量綱分析與流體模型量綱分析物理量通常是用數(shù)字和單位聯(lián)合表達(dá)的。目前世界上最普遍采用的標(biāo)準(zhǔn)度量系統(tǒng)(國(guó)際單位制SI)中的直接物理量(基本量)有長(zhǎng)度(米，m)，質(zhì)量(千克，kg)，時(shí)間(秒，s)，電流(安，A)，溫度(開(kāi)，K)，發(fā)光強(qiáng)度(坎，cd)，物質(zhì)的量(摩爾，mol)，其單位稱(chēng)為基本單位。其他的物理量(間接物理量)，如速度、加速度等，它們的單位則根據(jù)其本身的物理意義，由有關(guān)基本單位組合構(gòu)成，這種單位稱(chēng)為導(dǎo)出單位。例如：，速度的單位則由位移的單位(m)除以時(shí)間的單位(s)得出，即為力學(xué)中的物理量主要有時(shí)間(T)、長(zhǎng)度(L)、質(zhì)量(M)，熱力學(xué)物理量有溫度(K)。力學(xué)中，一切導(dǎo)出量的量綱都是這些基本量的冪組合，即為,其中α，β，γ，n為量綱指數(shù)。量綱分析與流體模型量綱分析是在一定物理過(guò)程中，尋求某些物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法量綱理論的基本出發(fā)點(diǎn)是在一定物理過(guò)程中，表達(dá)物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，必定是“量綱齊次”的，即式中各項(xiàng)的量綱指數(shù)都分別相同。它包括以下兩點(diǎn)內(nèi)容：(1)所有單位制在描述客觀物理規(guī)律時(shí)具有同等的效力；(2)任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，經(jīng)過(guò)測(cè)量單位制的變換后，其數(shù)學(xué)形式不變。例如，牛頓第二定律【例3-5】通過(guò)能量方程，推導(dǎo)和k

的單位。解：等式左側(cè)單位為，右側(cè)第一項(xiàng)單位為右式第二項(xiàng)單位量綱分析與流體模型量綱分析【例3-6】已知聲速c

是壓強(qiáng)和密度的函數(shù)，試通過(guò)量綱齊次理論分析聲速的表達(dá)式。因?yàn)閴簭?qiáng)單位，密度單位，兩者單位不一致，因此聲速不能是兩者的線(xiàn)性加減。定義聲速單位因?yàn)槁曀偈锹曇舻乃俣?，它的單位一定是速度的單位，于是有因?yàn)槭窍嗷オ?dú)立的量，所以只有等式兩邊的冪次都相同，等式才成立，即于是，有。記為。量綱分析與流體模型量綱分析實(shí)際上，根據(jù)聲速是小擾動(dòng)在可壓縮物質(zhì)中的傳播速度，我們定義其表達(dá)式為對(duì)于理想絕熱過(guò)程，有于是，由，得即量綱分析與流體模型量綱分析?Π定理（高代）某一物理過(guò)程：有m個(gè)物理量存在著確定的函數(shù)關(guān)系經(jīng)過(guò)任何單位制的變換，上述關(guān)系的數(shù)學(xué)形式都保持不變則表示m個(gè)變量關(guān)聯(lián)的函數(shù)式一定可以簡(jiǎn)化為m-k個(gè)無(wú)量綱變量其中

是由

構(gòu)成的m-k個(gè)獨(dú)立的無(wú)量綱乘積若該物理過(guò)程的基本單位有n個(gè)，則有k

≤n當(dāng)k=n時(shí)，問(wèn)題得到最大程度的簡(jiǎn)化。[例3-6]應(yīng)用Π定理分析可壓縮粘性流體在重力場(chǎng)中的流動(dòng)。解：可壓縮粘性流體在重力場(chǎng)中流動(dòng)時(shí)的物理量有：特征長(zhǎng)度L、特征速度U、密度ρ、動(dòng)力粘度μ、熱傳導(dǎo)系數(shù)κ、體力g、特征壓力p、等壓比熱Cp、特征溫度T。m=9選取LMtT系統(tǒng)，即以長(zhǎng)度L、質(zhì)量M、時(shí)間t以及溫度T為基本單位。k=4構(gòu)造m-k=5個(gè)無(wú)量綱參數(shù)Π量綱分析與流體模型量綱分析[例3-6]應(yīng)用Π定理分析可壓縮粘性流體在重力場(chǎng)中的流動(dòng)。(1)量綱矩陣?(2)構(gòu)造根據(jù)Π1是無(wú)量綱組合量的要求得到所以量綱分析與流體模型量綱分析類(lèi)似地求出其中M為馬赫數(shù)，表征流體可壓縮程度的無(wú)量綱參數(shù)，為流場(chǎng)中某點(diǎn)的速度同該點(diǎn)的當(dāng)?shù)芈曀僦?，它是以?shī)W地利科學(xué)家E.馬赫的姓氏命名的。馬赫數(shù)小于1者為亞音速，近乎等于1為跨音速，大于1為超音速。一般M<0.3的流體可視為不可壓縮流。量綱分析與流體模型作業(yè)運(yùn)動(dòng)物體的流動(dòng)阻力存在著確定的函數(shù)關(guān)系D~ρ，μ，L，U基本量綱：L，M，t求兩個(gè)無(wú)量綱參數(shù)Π1，Π2量綱分析量綱分析N-S方程直角坐標(biāo)系取特征物理量在重力場(chǎng)中，，等式兩邊除以，有量綱分析量綱分析Strouhal數(shù)，比較局部慣性力和遷移慣性力的量級(jí)大小的參數(shù)流體以特征速度U流過(guò)特征長(zhǎng)度L所需時(shí)間(L/U)與特征時(shí)間T(例如振動(dòng)周期)之比。如果物體尺度很小，流速和振動(dòng)周期較大，那么St就會(huì)很小，非定常效應(yīng)就可以忽略。Reynolds數(shù)，慣性力和粘性力之比Re數(shù)很大時(shí)，反映了流動(dòng)的慣性效應(yīng)遠(yuǎn)大于粘性效應(yīng)，作為一種近似處理，可以在運(yùn)動(dòng)方程中略去粘性項(xiàng)，當(dāng)Re數(shù)很小時(shí)，反映了流體的粘性效應(yīng)起主導(dǎo)作用，于是可以略去慣性項(xiàng)Froude數(shù)Fr，比較外力和遷移慣性力局部慣性項(xiàng)遷移慣性力壓差粘性外力Euler數(shù)，它表示壓差力與慣性力的相對(duì)大小。量綱分析2相似性原理(1)幾何相似(2)運(yùn)動(dòng)相似(3)動(dòng)力相似f：ρ，p，T（溫度），qi，fi，etc.量綱分析量綱分析相似性原理：假定兩個(gè)現(xiàn)象服從同一個(gè)函數(shù)關(guān)系，在兩現(xiàn)象中所有Πi都相等，則兩個(gè)現(xiàn)象相似。忽略體力，兩種流動(dòng)相似的充分必要條件：分界面上的邊界條件(固體邊界條件、自由面條件)、遠(yuǎn)場(chǎng)邊界條件流動(dòng)控制參數(shù)相等：流動(dòng)初始條件流動(dòng)邊界條件：量綱分析【例3-7】為確定在深水航行的潛艇所受的阻力，采用1/20縮尺的模型在水洞中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。若潛艇速度為Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，運(yùn)動(dòng)學(xué)粘度系數(shù)vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)vm=0.556×10-6m2/s。試確定潛艇與模型的阻力比。解按題意，要求集合相似的模型與潛艇的流場(chǎng)動(dòng)力相似，因問(wèn)題為定常，不存在St和初始條件；因潛艇在深水中遠(yuǎn)離自由面，故不考慮Fr和Eu；因問(wèn)題的攻角為零，故亦不必加以考慮。由本節(jié)導(dǎo)出的相似律，只要兩個(gè)流場(chǎng)的雷諾數(shù)Rep

=Rem，就有兩個(gè)流場(chǎng)相似

若潛艇長(zhǎng)為L(zhǎng)p，則

因模型長(zhǎng)，有由，解出模型試驗(yàn)中水速量綱分析【例3-7】為確定在深水航行的潛艇所受的阻力，采用1/20縮尺的模型在水洞中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。若潛艇速度為Up=2.572m/s，海水密度ρp=1010kg/m3，運(yùn)動(dòng)學(xué)粘度系數(shù)vp=1.3×10-6m2/s，水洞中水密度ρm=998kg/m3，運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)vm=0.556×10-6m2/s。試確定潛艇與模型的阻力比。

阻力D等于壓強(qiáng)和剪切應(yīng)力投影沿物面的積分，具有的量綱，于是定義阻力系數(shù)由于兩個(gè)流場(chǎng)相似，故其CD