1．2.3充分條件、必要條件[課程目標(biāo)]1.理解充分條件、必要條件、充要條件的概念；2.會判斷所給條件是充分條件、必要條件還是充要條件．知識點一推出符號“?”[填一填](1)命題的條件和結(jié)論“如果p，則(那么)q”形式的命題，其中eq\o(\s\up7(p),\s\do5())稱為命題的條件，eq\o(\s\up7(q),\s\do5())稱為命題的結(jié)論．(2)推出符號“?”的含義當(dāng)命題“如果p，則q”是真命題時，就說由eq\o(\s\up7(p),\s\do5())可以推出eq\o(\s\up7(q),\s\do5()).記作p?q，讀作“p推出q”．[答一答]1．如何理解“?”的含義？提示：(1)只有當(dāng)一個命題是真命題時，才能使用“?”表示．(2)符號“eq\o(?,/)”的含義：當(dāng)命題“如果p，則q”是假命題時，就說由p不能推出q.記作peq\o(?,/)q，讀作“p不能推出q”．(3)推出的傳遞性：若p?q且q?r，則p?r.知識點二充分條件、必要條件[填一填]如果由p可推出q，則稱eq\o(\s\up7(p),\s\do5())是eq\o(\s\up7(q),\s\do5())的充分條件或eq\o(\s\up7(q),\s\do5())是eq\o(\s\up7(p),\s\do5())的必要條件．[答一答]2．怎樣深入理解充分條件、必要條件的定義？提示：(1)p是q的充分條件是指p成立就足夠保證q成立；q是p的必要條件是指q是p成立必不可少的條件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立．(2)若p則q是真命題，p?q，p是q的充分條件，q是p的必要條件三種說法是等價的．(3)判定充分條件、必要條件只是對“p能推出q”進行了單向探討，至于“q能否推出p”這需結(jié)合定義理解，判斷“若q則p”的真假．知識點三充要條件[填一填]一般地，如果p?q，且eq\o(\s\up7(q),\s\do5())?eq\o(\s\up7(p),\s\do5())，則稱p是q的充分必要條件，簡稱p是q的充要條件，記作p?q，顯然，eq\o(\s\up7(q),\s\do5())也是eq\o(\s\up7(p),\s\do5())的充要條件．又常說成eq\o(\s\up7(p),\s\do5())當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(\s\up7(q),\s\do5())或p與q等價．[答一答]3．判斷充要條件的步驟是怎樣的？提示：(1)確定條件是什么，結(jié)論是什么；(2)嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；(3)確定條件是結(jié)論的什么條件．類型一充分條件、必要條件的判定[例1]給出下列四組命題：(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根．(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．試分別指出p是q的什么條件．[解](1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0eq\o(?,/)x－2＝0.∴p是q的充分不必要條件．(2)∵兩個三角形相似?兩個三角形全等；但兩個三角形全等?兩個三角形相似．∴p是q的必要不充分條件．(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根；方程x2－x－m＝0無實根eq\o(?,/)m<－2.∴p是q的充分不必要條件．(4)∵四邊形是矩形?四邊形的對角線相等；而四邊形的對角線相等eq\o(?,/)四邊形是矩形，∴p是q的充分不必要條件．1判斷p是q的什么條件，主要判斷p?q及q?p兩命題的正確性，若p?q為真，則p是q成立的充分條件，若q?p為真，則p是q成立的必要條件.2注意利用“成立的證明，不成立的舉反例”的數(shù)學(xué)方法技巧來作出判斷.3關(guān)于充分條件的判斷問題，當(dāng)不易判斷p?q真假時，也可從集合角度入手進行判斷.[變式訓(xùn)練1]判斷下列條件中，p與q中的哪個條件是另一個條件成立的充分條件．(1)p：△ABC中，∠A＝∠B，q：△ABC是等腰三角形；(2)p：集合M是集合N的真子集，q：集合M是集合N的子集；(3)p：x>1，q：2x－1>5.解：(1)在△ABC中，若∠A＝∠B，則必有△ABC是等腰三角形，反之，若△ABC是等腰三角形，則未必有∠A＝∠B(因為可以是任意的兩個角相等)，所以p?q，但q?p.因此p是q的充分條件，但q不是p的充分條件．(2)若集合M是集合N的真子集，則集合M必是集合N的子集，即p?q，但是若集合M是集合N的子集，未必有集合M是集合N的真子集(可能還有M＝N)，即qeq\o(?,/)p.因此p是q的充分條件，但q不是p的充分條件．(3)q：x>3，peq\o(?,/)q，q?p，因此q是p的充分條件，但p不是q的充分條件．類型二充要條件的求解與證明[例2]求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件．[解](1)當(dāng)a＝0時，原方程化為2x＋1＝0，此時根為x＝－eq\f(1,2)，滿足條件．(2)當(dāng)a≠0時，因為方程的常數(shù)項為1不為0，f(0)＝1≠0，方程沒有零根．①若方程有兩異號的實根x1，x2，則x1x2＝eq\f(1,a)<0且Δ＝4－4a≥0，即a<0；②若方程有兩個負(fù)的實根x1、x2，則需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1x2＝\f(1,a)>0，,x1＋x2＝－\f(2,a)<0，,Δ≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0<a≤1.綜上，若方程至少有一個負(fù)的實根，則a≤1.反之，若a≤1，則方程至少有一個負(fù)的實根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件是a≤1.證明充要條件問題要注意以下幾點：1充分性、必要性分開，指明哪一部分是充分性，哪一部分是必要性，否則將會扣分.2充分性與必要性錯證，將充分性證成必要性，必要性證成充分性，這也會造成失分.為了避免將充分性與必要性證反，證充分性時，從條件開始，證必要性時從結(jié)論開始.[變式訓(xùn)練2]已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.證明：必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2>0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.綜上可知，當(dāng)ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.1．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)，則p是q的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因為x＝1或x＝2?x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)?x＝1或x＝2，所以，p是q的充要條件．故選C.2．設(shè)p：－1<x<1；q：－2<x<1，則p是q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：由－1<x<1可得－2<x<1，反之不一定成立，因此p是q的充分不必要條件．故選A.3．設(shè)集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那