(a)，k時刻有b個數(shù)據(jù)比特輸入信道編碼器，該編碼器有NT個輸出，分別對應于NT副發(fā)送天線，信道編碼器輸出的數(shù)據(jù)已經(jīng)不再是信息比特，而是規(guī)模為2b的星座點中的符號。對應到編碼器的網(wǎng)格編碼圖上來說，編碼器輸出分支的選擇取決于編碼器當前的狀態(tài)以及當前輸入的信息比特。圖3-23是發(fā)射天線數(shù)為2的空時網(wǎng)格編碼示例，分別給出了4PSK星座圖、4狀態(tài)網(wǎng)格編碼圖和編碼器結(jié)構(gòu)。原始的數(shù)據(jù)流被分成2個比特一組，首先映射成4PSK星座符號，然后進行空時網(wǎng)格編碼。k時刻輸入的數(shù)據(jù)比特為bkak，k－1時刻輸入的數(shù)據(jù)比特為bk－1ak－1，bk－1ak－1也就是

k時刻寄存器中存儲的比特。k時刻網(wǎng)格編碼器的輸出用

(xk1，xk2)表示，也就是圖3-23(b)中網(wǎng)格編碼圖右邊的數(shù)字對。xk1、xk2分別對應4PSK星座點，并且分別由天線1、2在k時刻同時發(fā)射出去。圖3-23(b)中網(wǎng)格編碼圖左邊的數(shù)字代表寄存器的當前狀態(tài)。網(wǎng)格編碼器的輸出表達式為

(3-4-57)圖3-23NT=2的空時網(wǎng)格編碼示例(4PSK，4狀態(tài)，2(b/s)/Hz)

3.空時分組編碼

1)空時分組編碼概述

空時分組編碼(STBC，SpaceTimeBlockCoding)克服了空時網(wǎng)格編碼過于復雜的缺點，在性能上相比略有損失，但譯碼復雜度要小得多，比較實用。

空時分組編碼包括映射和分組編碼兩部分，如圖3-24

所示。圖3-24空時分組編碼器的基本構(gòu)成

例3-8

構(gòu)建M=16的MPSK星座映射關(guān)系。

解

16PSK的星座映射關(guān)系可以用極坐標描述為

其中θk=(22.5k)°，k=1，2，…，15。對應的16PSK信號星座圖如圖3-25所示。圖3-25例3-8對應的16PSK信號星座圖

例3-9

構(gòu)建M=16的MQAM映射關(guān)系。

解

16QAM的星座映射關(guān)系可以用一個4×4矩陣描述

如下：

式中，δ0=2為相鄰兩信號點間的距離。對應的16QAM信號星座圖如圖3-26所示。圖3-26例3-9對應的16QAM信號星座圖

2)Alamouti發(fā)射分集方案

空時分組編碼也叫正交空時分組編碼，是Tarokh等人在Alamouti發(fā)射分集方案基礎(chǔ)上根據(jù)廣義正交設(shè)計原理提出的。這里先介紹Alamouti發(fā)射分集方案。

1998年，Alamouti提出了一種簡單的發(fā)射分集方案，以兩個發(fā)射天線發(fā)射兩個正交序列實現(xiàn)發(fā)射分集。Alamouti發(fā)射分集方案如圖3-27所示。圖3-27Alamouti發(fā)射分集方案首先，對信源輸出的二進制數(shù)據(jù)比特進行星座映射。假設(shè)采用M進制的調(diào)制星座，把從信源來的二進制數(shù)據(jù)比特按每m=lbM個分為一組，對連續(xù)的兩組數(shù)據(jù)比特進行星座映射，得到兩個星座點符號x1和x2。然后，將映射符號x1和x2送入空時編碼器，編碼器按照表3-2給出的空時編碼方案對映射符號x1和x2編碼，相當于輸出如下的編碼矩陣：

(3-4-58)顯然，該編碼矩陣滿足列正交關(guān)系。即如果分別以x1和x2表示編碼輸出矩陣的兩個列向量，

則兩個列向量的內(nèi)積為0：

(3-4-59)

Alamouti方案接收原理如圖3-28所示。其中信道估計用以獲取信道狀態(tài)，譯碼采用最大似然算法。假設(shè)在時刻t發(fā)射天線1、2到接收天線的信道系數(shù)分別為h1(t)和h2(t)，并且信道是塊衰落的，可得到

(3-4-60)式中：|hi|和θi分別是發(fā)射天線i到接收天線的信道幅度響應和相位延遲；T為符號周期。接收天線在時刻t和t+T的接收信號r1和r2分別為

(3-4-61)

式中：n1、n2分別表示信道在時刻t和t+T的獨立復高斯白噪聲，均值為0，每一維方差都是N0/2。圖3-28Alamouti方案接收原理

3)Alamouti空時編碼的極大似然譯碼

假設(shè)接收機已經(jīng)準確估計出信道系數(shù)h1和h2，采用極

大似然譯碼算法對接收信號譯碼，就是找出一對星座符號

使它們滿足：

(3-4-62)將式(3-4-61)代入式(3-4-62)，極大似然譯碼變成

(3-4-63)式中，是根據(jù)信道系數(shù)和接收信號進行合并后得到的信號。

(3-4-64)根據(jù)式(3-4-64)分別解出這兩個獨立信號：

(3-4-65)若采用MPSK星座，所有星座點對應信號能量相等，則判決式(3-4-65)可以簡化為

(3-4-66)

式(3-4-66)即為Alamouti空時編碼在單接收天線情況下采用MPSK調(diào)制和極大似然譯碼的判決度量。

4)多副接收天線情況下的Alamouti空時編碼

Alamouti發(fā)射分集方案可以擴展到兩副和多副接收天線的情況。采用多副接收天線時，需要對不同天線上接收的信號進行合并處理，發(fā)射端的編碼方案仍然采用式(3-4-58)。

以分別表示第i副接收天線在時刻t和t+T接收到的信號，則有

(3-4-67)式中：hij表示發(fā)射天線j到接收天線i的信道系數(shù)；分別表示接收天線i在時刻t和t+T接收到的噪聲。根據(jù)式(3-4-64)將各副接收天線上的接收信號進行合并，就可以得到多副接收天線下的判決度量，即

(3-4-68)同理，根據(jù)式(3-4-65)可以得到

(3-4-69)

5)空時分組編碼原理

圖3-29為空時分組編碼發(fā)射機框圖，可以看出它是圖3-27中Alamouti發(fā)射分集方案的直接擴展。圖中的空時編碼器輸出矩陣G由下式給出：

(3-4-70)

矩陣G滿足列正交關(guān)系，矩陣元素cji為(x1，x2，…，xK)及其共軛的線性組合。圖3-29空時分組編碼發(fā)射機框圖

6)空時分組編碼設(shè)計

(1)實信號空時分組編碼設(shè)計。

實信號空時分組編碼設(shè)計，就是實正交矩陣的設(shè)計。對應的實信號編碼矩陣如下：

(2)復信號空時分組編碼設(shè)計。

定義n維復正交方陣G，若n×n矩陣G的每個元素都是由±x1，±x2，…，±xn，±x*1，±x*2，…，±x*n等元素或由這些元素同的乘積組成的，仍然可以假設(shè)矩陣的第一行元素為(x1，x2，…，xn)。

4.其他空時編碼

MIMO系統(tǒng)空時編碼技術(shù)有效地抵抗了無線信道衰落，提升了系統(tǒng)傳輸性能。但是，系統(tǒng)性能的提升依賴于接收機獲得的信道矩陣H信息，或者說接收機需要獲得接近理想的信道估計。3.4.6MIMO-OFDM技術(shù)

1.OFDM的基本原理

無線信道的數(shù)據(jù)傳輸有串行和并行兩種方式，由于技術(shù)上的限制，以往廣泛使用的是串行傳輸方式。然而，隨著數(shù)據(jù)速率的不斷提高，碼間干擾變得越來越難以克服。并行傳輸方式就是將要傳輸?shù)母咚贁?shù)據(jù)分解成若干并行的低速子數(shù)據(jù)流，并將這些低速的子數(shù)據(jù)流調(diào)制到不同的子載波上進行傳輸。由于子信道數(shù)據(jù)速率降低了，從而能夠有效地對抗多徑傳播帶來的碼間干擾，OFDM技術(shù)也就是在這樣的背景下產(chǎn)生的。

OFDM系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理如圖3-30所示。圖3-30OFDM系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理傳統(tǒng)FDM系統(tǒng)中，為了避免子載波間相互干擾，子載波間留有保護間隔，造成頻譜浪費。OFDM以基帶信號處理實現(xiàn)，方法簡單且易于確保子載波間正交，并且子載波頻譜有1/2帶寬的重疊，提高了頻譜利用率，如圖3-31所示。圖3-31FDM和OFDM的比較一個OFDM符號由多個子載波疊加構(gòu)成，每個子載波攜帶一個已調(diào)的數(shù)據(jù)符號(可以是MPSK或QAM符號等)，基本模型如圖3-32所示。圖3-32OFDM調(diào)制與解調(diào)原理若令n表示子載波個數(shù),T

表示OFDM符號周期，di(i=1，2，…，n)為分配給每個子載波的數(shù)據(jù)符號，fi(i=1,2，…,n)為第i

個子載波的頻率，Δf為子載波頻率間隔，且設(shè)f1=Δf，則有fi=i·Δf=i/T，從t=ts開始的OFDM符號可以表示為

(3-4-71)式中，矩形函數(shù)rect(t)=1，|t|≤T/2。上述OFDM符號通常用等效復基帶信號描述為

(3-4-72)一個OFDM符號周期內(nèi)包含子載波的周期數(shù)為整數(shù)，而且相鄰子載波的周期個數(shù)相差1，這時的子載波間是正交的。由于子載波間的正交性，式(3-4-72)在周期T內(nèi)積分時，只有第k個子載波的積分結(jié)果不為0，因此可以恢復出發(fā)射信號dk：

(3-4-73)在式(3-4-72)中，令ts=0，且忽略矩形函數(shù)，對信號s(t)

以T/n的速率進行抽樣，即令t=kT/n(k=0，1，…，n－1)，則有

(3-4-74)可見，sk等效為對di進行n點IDFT運算。這就是多載波

調(diào)制可以應用IDFT實現(xiàn)的原因。經(jīng)過IDFT運算，可以把頻域數(shù)據(jù)符號di變換為時域數(shù)據(jù)符號sk，其中sk是由所有子載波信號疊加后抽樣而成的。同樣，在接收端，OFDM解調(diào)時可對sk進行逆變換，相當于對sk進行DFT運算以恢復原始信號：

(3-4-75)圖3-33加入CP的原理

2.MIMO-OFDM中的空時編碼

MIMO-OFDM系統(tǒng)主要包括基于空間復用的MIMO-OFDM系統(tǒng)(如BLAST-OFDM)和基于空間分集的MIMO-OFDM系統(tǒng)(如STC-OFDM)兩種。如果綜合考慮復用和分集，還有SFC-OFDM、STFC-OFDM等多種變化形式。

下面介紹具有代表性的STC-OFDM系統(tǒng)原理。

STC-OFDM發(fā)射端原理如圖3-34所示。圖3-34STC-OFDM系統(tǒng)發(fā)射端原理下面以兩副發(fā)射天線和一副接收天線的MIMO-OFDM系統(tǒng)為例(見圖3-35)來介紹STBC-OFDM的編譯碼過程。圖3-35兩副發(fā)射天線和一副