13三月2024第章行列式行列式的性質(zhì)計算一、對換二、行列式的性質(zhì)（重點）三、行列式的計算（重點、難點）四、行列式按行（列）展開第一章行列式主要內(nèi)容：定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換．定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．一、對換提問：什么叫排列的奇偶性？定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證明：設排列為對換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當時，經(jīng)對換后的逆序數(shù)增加1，的逆序數(shù)不變；經(jīng)對換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列為當時，現(xiàn)來對換與次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),推論奇排列變標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2

階行列式也可定義為其中為行標排列的逆序數(shù).證明而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),所以推論成立.性質(zhì)1

行列式D與它的轉置行列式DT相等

由此性質(zhì)可知

行列式中的行與列具有同等的地位

行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立

反之同

性質(zhì)2

互換行列式的兩行

行列式變號

二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k

等于用數(shù)k乘此行列式。推論

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

推論

如果行列式有兩行(列)完全相同

則此行列式等于零。性質(zhì)4

若行列式的某一行(列)的元素都是兩個數(shù)之和

則行列式等于兩個行列式之和。即性質(zhì)5

行列式中如果有兩行(列)元素成比例

則行列式等于零

性質(zhì)6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一個數(shù)然后加到另一行(列)對應的元素上去，行列式不變。稱n階行列式為上三角行列式。

下三角行列式？上三角和下三角行列式統(tǒng)稱為三角形行列式。顯然，n階三角形行列式等于它的主對角線上元素的乘積三、行列式的計算在計算行列式時,可以使用如下記號以便檢查:符號規(guī)定

第i行(或列)提出公因子k

記作ri

k(或ci

k)

交換i

j兩行記作ri

rj

交換i

j兩列記作ci

cj

以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上

記作ri

krj(ci

kcj)

對任意的n階行列式可用行列式性質(zhì)將其化為三角形行列式，這時計算n階行列式的值即轉化為計算三角形行列式主對角線上的元素相乘的積。

例1

計算

312151432011153321431133132113210167201231211001080123121102111105解：

31215143201115333521c1

c2

r2

r1r4

5r100816640211720864r2

r3

00108001510

r3

4r2r4

8r2

005/20

40

r4

r1r3

r161111

例2

計算

31111311111311313111131111131131

解：

c1

c2

c3

c4

66661311111311316c1

61111131111131131r2

r1020000020020

6

8

48

D

例3

計算

解：

r4

r3r3

r2r2

r1abcd0aa

ba

b

c0a2a

b3a2b

c0a3a

b6a3b

cabcd0aa

ba

b

c00a2a

b00a3a

br4

r3r3

r2abcd0aa

ba

b

c00a2a

b000ar4

r3

a4

對D1作運算ri

krj

把D1化為下三角形行列式

設為

證

例4證明D

D1

D2

其中對D2作運算ci

kcj

把D2化為下三角形行列式

設為于是

對D的前k行作運算ri

krj

再對后n列作運算ci

kcj

把D化為下三角形行列式故D

p11

pkkq11

qnn

D1

D2

把D2n中的第2n行依次與2n

1行、

、第2行對調(diào)(作2n

2次相鄰對換)

再把第2n列依次與2n

1列、

、第2列對調(diào)

得根據(jù)例4的結果

有D2n

D2

D2(n

1)

(ad

bc)D2(n

1)

以此作遞推公式

即得

D2n

(ad

bc)2D2(n

2)

(ad

bc)n

1D2

(ad

bc)n

解

例5計算2n階行列式其中未寫出的元素為0

四、余子式、代數(shù)余子式所在的第i行和第j列在n階行列式中，把元素的余子式（complementminor），記作階行列式叫做元素劃去后，剩下來的代數(shù)余子式（algebraiccomplementminor），而前面附以符號后，叫做元素的來表示，即用符號例如4階行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為：引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如證當位于第一行第一列時,即有又從而再證一般情形,此時本次課例4的特殊情形把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對調(diào)得(共掉換i-1次)：得(共掉換j-1次)：再把D中的第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對調(diào)中的余子式元素在行列式中的余子式仍然是在故得于是有在運用定理3來計算行列式時，總是按含0最多的行或列來展開行列式，因為0位置的代數(shù)余子式乘以0后仍然是0。例6證明：證：由定理3將行列式按第1行展開，對這個n－1階行列式再按第1行展開有：這樣逐步推下去，則得到

例7

計算的值。

證：用數(shù)學歸納法所以當時，(1)式成立。因為假設(1)對于n-1階范德蒙德行列式成立.按第1列展開，并把每列的公因子提出，就有設法對Dn降階：從第n行開始，后行減去前行的x1倍，有：n-1階范德蒙行列式推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證把行列式D按第j行展開，有行列式D，特別寫出了第i行和第j行同理，相同把換成，可得當時，第i行第j行由此得關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：其中或相關應用

如果第i行的元素為b1

b2

bn則有如果第j列的元素