考點(diǎn)8?2橢圓及其性質(zhì)

卜維練基礎(chǔ)J//

I.（2022?全國?高考真題（文））已知橢圓C:「+2=l（a＞人＞0）的離心率為：，A，4分

ab^3

別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若BV34=-1,則C的方程為（）

A.—+?=!B.—+^-=1C.—+?=1D.—+y2=1

181698322

【答案】B

【分析】根據(jù)離心率及網(wǎng)心4=-1,解得關(guān)于片,/的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】解：因?yàn)殡x心率e,=Jl-4=L解得耳=3b2=^-a2,

a?a23099

A，4分別為C的左右頂點(diǎn)，則A（-α,0）,4（4,0）,

8為上頂點(diǎn)，所以例0,。）.

所以BA={-a,-b）,BA1={a-h）,因?yàn)樗鸅A?=-1

O

所以一/+〃=T,將∕=1°2代入，解得病=9萬=8,

故橢圓的方程為＜+E=l.

9o

故選：B.

2.（2019?福建?高考模擬（文））設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點(diǎn)分別為B,F2,若曲線r上存在

點(diǎn)P滿足∣PF∣∣:∣FιF2∣：∣PF2∣=4:3：2,則曲線r的離心率等于

?-■!或^∣B.搟或2C.■!礪D--∣?δ?∣

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)出∣PR∣,IFRl和∣PF2∣,然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情

況，分別利用定義表示出a和c,則離心率可得.

解：依題意設(shè)IPFll=4t,∣FιF2∣=3t,∣PF2∣=2t,

若曲線為橢圓則2a=∣PF∣∣+∣PF2∣=6t,C=A

貝IJe=-=?

aZ

右曲線為雙曲線則，2a=4t-2t=2t,a=t,c=-1

???c=_-c=_-3

a2

故選A

點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征.關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來解決.

3.（2020?浙江?高考模擬（文））如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M,

N是雙曲線的兩頂點(diǎn).若M,O,N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是

C.√3D.√2

【答案】B

【詳解】M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn)，M,O,N將橢圓長軸四等分

???橢圓的長軸長是雙曲線實(shí)軸長的2倍

??雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，

雙曲線與橢圓的離心率的比值是2

故答案選B

4.(2022.全國.高考真題)已知橢圓C:/親■=1(〃>6>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為E,

F2,離心率為3.過士且垂直于A6的直線與C交于O,E兩點(diǎn)，IOEI=6,則，AD￡的周

長是.

【答案】13

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為W+Z?=l,BP3X2+4∕-12C2=0,根據(jù)離心率得

4ΛcX-3八c一2

到直線48的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線OE的斜率，寫出直線OE的方程：

Λ=√3y-c,代入橢圓方程3∕+4f-⑵=O,整理化簡得到：13丁-6瘋7-9C'2=0,利用弦

1313

長公式求得C=得〃=2。=與，根據(jù)對稱性將一Az)后的周長轉(zhuǎn)化為出的周長，利

用橢圓的定義得到周長為44=13.

【詳解】；橢圓的離心率為e=￡=[,.??α=2c,.?.從=∕-c2=3c2,.?.橢圓的方程為

a2

22

三+J=LB∣‰2+4∕-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為「，右焦點(diǎn)為生，如圖所示，.；

A32CZ

AF2=a,OF2=c,α=2c,.?.NAgO=?,.?.ZVIK8為正三角形，?.?過耳且垂直于AK的直

線與C交于。，E兩點(diǎn)，OE為線段A乙的垂直平分線，.?.直線Z)E的斜率為斑，斜率倒數(shù)

3

為百,直線DE的方程：X=Ey-c,代入橢圓方程獷+4丁-12/=O,整理化簡得到：

13∕-6√3Q-9C2=0,

判另!」式公=(6有。)2+4乂13*9。2=62、16*<:2,

Λ∣DE∣=Jl+(√5)^∣y,-y2∣=2×^=2×6×4×-^=6.

?；OE為線段A乃的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,4E=EE,.?.,ADE的周長等于

△月。E的周長，利用橢圓的定義得到周長為

∣D∕ζ∣+∣Efζ∣+∣DE∣=∣DF2?+?EF2?+?DFl∣+∣EF11=∣DFl?+?DF2?+?EFl?+?EF2?=2a+2a^4a=\3.

故答案為：13.

y

5.(2021?福建?高考模擬(理))橢圓「二-二=L二>3>J的左右焦點(diǎn)分別為F.R,

crZr*

焦距為2c,若直線薩=√?j”/與橢圓的一個交點(diǎn)滿足」/FF：則該橢圓的

離心率等于“

【答案】√3-l

【詳解】注意到直線過點(diǎn)(-G0)即為左焦點(diǎn)耳，又斜率為G，所以傾斜角為60°,即

F

NMK2=60°.又ZMKF2≈2LMF2Ft故ZMF2F1=30°,那么

n

ZF2MFl=90.MK=Kg?cos600=2c4=c,MF2=FiF2-sm600=2c^=√3c,

2c2c2c

e----JiI

2aMF1+MF2y∣3c+c

【考點(diǎn)定位】考查離心率的算法，要求學(xué)生要有敏銳的觀察力，比如直線的特征.屬于難題.

2維練能力11/

22

廠+廣

6.(2022?全國?高三練習(xí))己知橢圓C7+7r=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6(-c,0),

6(GO),點(diǎn)M在橢圓C上，若(=需，則該橢圓的離心率不可能是()

【答案】A

【分析】設(shè)I例周=x,則∣M6∣=2α-x,代入?=睛中，可得X=黑，再利用

a-c≤x≤a+c,即可求出離心率的取值范圍，從而可判斷出離心率不可能的值

【詳解】設(shè)IM周=x.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以IMl+1M閭=%，所以IM周=2αr.

因?yàn)椤?償I，所以*=不解得χ=2竺?

ci?MF2?a2a-xa+c

由題意可知。一c<x≤α+c,

即。-c≤<a+c.

a+c

由普≤α+c,可得2αc≤("+c?)2,即/+c2≥o,顯然成立.

由?！猚≤也，可得"-∕≤2αc,則i-∕≤2e.

a+c

又0<e<l,所以√∑-l≤e<l,

因?yàn)閃任[&-1,1),—∈—1,1j,—∈∣^λ∕2—l,lj,[&—1,1),

故選：A.

7.(2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試)已知橢圓「：E+X?=l(α>∕,>O)的兩個焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,

a^b^

過K的直線與「交于A,B兩點(diǎn).若∣Ag∣=3怩卻，∣A卻=2∣A用，則「的離心率為（）

A.-B.C.叵D.巫

5555

【答案】C

【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將I整I，I崗,∣AE∣,IMl用α表示出,再在三角形中利用

余弦定理建立方程,即可求解.

【詳解】設(shè)區(qū)Bl=Zn,則M局=3"∕jAB∣=2∣Aξ∣=4M.

由橢圓的定義可知IM1+忸閭=勿=5m.所以w=∣a,所以IAKlqaJA用=，.

在△AM中,“SA=:+4斤-岫=1J'?廠?=1.

2AB×AF,?8?χz4a4

55,

所以在AABB中,?ξg=h4『+a周2_2IAKHA國8SA,

即4C2=^yj+[y]^-2（：jX?整理可得：e2=?=∣?

所以e=?

5

故選：C

y2-1

8.（2022.北京市十一學(xué)校高三模擬）已知橢圓C：+（a>b>O）的左、右頂點(diǎn)分

別為A，4,且以線段A4為直徑的圓與直線笈-毆+2"人=0相交，則橢圓C的離心率的

取值范圍為（）

【答案】B

【分析】由題設(shè)以線段A4為直徑的圓為/+V=/,根據(jù)直線與圓相交，利用點(diǎn)線距離

公式列不等式求橢圓C的離心率的范圍.

【詳解】由題設(shè)，以線段A4為直徑的圓為/+/=/，與直線公-做+2必=。相交，

所以I2,va,可得*=3（/-/）</，即/>2，又0<e<l,

√a-+?3

所以如<e<ι.

3

故選：B

9?（2022.全國.高三專題練習(xí)）已知橢圓》/地3。）的左、右焦點(diǎn)分別為

Pf8,B,。分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為D若

12

【答案】石

【分析】由COSNKBg=三，可得CoSNo的值，即可求Hl2的值，設(shè)皿肛〃），可得

25a

2

n=fl-?L-,從而可得%j%=T?巴史=-4,進(jìn)而由即z>=-2,可求出∕?.

Ia）mtna~c

74

2

【詳解】由題意，cosZFtBF2=2COSZOBF2-I=-,解得COSNoB

因?yàn)殁钪?JlO叫Oy?=7=〃,所以COSNOB用=：,故,=

22f~?

設(shè)D(,".n),則勺+勺=1,即:A=1-^-U2,

a2b-?a')

則，n-bn+brr-b21a2?及-b）b216,

kβD-kco=---------=——=?--------?---------=--Γ=~τz

Inmmma25

444

因?yàn)镃oSNOB居=y,所以tan/。入8=],所以⑥0=一?p

_\6

故2號嚕

^3

12

故答案為：—

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓CW+E=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,

Crh~

B，點(diǎn)尸α,y）,。（一不-X）在橢圓C上,其中玉>0,χ>o,若∣pq=2∣。閭，1簧∣≥3,

則橢圓C的離心率的取值范圍為.

【答案】（正，√3-l]

2

【分析】設(shè)PE="，PFLm,由已知得到竺的范圍，再由橢圓的定義得到〃，m間的關(guān)系,

n

代入、換元，求出e的范圍.

【詳解】設(shè)PF1=m,由x∣>0,yl>0,知me”，

因?yàn)镻,。在橢圓C上，歸。=2|。段，

所以四邊形PKQ瑪為矩形，QFt=PF2i

由肄旦可得旦竺＜L

33n

由橢圓的定義可得〃2+〃=勿，n2+m2=4c2①,

平方相減可得ntn=2（?2—C2）②，

4C2m2+n2mn

由①②得=-I—.

2(α2-c2)mnnm'

?tnn

令t=—+—,

nm

m

令ay=—∈

n

](4∕s^4C24√3

所以∈2,*，即2<

22,

V2(?-c)^~

所以a?—/<c^<ι

2

所以1一/<e≤

所以L<e2≤4一2囪，解得"<e≤√5-l.

22

(B-

故答案為：-?,?/?-I.

3維練素養(yǎng)

22

11.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知橢圓￡+方=1（〃＞匕＞0）的左、

右焦點(diǎn)分別為耳、J經(jīng)過”的直線交橢圓于A,B,ABK的內(nèi)切圓的圓心為/,若

3∕3+4∕A+5∕R=O,則該橢圓的離心率是（）

A.正B.-C.@D.?

5342

【答案】A

.,351

【分析】對3力+4叢+5怎=0變形得到三"+三仁=一彳小，進(jìn)而得到以

882

IA閭:忸閭:|AB|=3:4:5,結(jié)合橢圓定義可求出∣Ag∣=α,忸居∣=gα,∣4網(wǎng)=∣",∣A用=α,

由余弦定理求解α,c關(guān)系式，求出離心率.

--351

【詳解】因?yàn)?/3+4Z4+5低=0,所以1由十三/尼=—彳/4,

oo2

如圖，在愿上取一點(diǎn)M,使得忸M：IM^l=5:3,連接/M,則ΛW=-g∕A,

則點(diǎn)/為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以SM：S瞑：S⑸=3：4:5,

所以:忸聞四=3:4:5,

設(shè)IA同=3x,則忸用=4x,∣AB∣=5x,

由橢圓定義可知：I傷∣+∣%∣+∣AB∣=4%即12x=44,所以x=*

所以M用=α,?BF2?=^a,?AB?=^a,?AFl?=a

故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，

在4AB6中，由余弦定理得：

25,216,

期2+1序VTK砰Wa+α-飛a3

cosZBAF2=

2IABI-M2X?5

3

〃2+〃2―4M3

在△%/=；久中，CoSNBAE=3~,=-

Icr5

解得：￡=亞，

a5

所以橢圓離心率為手.

故選：A

【點(diǎn)睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出4/,C

的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將3/B+4Z4+5低=0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出

輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形AB心三邊關(guān)系，求出離心率.

12.（2021?江蘇省天一中學(xué)高三預(yù)測）如圖，設(shè)￡、尼分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是

以”鳥為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點(diǎn)，延長Pg與橢圓交于點(diǎn)Q,若

【答案】C

【分析】設(shè)IQ丹l=x,由已知條件及橢圓、圓的性質(zhì)得∣P^I=2x,?QFx?=2a-x,

\PF]?=2a-2x^PF}1PQ,根據(jù)勾股定理列方程求x,進(jìn)而求橢圓離心率.

【詳解】連PRQZ,若IQEl=X,則∣PF"=2x,?QFt?=2a-x,?PFt?=2a-2x,

y

乂PaeQ,則IPGI2+IPQf=IQGF，即4("x)2+9∕=(2α-x)2,得x=],

又隅…居川"即435+4x2”,f代入得入當(dāng).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的定義、圓的性質(zhì)，由垂直關(guān)系，利用勾股定理列齊次方程

求離心率.

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知”，鳥分別是橢圓C：二+匯=1的左、右焦

6432

點(diǎn)，過K的直線4與過心的直線4交于點(diǎn)N,線段耳N的中點(diǎn)為M,線段KN的垂直平分線

IOM

MP與4的交點(diǎn)P（第一象限）在橢圓上，若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則局的取值范圍為（)

IoK

C.(θ,√2)D.(θ,?)

【答案】D

【分析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對IoMl轉(zhuǎn)化，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表

示，通過P點(diǎn)在第一想象的范圍，求出范圍.

【詳解】如圖所示，點(diǎn)P在y軸右邊，

因?yàn)镻M為KN的垂直平分線，所以忻M=IΛCV∣.

由中位線定理可得IoMl=J心NI.

設(shè)點(diǎn)P（XO,%）（%>0,%>0）.

由兩點(diǎn)間的距離公式，得IP用=J(XO+=J(X(I+c)2+(I-*■卜

1

+2cx0+a=a+ex0<

同理可得IP閭="-%>,

所以I取VITPMHP閭=際，故IoMl=%,

因?yàn)閍=8,c=4-yf2,所以e=,

2

r夜

+故IoM=3/，所以|。ML2-=??.

2

?OF2?~4√28

因?yàn)椋ァ?0,8),所以JΛOG(0,1).

O

故般的取值范圍為(0,1).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查/橢圓的定義、直線和橢圓的關(guān)系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何

性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

14.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C：二+"?=l(4>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,

a~b~

用，點(diǎn)Pa2)，。(一Xl,-χ)在橢圓C上，其中玉>0,y>0,若∣Pβ∣=2∣。閭察∣≥更,

"43

則橢圓C的離心率的取值范圍為.

【答案】(正，√3-ll

2

【分析】設(shè)尸耳=〃，PF2=m,由己知得到竺的范圍，再由橢圓的定義得到“，m間的關(guān)系,

n

代入、換元，求出e的范圍.

【詳解】設(shè)PE=〃，PF2=m,由x∣>0,yl>O,知相<〃，

因?yàn)镻,2在橢圓C上，∣P<=2∣0"∣,

所以四邊形尸片Q鳥為矩形，。耳=?"；

由■!魯2岑，可得且≤'<],

產(chǎn)用33n

222

由橢圓的定義可得加+"=24,n+m=4c①，

平方相減可得癡=2(。2—￠2)②,

m~+n"mn

由①②得，?)----=—I—?

mnnm,

nm

令U=—∈—,1,

nL3J