第76練雙曲線(xiàn)[基礎(chǔ)保分練]1．(2018·鹽城質(zhì)檢)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－2)且與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______________．2．過(guò)雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左焦點(diǎn)F1作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左支交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)l⊥x軸時(shí)，MN＝3，則右焦點(diǎn)F2到雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的距離是________．3．設(shè)雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，若A為線(xiàn)段F1F2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．4．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積等于______．5．(2018·無(wú)錫模擬)如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)FB⊥AB時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”，類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率e＝________.6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)左支上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足PF1＝F1F2，且F1到直線(xiàn)PF2的距離為eq\r(7)a，則該雙曲線(xiàn)的離心率e＝________.7．已知雙曲線(xiàn)E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2AB＝3BC，則E的離心率是________．8．(2019·蘇州模擬)P是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率是eq\f(5,4)，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面積是9，則a＋b的值為_(kāi)_______．9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)P滿(mǎn)足(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2a2，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______．10．過(guò)雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F1作斜率為1的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別為A，B，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______．[能力提升練]1．已知雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)_______________．2．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C的左支于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且AF2＝3，BF2＝5，AB＝4，則△BF1F2的面積為_(kāi)_______．3．已知橢圓eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有公共的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2.它們?cè)诘谝幌笙藿挥邳c(diǎn)P，其離心率分別為e1，e2，以F1F2為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)P，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝________.4．(2018·江蘇省高考沖刺預(yù)測(cè)卷)已知雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過(guò)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F作C的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，延長(zhǎng)FM與y軸交于點(diǎn)P，且FM＝4PM，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_______．5．已知F是橢圓C1：eq\f(x2,9)＋y2＝1與雙曲線(xiàn)C2的一個(gè)公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，則C2的離心率為_(kāi)_______．6．已知F是雙曲線(xiàn)C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6eq\r(6))，當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_(kāi)_________．

答案精析基礎(chǔ)保分練1.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝12.eq\r(3)3.34.245.eq\f(\r(5)＋1,2)6．2解析設(shè)F1到直線(xiàn)PF2的垂足為M，因?yàn)镻F1＝F1F2＝2c，所以M為PF2的中點(diǎn)，由題意可知，PF2＝2MF2＝2eq\r(F1F\o\al(2,2)－MF\o\al(2,1))＝2eq\r(4c2－7a2).根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得PF2－PF1＝2a，所以PF2＝2a＋2c，即2eq\r(4c2－7a2)＝2a＋2c，化簡(jiǎn)可得3c2－2ac－8a2＝0，整理得(3c＋4a)(c－2a)＝0，因?yàn)閑>1，解得e＝eq\f(c,a)＝2.7．2解析將x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴AB＝eq\f(2b2,a)，∵2AB＝3BC，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，整理得2c2－2a2－3ac＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－eq\f(1,2)(舍去)．8．7解析由雙曲線(xiàn)的離心率e＝eq\f(5,4)，知c＝eq\f(5,4)a， ①∵PF1⊥PF2，S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝9，∴PF1·PF2＝18.在Rt△PF1F2中，4c2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4a2＋36， ②由①②解得a＝4，c＝5，b＝3，∴a＋b＝7.9．y＝±x解析根據(jù)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，可知OP＝OF2＝OF1，即△PF1F2為直角三角形．設(shè)PF1＝m，PF2＝n，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝2a2，,m－n＝2a，))根據(jù)勾股定理得m2＋n2＝(m－n)2＋2mn＝8a2＝4c2，解得c＝eq\r(2)a＝eq\r(2)b，a＝b，故雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，漸近線(xiàn)方程為y＝±x.10．3x±y＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,y＝－\f(b,a)x，))得x＝－eq\f(ac,a＋b)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,y＝\f(b,a)x，))解得x＝eq\f(ac,b－a)，不妨設(shè)xA＝－eq\f(ac,a＋b)，xB＝eq\f(ac,b－a)，由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，可得－eq\f(ac,a＋b)＋c＝eq\f(ac,b－a)＋eq\f(ac,a＋b)，整理得b＝3a.所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為3x±y＝0.能力提升練1．x2－eq\f(y2,3)＝12.eq\f(9,2)3．2解析由橢圓定義得PF1＋PF2＝2a1， ①P在第一象限，由雙曲線(xiàn)定義，得PF1－PF2＝2a2. ②由①②得PF1＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)P，所以∠PF1F2＝90°，所以PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝(2c)2，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，所以aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，所以eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2.4.eq\r(5)解析雙曲線(xiàn)C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝eq\f(b,a)x，右焦點(diǎn)為F(c,0)．過(guò)F與漸近線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為y＝－eq\f(a,b)(x－c)．設(shè)M(xM，yM)，P(0，yP)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,y＝－\f(a,b)x－c，))可解得xM＝eq\f(a2,c)，yM＝eq\f(ab,c)，在y＝－eq\f(a,b)(x－c)中，令x＝0，可得yP＝eq\f(ac,b)，∵FM＝4PM，∴eq\o(FM,\s\up6(→))＝4eq\o(MP,\s\up6(→))，∴eq\f(a2,c)－c＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a2,c)))，整理得5a2＝c2，則e2＝5，∴e＝eq\r(5)，即雙曲線(xiàn)C的離心率為eq\r(5).5.eq\f(2\r(14),7)解析如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為F′，再設(shè)AF＝x，AF′＝y(tǒng)，∵點(diǎn)A為橢圓C1：eq\f(x2,9)＋y2＝1上的點(diǎn)，2a＝6，b＝1，c＝2eq\r(2)，∴AF＋AF′＝2a＝6，即x＋y＝6. ①又四邊形AFBF′為矩形，∴AF2＋AF′2＝FF′2，即x2＋y2＝(2c)2＝32， ②聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,x2＋y2＝32，))解得x＝3－eq\r(7)，y＝3＋eq\r(7)，設(shè)雙曲線(xiàn)C2的實(shí)軸長(zhǎng)為2a′，焦距為2c′，則2a′＝AF′－AF＝y(tǒng)－x＝2eq\r(7)，2c′＝4eq\r(2)，∴C2的離心率是e＝eq\f(c′,a′)＝eq\f(2\r(2),\r(7))＝eq\f(2\r(14),7)，故答案為eq\f(2\r(14),7).6．12eq\r(6)解析由已知得a＝1，c＝3，則F(3,0)，AF＝15.設(shè)F1是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有PF－PF1＝2，所以PA＋PF＝PA＋PF1＋2≥AF1＋2＝17，即點(diǎn)P是線(xiàn)段AF1與雙曲線(xiàn)左支的交點(diǎn)時(shí)，PA＋PF＝PA＋PF1＋2最小，即△APF周