《5.3.2函數的極值與最大(小)值》教案（第一課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修二》第四章《數列》，本節(jié)課主要學習函數的極值與最大(小)值學生已經具有導數概念、導數幾何意義、導數計算、函數的單調性等相關的數學概念知識，對函數的單調性有一定的認識，對相應導數的內容也具有一定的儲備。函數的極值與最值是函數的一個重要性質。在學習運用導數判斷函數單調性的基礎上，研究和學習函數的極值與最值是導數的一個重要應用，注意培養(yǎng)學生數形結合思想、特殊到一般的研究方法，發(fā)展學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養(yǎng)。?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.了解函數極值的概念，會從函數圖象直觀認識函數極值與導數的關系.B．初步掌握求函數極值的方法．C．體會滲透在數學中的整體與局部的辯證關系．1.數學抽象：求函數極值的方法2.邏輯推理：導數值為零與函數極值的關系3.數學運算：運用導數求函數極值4.直觀想象：導數與極值的關系【教學重點和難點】重點：求函數極值難點：函數極值與導數的關系【教學過程】【教學反思】教學過程教學設計意圖一、溫故知新1.函數f(x)的單調性與導函數f′(x)正負的關系定義在區(qū)間(a，b)內的函數y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調性f′(x)＞0單調遞____f′(x)＜0單調遞____增;減2．判斷函數y＝f(x)的單調性第1步：確定函數的______；第2步：求出導數f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的____，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．定義域;零點;零點;正負二、探究新知探究1：觀察下圖，我們發(fā)現當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數h(t)在此點處的導數是多少？此點附件的函數圖象有什么特點？相應地，導數的正負有什么變化規(guī)律?放大t=a附近函數h(t)的圖像,如圖，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，當t<a時，函數h(t)單調遞增，h't>0;當t>a時，函數h(t)單調遞減，h't<0.這就是說，在t=a附近，函數值先增（當t<a時，h't>0）后減（當t>a對于一般的函數y=f(x)，是否具有同樣的性質？以a，b為例進行說明.探究2：觀察下圖，函數y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？y=f(x)在這些點處的導數值時多少？在這些點附近，函數y=f(x)導數的正負有什么規(guī)律？（1）函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在點附近其他點的函數值都小，而且在x=a點附近的左側f'（2）函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點附近其他點的函數值都大，而且在x=b點附近的左側f1．極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝__，而且在點x＝a附近的左側__________，右側_______，就把點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，_____叫做函數y＝f(x)的極小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)極大值點與極大值若函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝__，而且在點x＝b附近的左側_________，右側_______，就把點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，______叫做函數y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統稱為______；極大值、極小值統稱為_____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);極值點;極值1．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)()A．無極大值點，有四個極小值點B．有三個極大值點，兩個極小值點C．有兩個極大值點，兩個極小值點D．有四個極大值點，無極小值點C[設y＝f′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]三、典例解析例5.求函數fx=解：因為fx=13f'x令f'x=當x變化時，f'x，因此，當x=-2時，fx有極大值，極大值為f-2當x=2時，fx有極小值，極小值為f2=-函數fx=問題1：函數的極大值一定大于極小值嗎？一般地，求函數y＝fx的極值的步驟1求出函數的定義域及導數f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一個；3用方程f′x＝0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，f′x，fx在每個區(qū)間內的變化情況列在同一個表格中；4由f′x在各個開區(qū)間內的符號，判斷fx在f′x＝0的各個根處的極值情況：如果左正右負，那么函數fx在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數fx在這個根處取得極小值；如果導數值在這個根左右兩側同號，那么這個根不是極值點.問題2：導數為0的點一定是極值點嗎？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點．所以，當f′(x0)＝0時，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點，還要看f′(x)在x0兩側的符號是否相反．跟蹤訓練1求下列函數的極值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當x變化時，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗∴當x＝－1時，函數y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當x＝3時，函數y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當x變化時，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點；x＝3是y的極大值點，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點，y極小值＝f(5)＝0.溫故知新，提出問題，，引導學生探究運用導數研究函數的極值。發(fā)展學生數學抽象、直觀想象、數學運算、數學建模的核心素養(yǎng)。通過特例，體會導數與函數極值之間的關系，發(fā)展學生直觀想象、數學抽象、數學運算和數學建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，幫助學生掌握運用導數求函數極值的一般方法，發(fā)展學生數學運算，直觀想象和數學抽象的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.函數f(x)的定義域為R，它的導函數y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結論錯誤的是()A．在(1，2)上函數f(x)為增函數B．在(3，4)上函數f(x)為減函數C．在(1，3)上函數f(x)有極大值D．x＝3是函數f(x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點D[由題圖可知，當1＜x＜2時，f′(x)＞0，當2＜x＜4時，f′(x)＜0，當4＜x＜5時，f′(x)＞0，∴x＝2是函數f(x)的極大值點，x＝4是函數f(x)的極小值點，故A，B，C正確，D錯誤．]2．設函數f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的極小值點D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當x＜－1時，f′(x)＜0；當x＞－1時，f′(x)＞0.故當x＝－1時，f(x)取得極小值．]3．已知函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．已知函數f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，則函數f(x)的極大值為______．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函數f(x)在(0，2e)單調遞增，在(2e，＋∞)單調遞減，故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。四、小結求可導函數y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力?！窘虒W反思】運用“問題探究式”“觀察發(fā)現式”“討論式”的教學方法，本節(jié)課在前一節(jié)所學利用導數求單調性的基礎上，引導學生通過生活實例、觀察圖象，自己探究歸納、總結出函數的極值定義及利用導數求極值的方法。讓學生主動地獲得知識，老師只是進行適當的引導，而不進行全部的灌輸。為突出重點，突破難點，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學法組織教學?！?.3.2函數的極值與最大(小)值》導學案（第一課時）【學習目標】1．了解函數極值的概念，會從函數圖象直觀認識函數極值與導數的關系.2．初步掌握求函數極值的方法．3．體會滲透在數學中的整體與局部的辯證關系．【重點和難點】重點：求函數極值難點：函數極值與導數的關系【知識梳理】1．極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝__，而且在點x＝a附近的左側__________，右側_______，就把點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，_____叫做函數y＝f(x)的極小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)極大值點與極大值若函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝__，而且在點x＝b附近的左側_________，右側_______，就把點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，______叫做函數y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統稱為______；極大值、極小值統稱為_____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);極值點;極值1．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)()A．無極大值點，有四個極小值點B．有三個極大值點，兩個極小值點C．有兩個極大值點，兩個極小值點D．有四個極大值點，無極小值點【學習過程】一、新知探究在用導數研究函數的單調性時，我們發(fā)現利用導數的正負可以判斷函數的增減。如果函數在某些點的導數為0，那么在這些點處函數有什么性質呢？探究1：觀察下圖，我們發(fā)現當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數h(t)在此點處的導數是多少？此點附件的函數圖象有什么特點？相應地，導數的正負有什么變化規(guī)律?對于一般的函數y=f(x)，是否具有同樣的性質？以a，b為例進行說明.探究2：觀察下圖，函數y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？y=f(x)在這些點處的導數值時多少？在這些點附近，函數y=f(x)導數的正負有什么規(guī)律？二、典例解析例5.求函數fx=問題1：函數的極大值一定大于極小值嗎？一般地，求函數y＝fx的極值的步驟1求出函數的定義域及導數f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一個；3用方程f′x＝0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，f′x，fx在每個區(qū)間內的變化情況列在同一個表格中；4由f′x在各個開區(qū)間內的符號，判斷fx在f′x＝0的各個根處的極值情況：如果左正右負，那么函數fx在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數fx在這個根處取得極小值；如果導數值在這個根左右兩側同號，那么這個根不是極值點.問題2：導數為0的點一定是極值點嗎？跟蹤訓練1求下列函數的極值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.【達標檢測】1.函數f(x)的定義域為R，它的導函數y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結論錯誤的是()A．在(1，2)上函數f(x)為增函數B．在(3，4)上函數f(x)為減函數C．在(1，3)上函數f(x)有極大值D．x＝3是函數f(x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點2．設函數f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的極小值點3．已知函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是________．4．已知函數f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，則函數f(x)的極大值為______．【課堂小結】求可導函數y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值．【參考答案】知識梳理1．C[設y＝f′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．]學習過程一、新知探究探究1：放大t=a附近函數h(t)的圖像,如圖，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，當t<a時，函數h(t)單調遞增，h't>0;當t>a時，函數h(t)單調遞減，h't<0.這就是說，在t=a附近，函數值先增（當t<a時，h't>0）后減（當t>a探究2：（1）函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在點附近其他點的函數值都小，而且在x=a點附近的左側f'（2）函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點附近其他點的函數值都大，而且在x=b點附近的左側f二、典例解析例5.解：因為fx=13f'x令f'x=當x變化時，f'x，因此，當x=-2時，fx有極大值，極大值為f-2當x=2時，fx有極小值，極小值為f2=-函數fx=問題2：[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點．所以，當f′(x0)＝0時，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點，還要看f′(x)在x0兩側的符號是否相反．跟蹤訓練1[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.當x變化時，y′，y的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗極大值↘極小值↗∴當x＝－1時，函數y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10；當x＝3時，函數y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當x變化時，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點；x＝3是y的極大值點，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點，y極小值＝f(5)＝0.達標檢測1.D[由題圖可知，當1＜x＜2時，f′(x)＞0，當2＜x＜4時，f′(x)＜0，當4＜x＜5時，f′(x)＞0，∴x＝2是函數f(x)的極大值點，x＝4是函數f(x)的極小值點，故A，B，C正確，D錯誤．]2．D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當x＜－1時，f′(x)＜0；當x＞－1時，f′(x)＞0.故當x＝－1時，f(x)取得極小值．]3．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函數f(x)在(0，2e)單調遞增，在(2e，＋∞)單調遞減，故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]故f(x)的極大值為f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第一課時）》基礎同步練習一、選擇題1．如圖是函數y＝f（x）的導數y＝f'（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在（﹣3，1）內f（x）是增函數B．在x＝1時，f（x）取得極大值C．在（4，5）內f（x）是增函數D．在x＝2時，f（x）取得極小值2．若函數可導，則“有實根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．當函數取極小值時，的值為（）A．B．C．D．4．若函數有小于零的極值點，則實數m的取值范圍是（）A．B．C．D．5．（多選題）已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數在上遞增，在上遞減C．函數的極值點為，D．函數的極大值為6．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．有且只有一個極值點B．設，則與的單調性相同C．有且只有兩個零點D．在上單調遞增二、填空題7．若函數在處取得極值，則________.8．已知函數，當時函數的極值為，則__________．9．設函數，若是的極大值點，則a取值范圍為____.10．已知函數在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，則極大值與極小值之差為__________．三、解答題11．求下列函數的極值．（1）；（2）；（3）．12．設函數，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（1）求a的值；（2）求函數極值．《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第一課時）》答案解析一、選擇題1．如圖是函數y＝f（x）的導數y＝f'（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在（﹣3，1）內f（x）是增函數B．在x＝1時，f（x）取得極大值C．在（4，5）內f（x）是增函數D．在x＝2時，f（x）取得極小值【答案】C【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數，A錯誤；對于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數，x＝1不是f（x）的極大值點，B錯誤；對于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數，C正確；對于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數，則在x＝2時f（x）取得極大值，D錯誤；故選：C．2．若函數可導，則“有實根”是“有極值”的（）．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，但在零點左側和右側都同時大于零或者小于零時在零點處無極值，但有極值則在極值處一定等于.所以“有實根”是“有極值”的必要不充分條件.故選：A3．當函數取極小值時，的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】即故選B．4．若函數有小于零的極值點，則實數m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由，得．因為函數有小于零的極值點，所以有小于零的實根，即有小于零的實根，∵，∴，∴．故選：B5．（多選題）已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A．B．函數在上遞增，在上遞減C．函數的極值點為，D．函數的極大值為【答案】ABD【詳解】解：由題圖知可，當時，，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對A，，故A錯誤；對B，函數)在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C，函數的極值點為，，故C正確；對D，函數的極大值為，故D錯誤.故選：ABD.6．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．有且只有一個極值點B．設，則與的單調性相同C．有且只有兩個零點D．在上單調遞增【答案】ACD【詳解】解：由題知，，，所以在上單調遞增，當時，；當時，，所以存在，使得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以有且只有一個極值點，故A正確；因為，所以，所以所以，故的一個極值點為，所以與的單調性不相同，故B錯誤；因為有且只有一個極值點，，且，所以在和上各有一個零點，所以有且只有兩個零點，故C正確；因為與在上都是單調遞增，所以在上單調遞增，D正確．故選：ACD．二、填空題7．若函數在處取得極值，則________.【答案】【詳解】由題意，函數，可得，因為是函數的極值點，可得，所以，解得.8．已知函數，當時函數的極值為，則__________．【答案】【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由題意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.9．設函數，若是的極大值點，則a取值范圍為____.【答案】【解析】的定義域為，由，得，所以.①若，由，得，當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，所以是的極大值點；②若，由，得或.因為是的極大值點，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是，故答案為.10．已知函數在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，則極大值與極小值之差為__________．【答案】4【詳解】求導得因為函數在取得極值，所以即，又因為圖象在處的切線與直線平行，所以即，聯立①②可得，當時，或；當時，∴函數的單調增區(qū)間是和，函數的單調減區(qū)間是，因此求出函數的極大值為，極小值為，故函數的極大值與極小值的差為．三、解答題11．求下列函數的極值．（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）因為，所以，令，即，解得或，當變化時，、的變化情況如下表：300增函數極大值減函數極小值增函數故當時，函數有極大值，，當時，函數有極小值，．（2）因為，定義域為，所以，令，解得或，當變化時，、的變化情況如下表：00減函數極小值增函數極大值減函數故當時，函數有極小值，，當時，函數有極大值，．（3）因為，所以，函數的定義域為，令，解得或（舍去），當時，，當時，，故當時，函數有極小值，，無極大值.12．設函數，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸（1）求a的值；（2）求函數極值．【詳解】（1）因，故由于曲線在點處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（2）由（1）知，令，解得（因不在定義域內，舍去）當時，故在上為減函數；當時，故在上為增函數，故在處取得極小值《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第一課時）》提高同步練習一、選擇題1．函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A．1個B．2個C．3個D．4個2．函數f(x)＝3x2＋lnx－2x的極值點的個數是()A．0B．1C．2D．無數個3．函數在上的極大值點為（）A．0B．C．D．4．已知函數的圖象與軸相切于點，則的極小值為（）A．B．C．D．5．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．有且僅有一個極值點B．有零點C．若的極小值點為，則D．若的極小值點為，則6．（多選題）已知，下列說法正確的是（）A．在處的切線方程為B．單調遞增區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個不同的解二、填空題7．已知函數f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時有極值0，則m＋n=________.8．已知三次函數的圖象如圖所示，則_____．9．已知函數在上存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________.10．在處取得極值，則______.三、解答題10．設x＝1與x＝2是函數f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數a和b的值；(2)判斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．12．已知函數．（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；（2）求函數在區(qū)間上的極值．《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第一課時）》答案解析一、選擇題1．函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】A【詳解】由導函數在內的圖象知：函數在開區(qū)間內有極小值點1個2．函數f(x)＝3x2＋lnx－2x的極值點的個數是()A．0B．1C．2D．無數個【答案】A【解析】，由得，方程無解，因此函數無極值點3．函數在上的極大值點為（）A．0B．C．D．【答案】C【詳解】函數的導數為，令得，又因為，所以，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以使得函數取得極大值的的值為，故選：C.4．已知函數的圖象與軸相切于點，則的極小值為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題知，由于函數的圖象與軸相切于點，則，解得，，，令，可得或，列表如下：極大值極小值所以，函數的極小值為.故選：A.5．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．有且僅有一個極值點B．有零點C．若的極小值點為，則D．若的極小值點為，則【答案】AC【詳解】由題意得，的定義域為，且，設，則，∴在上單調遞增，又，，存在唯一零點，設為，當時，單調遞減，當時，單調遞增，∴有唯一極小值點，故選項A正確．令，得，兩邊同時取對數可得．∴（當且僅當時等號成立），又，∴，即，∴無零點，故選項B錯誤．由，可設，則．當時，，∴在上單調遞減．∴，即，故選項C正確，選項D錯誤，故選：AC6．（多選題）已知，下列說法正確的是（）A．在處的切線方程為B．單調遞增區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個不同的解【答案】AC【詳解】解：因為，所以函數的定義域為，所以，，，∴的圖象在點處的切線方程為，即，故A正確；在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，故B錯誤，的極大值也是最大值為，故C正確；方程的解的個數，即為的解的個數，即為函數與圖象交點的個數，作出函數與圖象如圖所示：由圖象可知方程只有一個解，故D錯誤.故選：AC.二、填空題7．已知函數f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時有極值0，則m＋n=________.【答案】11【詳解】依題意可得，聯立可得或；當時函數，，所以函數在上單調遞增，故函數無極值，所以舍去；所以，所以.8．已知三次函數的圖象如圖所示，則________．【答案】【詳解】解：由題意得，，且，由題圖可知，是函數的極大值點，是極小值點，即，是的兩個根，由，解得：，∵，，∴．9．已知函數在上存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________.【答案】或【詳解】由題可知：，因為函數在上存在極值點，所以有解所以，則或當或時，函數與軸只有一個交點，即所以函數在單調遞增，沒有極值點，故舍去所以或，即或10．在處取得極值，則______.【答案】【詳解】解：由已知，因為在處取得極值，，，即，因為，，，即，．三、解答題11．設x＝1與x＝2是函數f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數a和b的值；(2)判斷x＝1，x＝2是函數f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．【詳解】(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由極值點的必要條件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，解方程組得，a＝，b＝.(2)由(1)可知f(x)＝lnxx2＋x，且函數f(x)＝lnxx2＋x的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＋1＝.當x∈(0,1)時，f′(x)＜0；當x∈(1,2)時，f′(x)＞0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＜0；所以，x＝1是函數f(x)的極小值點，x＝2是函數f(x)的極大值點．12．已知函數．（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；（2）求函數在區(qū)間上的極值．【詳解】解：（1）因為，所以，所以.因為在處的切線方程為.所以，解得.（2）因為，，所以，①當，即時，在恒成立，所以在單調遞增；所以在無極值；②當，即時，在恒成立，所以在單調遞減，所以在無極值；③當，即時，變化如下表：-0+單調遞減↘極小值單調遞增↗因此，的減區(qū)間為，增區(qū)間為．所以當時，有極小值為，無極大值.《5.3.2函數的極值與最大(小)值》教案（第二課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修二》第四章《數列》，本節(jié)課主要學習函數的極值與最大(小)值學生已經具有導數概念、導數幾何意義、導數計算、函數的單調性等相關的數學概念知識，對函數的單調性有一定的認識，對相應導數的內容也具有一定的儲備。函數的極值與最值是函數的一個重要性質。在學習運用導數判斷函數單調性的基礎上，研究和學習函數的極值與最值是導數的一個重要應用，注意培養(yǎng)學生數形結合思想、特殊到一般的研究方法，發(fā)展學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學運算核心素養(yǎng)。?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.了解函數最大（小）值的概念以及與函數極值的區(qū)別與聯系；B．掌握求函數最值的方法及其應用；C．體會數形結合、化歸轉化的數學思想．1.數學抽象：求函數最值的方法2.邏輯推理：函數極值與最值的關系3.數學運算：運用導數求函數的最值4.直觀想象：最值與極值的關系【教學重點和難點】重點：求函數最值的方法及其綜合應用難點：函數最大（小）值的概念以及與函數極值的區(qū)別與聯系【教學過程】教學過程教學設計意圖一、溫故知新1.求函數y=f(x)的極值的一般方法：解方程f'(x)=0.當f'(x0)=0時：如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0，那么f(x0)為極大值；如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0，那么f(x0)為極小值；二、探究新知我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質。也就是說，如果x0是函數y=f(x)的極大（?。┲迭c，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解決實際問題或研究函數性質時，我們往往更關注函數在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小，如果x0是某個區(qū)間上函數y=f(x)的最大（?。┲迭c，那么f(x0)不?。ù螅┯诤瘮祔=f(x)在此區(qū)間上所有的函數值。探究1：函數y=f(x)的在區(qū)間[a,b]的圖像，你能找出它的極大值、極小值嗎？極大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；極小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：那么f(x)在區(qū)間[a,b]的內最大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：觀察[a,b]上的函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在[a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)1．函數的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值與最小值．連續(xù)不斷問題1：函數的極值與最值的區(qū)別是什么？函數的最大值和最小值是一個整體性概念，最大（?。┲凳潜容^整個定義區(qū)間的函數值得出的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的，函數的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．2．求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的____；(2)將函數y＝f(x)的______與____處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是______，最小的一個是______．極值；各極值；端點；最大值；最小值1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點處取得．()(2)開區(qū)間上的單調連續(xù)函數無最值．()(3)在定義域內，若函數有最值與極值，則極大(小值就是最大(小)值．()(4)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則一定有最值；若可導，則最值點為極值點或區(qū)間端點．()解析：(1)函數在閉區(qū)間[a，b]上的最值可能在端點處取得，也可能在極值點處取得．(2)若單調函數有最值，則一定在區(qū)間端點處取得，但開區(qū)間上的單調連續(xù)函數在端點處無函數值，所以無最值，故正確．(3)因為y最大值≥y極值，y最小值≤y極值，故錯誤．(4)正確．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√三、典例解析例6:求fx解：因為y'=令y'=又因為f(0)=4,f(3)=1所以,當x=0時，函數f(x)在[0,3]上取得最大值4，當x=2時，函數f(x)在[0,3]上取得最小值-43求函數最值的著眼點1從極值點和端點處找最值,求函數的最值需先確定函數的極值，如果只是求最值，那么就不需要討論各極值是極大值還是極小值，只需將各極值和端點的函數值進行比較即可求出最大值和最小值.2單調區(qū)間取端點,當圖象連續(xù)不斷的函數fx在[a，b]上單調時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.跟蹤訓練1.求下列各函數的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當x變化時，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11從表中可以看出，當x＝－2時或x＝1時，函數f(x)取得最小值－1.當x＝－1或x＝2時，函數f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的兩個極值分別為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比較以上函數值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:給定函數f（1）判斷函數fx的單調性，并求出f（2）畫出函數fx（3）求出方程fx=a(a∈R解：（1）函數的定義域為x∈R因為f令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在區(qū)間-∞，-2上單調遞減，在區(qū)間-2，+∞上單調遞增。當x=-2時，fx（2）令fx=0，解得：當x<-1時，fx<0;當x>-1時，所以x的圖像經過特殊點A(-2,-1e2),B-1,0,C當x→-∞時，與一次函數相比，指數函數y=e-x呈爆炸性增長，從而y=當x→+∞時，fx→+∞根據以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的個數為函數y=fx的圖像與直線由（1）及圖可得，當x=-2時，有最小值f-2=-所以，方程fx=a當a<-1e當a=-1e2或當-

函數fx的圖像直觀地反映了函數fx的性質，通常可以按如下步驟畫出函數（1）求出函數fx（2）求導數f(x)'及函數f(x)（3）用零點將fx的定義域為若干個區(qū)間，列表給出f(x)'在各個區(qū)間上的正負，并得出（4）確定fx（5）畫出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?(2)瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小?解：由題意可知，每瓶飲料的利潤是y=fr=0.2×43所以f令f'r=當x∈(0,2)時，f'r<0;當x∈(2,6)時，因此，當半徑r>2時，f'fr單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r<2時，f'r（1）半徑為6cm時，利潤最大（2）半徑2cm時，利潤最小，這時f21．優(yōu)化問題生活中經常遇到求、、等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．解決優(yōu)化問題的基本思路利潤最大；用料最省；效率最高函數；導數跟蹤訓練2．請你設計一個帳篷．如圖所示，它的正視圖和側視圖都是由矩形和三角形構成的圖形，俯視圖是正六邊形及其中心與頂點的連線構成的圖形．試問：當帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？并求出最大體積．解：依題意，該帳篷的下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐，如圖所示．設帳篷的頂點為O，底面中心為O1，OO1為xm，帳篷的體積為V(x)m3，且1<x<4.由題設可得正六棱錐的底面邊長為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，則V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．當1<x<2時，V′(x)>0，V(x)為增函數；當2<x<4時，V′(x)<0，V(x)為減函數．所以當x＝2時，V(x)取得最大值，且最大值為V(2)＝16eq\r(3).綜上可得，當帳篷的頂點到底面中心的距離為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為16eq\r(3)m3.溫故知新，提出問題，，引導學生探究運用導數研究函數的最值。發(fā)展學生數學抽象、直觀想象、數學運算、數學建模的核心素養(yǎng)。通過特例，體會函數極值與最值之間的關系，發(fā)展學生直觀想象、數學抽象、數學運算和數學建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，幫助學生掌握運用導數求函數最值的一般方法，發(fā)展學生數學運算，直觀想象和數學抽象的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1．函數y＝eq\f(lnx,x)的最大值為()A．e－1B．eC．e2D．10A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0?x＝e.當x＞e時，y′＜0；當0＜x＜e時，y′＞0，所以y極大值＝e－1，因為在定義域內只有一個極值，所以ymax＝e－1.]2．設函數f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若對任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，則實數m的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．已知a是實數，函數f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①當eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時，f(x)在[0，2]上單調遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②當eq\f(2a,3)≥2，即a≥3時，f(x)在[0，2]上單調遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0.③當0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上單調遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上單調遞增，從而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．[解](1)由題設，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0≤x<5時，f′(x)<0，當5<x≤10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。四、小結求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）f(x)在(a,b)內導函數為零的點，并計算出其函數值；（2）將f(x)的各導數值為零的點的函數值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。【教學反思】運用“問題探究式”“觀察發(fā)現式”“討論式”的教學方法，本節(jié)課在前一節(jié)所學利用導數求單調性的基礎上，引導學生通過生活實例、觀察圖象，自己探究歸納、總結出函數的最值定義及利用導數求最值的方法。讓學生主動地獲得知識，老師只是進行適當的引導，而不進行全部的灌輸。為突出重點，突破難點，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學法組織教學。《5.3.2函數的極值與最大(小)值》導學案（第二課時）【學習目標】1．了解函數最大（?。┲档母拍钜约芭c函數極值的區(qū)別與聯系；2．掌握求函數最值的方法及其應用；3．體會數形結合、化歸轉化的數學思想．【重點和難點】重點：求函數最值的方法及其綜合應用難點：函數最大（小）值的概念以及與函數極值的區(qū)別與聯系【知識梳理】1.求函數y=f(x)的極值的一般方法：解方程f'(x)=0.當f'(x0)=0時：如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0，那么f(x0)為極大值；如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0，那么f(x0)為極小值；2．求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的____；(2)將函數y＝f(x)的______與____處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是______，最小的一個是______．極值；各極值；端點；最大值；最小值1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點處取得．()(2)開區(qū)間上的單調連續(xù)函數無最值．()(3)在定義域內，若函數有最值與極值，則極大(小值就是最大(小)值．()(4)若函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則一定有最值；若可導，則最值點為極值點或區(qū)間端點．()【學習過程】一、新知探究我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質。也就是說，如果x0是函數y=f(x)的極大（?。┲迭c，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解決實際問題或研究函數性質時，我們往往更關注函數在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小，如果x0是某個區(qū)間上函數y=f(x)的最大（小）值點，那么f(x0)不?。ù螅┯诤瘮祔=f(x)在此區(qū)間上所有的函數值。探究1：函數y=f(x)的在區(qū)間[a,b]的圖像，你能找出它的極大值、極小值嗎？探究2：那么f(x)在區(qū)間[a,b]的內最大值、最小值呢?探究3：觀察[a,b]上的函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們在[a,b]上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？1．函數的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值與最小值．連續(xù)不斷問題1：函數的極值與最值的區(qū)別是什么？二、典例解析例6:求fx求函數最值的著眼點1從極值點和端點處找最值,求函數的最值需先確定函數的極值，如果只是求最值，那么就不需要討論各極值是極大值還是極小值，只需將各極值和端點的函數值進行比較即可求出最大值和最小值.2單調區(qū)間取端點,當圖象連續(xù)不斷的函數fx在[a，b]上單調時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.跟蹤訓練1.求下列各函數的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).例7:給定函數f（1）判斷函數fx的單調性，并求出f（2）畫出函數fx（3）求出方程fx=a(a∈R函數fx的圖像直觀地反映了函數fx的性質，通?？梢园慈缦虏襟E畫出函數（1）求出函數fx（2）求導數f(x)'及函數f(x)（3）用零點將fx的定義域為若干個區(qū)間，列表給出f(x)'在各個區(qū)間上的正負，并得出（4）確定fx（5）畫出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?(2)瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小?1．優(yōu)化問題生活中經常遇到求、、等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．利潤最大；用料最?。恍首罡?．解決優(yōu)化問題的基本思路函數；導數跟蹤訓練2．請你設計一個帳篷．如圖所示，它的正視圖和側視圖都是由矩形和三角形構成的圖形，俯視圖是正六邊形及其中心與頂點的連線構成的圖形．試問：當帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？并求出最大體積．【達標檢測】1．函數y＝eq\f(lnx,x)的最大值為()A．e－1B．eC．e2D．102．設函數f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若對任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，則實數m的取值范圍是________．3．已知a是實數，函數f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．4.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．【課堂小結】求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）f(x)在(a,b)內導函數為零的點，并計算出其函數值；（2）將f(x)的各導數值為零的點的函數值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．【參考答案】知識梳理1．解析：(1)函數在閉區(qū)間[a，b]上的最值可能在端點處取得，也可能在極值點處取得．(2)若單調函數有最值，則一定在區(qū)間端點處取得，但開區(qū)間上的單調連續(xù)函數在端點處無函數值，所以無最值，故正確．(3)因為y最大值≥y極值，y最小值≤y極值，故錯誤．(4)正確．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√學習過程一、新知探究探究1：極大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；極小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)問題1：函數的最大值和最小值是一個整體性概念，最大（?。┲凳潜容^整個定義區(qū)間的函數值得出的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的，函數的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．二、典例解析例6:解：因為y'=令y'=又因為f(0)=4,f(3)=1所以,當x=0時，函數f(x)在[0,3]上取得最大值4，當x=2時，函數f(x)在[0,3]上取得最小值-43跟蹤訓練1.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當x變化時，f′(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11從表中可以看出，當x＝－2時或x＝1時，函數f(x)取得最小值－1.當x＝－1或x＝2時，函數f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的兩個極值分別為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比較以上函數值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:解：（1）函數的定義域為x∈R因為f令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在區(qū)間-∞，-2當x=-2時，fx有極小值f-2=-（2）令fx=0，解得：當x<-1時，fx<0;當x>-1時，所以fx的圖像經過特殊點A(-2,-1e2),B-1,0當x→-∞時，與一次函數相比，指數函數y=e-x呈爆炸性增長，從而y=當x→+∞時，fx→+∞根據以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的個數為函數y=fx的圖像與直線由（1）及圖可得，當x=-2時，有最小值f-2=-所以，方程fx=a當a<-1e當a=-1e2或當-

例8.解：由題意可知，每瓶飲料的利潤是y=fr=0.2×43所以f令f'r=當x∈(0,2)時，f'r<0;當x∈(2,6)時，因此，當半徑r>2時，f'fr單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r<2時，f'r（1）半徑為6cm時，利潤最大（2）半徑2cm時，利潤最小，這時f2跟蹤訓練2．解：依題意，該帳篷的下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐，如圖所示．設帳篷的頂點為O，底面中心為O1，OO1為xm，帳篷的體積為V(x)m3，且1<x<4.由題設可得正六棱錐的底面邊長為eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，則V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．當1<x<2時，V′(x)>0，V(x)為增函數；當2<x<4時，V′(x)<0，V(x)為減函數．所以當x＝2時，V(x)取得最大值，且最大值為V(2)＝16eq\r(3).綜上可得，當帳篷的頂點到底面中心的距離為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為16eq\r(3)m3.達標檢測1．A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0?x＝e.當x＞e時，y′＜0；當0＜x＜e時，y′＞0，所以y極大值＝e－1，因為在定義域內只有一個極值，所以ymax＝e－1.]2．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①當eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時，f(x)在[0，2]上單調遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②當eq\f(2a,3)≥2，即a≥3時，f(x)在[0，2]上單調遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0.③當0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上單調遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上單調遞增，從而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.[解](1)由題設，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0≤x<5時，f′(x)<0，當5<x≤10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第二課時）》基礎同步練習一、選擇題1．在[0，3]上的最大值，最小值分別是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－162．已知函數，若在定義域內存在，使得不等式成立，則實數m的最小值是（）A．2B．C．1D．3．函數在內有最小值，則的取值范圍為()A．B．C．D．4．已知函數無零點，則實數a的取值范圍為（）A．B．C．D．5．（多選題）如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為（）A．B．C．D．6．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．若，則函數沒有極值B．若，則函數有極值C．若函數有且只有兩個零點，則實數a的取值范圍是D．若函數有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是二、填空題7．若函數在區(qū)間上有最小值，則實數的取值范圍是_____.8．已知是奇函數，當時，，當時，的最小值為1，則a=________.9.已知函數,,若對任意都存在使成立,則實數的取值范圍是______.10．已知，直線與函數的圖象在處相切，設，若在區(qū)間上，不等式恒成立，則實數的最大值是_______.三、解答題11．已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．12．已知函數，.（1）若在上的最大值為，求實數的值；（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍.《5.3.2函數的極值與最大(小)值（第二課時）》答案解析一、選擇題1．在[0，3]上的最大值，最小值分別是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16【答案】A【詳解】，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴的極小值為，也是最小值，，的最大值、最小值分別為、.故選：A.2．已知函數，若在定義域內存在，使得不等式成立，則實數m的最小值是（）A．2B．C．1D．【答案】C【詳解】函數的定義域為，.令，得或（舍）.當時，；當時，.所以當時，取得極小值，也是最小值，且最小值為1.因為存在，使得不等式成立，所以，所以實數m的最小值為1.故選：C3．函數在內有最小值，則的取值范圍為()A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵函數f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）內有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上單調遞增，f（x）在x=0處取得最小值，顯然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，當x＞，f（x）為增函數，0＜x＜為減函數，f（x）在x=處取得極小值，也是最小值，所以極小值點應該在（0，1）內，符合要求．綜上所述，a的取值范圍為（0，1），故答案為B4．已知函數無零點，則實數a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：因為函數無零點，所以方程在上無解，即在上無解，令，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以時，函數有唯一的極小值，也是最小值．，所以．若無解，則．故選：B．5．（多選題）如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為的半球，下面大圓剛好與高度為的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】令上部分的半球半徑為，可得，解得，設小圓錐的底面半徑為，小圓錐底面中心到球心距離為，可知，，和可構成直角三角形，即，小圓錐體積．令，則，可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，最大，，即，即ABC三個選項都滿足題意．故選：ABC.6．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（）A．若，則函數沒有極值B．若，則函數有極值C．若函數有且只有兩個零點，則實數a的取值范圍是D．若函數有且只有一個零點，則實數a的取值范圍是【答案】ABD【詳解】由題意得，函數的定義域為，且，當時，恒成立，此時單調遞減，沒有極值，又當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，∴有且只有一個零點，當時，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，當時，取得極小值，同時也是最小值，∴，當x趨近于0時，趨近于，趨近于，當x趨近于時，趨近于，當，即時，有且只有一個零點；當，即時，有且僅有兩個零點，綜上可知ABD正確，C錯誤．故選：ABD．二、填空題7．若函數在區(qū)間上有最小值，則實數的取值范圍是______.【答案】【詳解】，當或時，，當時，，∴是函數的極小值點．∵函數在區(qū)間上有最小值，即為極小值．∴，解得．8．已知是奇函數，當時，，當時，的最小值為1，則a=________.【答案】1【詳解】是奇函數，時，的最小值為1，在上的最大值為，當時，，令得，又，，令，則，在上遞增；令，則，在，上遞減，，，得．9．已知函數,,若對任意都存在使成立,則實數的取值范圍是______.【答案】【詳解】對任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此時，，所以，因此將問題轉