專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)等差數(shù)列與等比數(shù)列(建議用時(shí)：45分鐘)1．(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，則a9的值是________．20[法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡(jiǎn)得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝10，所以a3＝2.所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，化簡(jiǎn)得aeq\o\al(2,2)＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]2．(2016·蘇北三市三模)已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S5,S3)＝3，則eq\f(a5,a3)的值為________．eq\f(17,9)[∵{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，故S5＝5a3，S3＝3a2.又eq\f(S5,S3)＝3，∴5a3＝9a2，∴a2＝eq\f(5,4)d.∴eq\f(a5,a3)＝eq\f(a2＋3d,a2＋d)＝eq\f(\f(5,4)d＋3d,\f(5,4)d＋d)＝eq\f(17,9).]3．(2016·蘇北四市摸底)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，則a74[∵{an}是等比數(shù)列，∴a3a5＝aeq\o\al(2,4)，由aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)得a4＝2，又a1＝1，∴q3＝2，∴a7＝a4q3＝2×2＝4.]4．若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8－S3＝20，則S11的值為________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592036】44[由S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，解得a6＝4，又由S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(11×2a6,2)＝11a6＝44.]5．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k＝________.－1[依題意得，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，則62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1.]6．(2015·江蘇高考)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))前10項(xiàng)的和為______．eq\f(20,11)[由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).∴S10＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).]7．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.1[法一：設(shè){an}的公差為d，則a3＋3＝a1＋1＋2d＋2，a5＋5＝a1＋1＋4d＋4，由題意可得(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)．∴[(a1＋1)＋2(d＋1)]2＝(a1＋1)[(a1＋1)＋4(d＋1)]，∴(a1＋1)2＋4(d＋1)(a1＋1)＋[2(d＋1)]2＝(a1＋1)2＋4(a1＋1)(d＋1)，∴d＝－1，∴a3＋3＝a1＋1，∴公比q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝1.法二：∵{an}成等差數(shù)列，1,3,5也成等差數(shù)列，∴a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差數(shù)列，又a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等比數(shù)列，故a1＋1，a3＋3，a5＋5為非零常數(shù)列，故公比q＝1.]8．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2014，其前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2014＝________.－2014[∵eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，∴eq\f(\f(12a1＋a12,2),12)－eq\f(\f(10a1＋a10,2),10)＝2，故a12－a10＝4，∴2d＝4，d＝2，∴S2014＝2014a1＋eq\f(2014×2013,2)×d＝－20142＋eq\f(2014×2013,2)×2＝－2014.]9．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,3n)))為等差數(shù)列，則λ＝________.2[記bn＝eq\f(an＋λ,3n)，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，變形為3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，這個(gè)式子對(duì)大于1的所有正整數(shù)n都成立．由于{bn}是等差數(shù)列，bn－bn－1是常數(shù)，所以bn－bn－1－1＝0，－2λ＋4＝0，可得λ＝2.]10．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝________.4[依題意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.]11．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8>0且S9<0，則當(dāng)Sn最大時(shí)n的值是________．4[由題意知eq\f(a1＋a8,2)＝eq\f(a4＋a5,2)>0，eq\f(a1＋a9,2)＝eq\f(2a5,2)<0，所以a4>0，a5<0，所以數(shù)列的前4項(xiàng)和最大．]12．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，9x,12y,15z成等比數(shù)列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值是________．eq\f(34,15)[由9x,12y,15z成等比數(shù)列，可得(12y)2＝9x×15z，即144y2＝135xz,16y2＝15xz，又eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(2,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)，化簡(jiǎn)得x＋z＝eq\f(2xz,y)，平方得x2＋z2＝eq\f(64,15)xz－2xz＝eq\f(34,15)xz，而所求eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(x2＋z2,xz)＝eq\f(\f(34,15)xz,xz)＝eq\f(34,15).]13．(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研二)設(shè)公差為d(d為奇數(shù)，且d>1)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－9，Sm＝0，其中m>3，且m∈N*，則an＝________.3n－12[∵Sm＝eq\f(ma1＋am,2)＝0，∴a1＋am＝0.又Sm－1＝eq\f(m－1a1＋am－1,2)＝－9，∴(m－1)d＝18.又am＝Sm－Sm－1＝9，由a1＋(m－1)d＝9得a1＝－9.又m>3，且d為奇數(shù)，d>1，由(m－1)d＝18可知d＝3或9，若d＝3，則m＝7，合題意，若d＝9，則m＝3，舍去，故d＝3，m＝7.∴a7＝9，an＝a7＋(n－7)×3＝9＋3n－21＝3n－12.]14．(2016·常州期末)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＋a2＝eq\f(4,9)，a3＋a4＋a5＋a6＝40，則eq\f(a7＋a8＋a9,9)的值為________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592037】117[∵{an}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a3＋a4＝(a1＋a2)q2，a5＋a6＝(a1＋a2)q4，∴a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2)(q2＋q4)＝40，即eq\f(4,9)(q2＋q4)＝40，解得q2＝9.又q>0，∴q＝3，由a1＋a2＝eq\f(4,9)得a1＝eq\f(1,9)，∴eq\f(a7＋a8＋a9,9)＝eq\f(\f(1,9)q6＋q7＋q8,9)＝eq\f(36＋37＋38,81)＝117.]15．(2016·南京一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an>0，若S6－2S3＝5，則S9－S6的最小值為________．20[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q>0且q≠1.由S6－2S3＝5可知，eq\f(a1q6－1,q－1)－eq\f(2a1q3－1,q－1)＝5，∴eq\f(a1q3－12,q－1)＝5，∴q>1.則S9－S6＝eq\f(a1q9－1,q－1)－eq\f(a1q6－1,q－1)＝eq\f(a1q6q3－1,q－1)＝eq\f(5q6,q3－1)＝5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(q3－1＋\f(1,q3－1)))＋10≥5×2eq\r(q3－1·\f(1,q3－1))＋10＝20，當(dāng)且僅當(dāng)q3＝2，即q＝eq\r(3,2)時(shí)取等號(hào)．∴S9－S6的最小值為20.]16．(2013·江蘇高考)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3，則滿足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．12[設(shè){an}的公比為q(q＞0)，則由已知可得eq\b\lc\{\rc\