開封市2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線的方向向量求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D2.設(shè)隨機(jī)變量，，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性可求答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：B.3.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長為（）A.10 B.16 C.20 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由圖形結(jié)合橢圓定義可得答案.【詳解】設(shè)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，由題可得，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長為.故選：C4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故A錯(cuò)誤；對于B，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故B錯(cuò)誤；對于C，假設(shè)向量共面，則，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，故C正確；對于D，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．已知，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的是（）A.變量與獨(dú)立B.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05C.變量與不獨(dú)立D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05【答案】A【解析】【分析】根據(jù)作出判斷.【詳解】由于，故變量與獨(dú)立，A正確，BCD均錯(cuò)誤.故選：A6.已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A7.已知函數(shù)的極小值為，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用極小值可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，沒有極值.當(dāng)時(shí)，由得；時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，有極小值，，解得.故選：C.8.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得.【詳解】，，，……以此類推，.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下表是2022年某市1～5月份新能源汽車銷量（單位：千輛）與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，月份12345銷量55668由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.B.與正相關(guān)C.由線性回歸方程估計(jì)，月份每增加1個(gè)月，銷量平均增加0.7千輛D.由已知數(shù)據(jù)可以確定，6月份該市新能源汽車銷量一定為8.1千輛【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)利用樣本中心在回歸直線方程上即可判斷；對于利用線性回歸方程即可判斷；對于利用線性回歸方程的意義即可判斷.【詳解】由得樣本中心坐標(biāo)，代入，得，解得故A正確；由線性回歸方程的系數(shù)是，知與正相關(guān)，且月份每增加1個(gè)月，銷量平均增加0.7千輛，故、正確；線性回歸方程只能預(yù)測趨勢，不能確定銷量，故錯(cuò)誤.故選：.10.若圓錐曲線，且的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則（）A.B.的離心率C.為雙曲線，且漸近線方程為D.與的交點(diǎn)在直線上【答案】BD【解析】【分析】由題可得的焦點(diǎn)為.則圓錐曲線為雙曲線，可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)為，則圓錐曲線為雙曲線，且，則.故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A分析可知，，故B正確；C選項(xiàng)，由A分析可知漸進(jìn)線方程為：，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，聯(lián)立，方程有，由可知，則，即與的交點(diǎn)在直線上，故D正確.故選：BD11.已知平行六面體中，，與的交點(diǎn)為，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底法相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行圖形關(guān)系運(yùn)算與模的運(yùn)算.【詳解】如下圖所示，，故A正確，B錯(cuò)誤；由平方得，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC12.人類的四種血型與基因類型的對應(yīng)為：型的基因類型為，型的基因類型為或，型的基因類型為或，型的基因類型為，其中，和是顯性基因，是隱性基因．則下列說法正確的是（）A.若父母的血型不相同，則父母血型的基因類型組合有18種B.若父母的血型不相同，則父母血型的基因類型組合有26種C.若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，孩子與父親血型相同的概率為D.若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，孩子與父親血型相同的概率為【答案】BC【解析】【分析】若父母的血型不相同，列出所有情況算數(shù)即可判斷A，B；若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，可得父親的基因類型及計(jì)算出相應(yīng)概率，再根據(jù)父親、母親的基因類型可得孩子的基因類型及計(jì)算出相應(yīng)概率，進(jìn)而可判斷C，D.【詳解】若父母的血型不相同，當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，，共5種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，，共5種，所以父母血型的基因類型組合有種，故A錯(cuò)誤，B正確；若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，即基因類型為，則父親血型的基因類型可能是，，，其對應(yīng)的概率分別為，，，當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；綜上，若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，孩子與父親血型相同的概率為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______.【答案】【解析】【分析】寫出通項(xiàng)公式，給r賦值即可得出．【詳解】的通項(xiàng)公式為：Tr+1（1）rx6﹣2r．令6﹣2r＝0解得r＝3，∴（1）320，所以常數(shù)項(xiàng)為20．故答案為20．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，寫出通項(xiàng)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.已知為等比數(shù)列前項(xiàng)的和，且，則______．【答案】【解析】【分析】先求出，設(shè)出公比，得到方程，求出，從而得到首項(xiàng)，利用求和公式求出答案.【詳解】由可得，設(shè)公比為，則，解得，則，則.故答案為：15.在端午節(jié)假期間，某單位要安排某科室的3名男職工和2名女職工進(jìn)行3天假期值班（分白班和夜班，每班1名職工），其中女職工不值夜班，男職工可以值白班和夜班，且每個(gè)人至少要值一次班，則不同的安排方法共有______種（用數(shù)字作答）．【答案】252【解析】【分析】分類討論白班是否有男職工，結(jié)合間接法以及分步乘法計(jì)算原理運(yùn)算求解.【詳解】1.若白班均為女職工，則不同的安排方法共有種，可知晚班均為男職工，則不同的安排方法共有種，則不同的安排方法共有種；2.若白班有男職工，則不同的安排方法共有種，①當(dāng)值白班的男職工不值晚班時(shí)，則不同的安排方法共有種；②當(dāng)值白班的男職工也值晚班時(shí)，則不同的安排方法共有種；則不同的安排方法共有種；綜上所述：不同的安排方法共有種.故答案為：252.16.已知函數(shù)，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，又由，，可得在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)最大值為，即函數(shù)的最大值為.故答案．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出線段AB的中垂線方程與直線l的方程聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即得圓標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用一般方程求解．（2）設(shè)出直線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求得參數(shù)值，得切線方程．小問1詳解】的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線方程為，由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解之得所以圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【小問2詳解】設(shè)所求直線方程為，圓心到直線的距離，所以，即，所以所求直線方程為．18.已知等差數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，求的最小值及取得最小值時(shí)的值．【答案】（1）（2）取6或7，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式,帶入求得首項(xiàng).由遞推可得作差即可得等差數(shù)列的公差,即可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）先求得等差數(shù)列的前項(xiàng)和,可得的通項(xiàng)公式,即可求最小值.小問1詳解】由已知為等差數(shù)列，記其公差為，①當(dāng)時(shí)，所以兩式相減可得,②當(dāng)時(shí)，，所以．所以，．【小問2詳解】，所以，當(dāng)取與最接近的整數(shù)6或7時(shí)，最小，最小值為—21．19.某商場進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，一次性消費(fèi)5000元以上的顧客可以進(jìn)行線上抽獎(jiǎng)，游戲規(guī)則如下：盒中初始裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球．每次從盒中有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪，如果某輪取到的兩個(gè)球都是紅球，則記該輪中獎(jiǎng)并停止抽球；否則，在盒中再放入一個(gè)白球，然后進(jìn)行下一輪抽球，如此進(jìn)行下去，最多進(jìn)行三輪．已知顧客甲獲得了抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．（1）記甲進(jìn)行抽球的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）按照三輪中獎(jiǎng)概率由小到大分別發(fā)放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金額的期望．【答案】（1）的分布列為：123（2）100元【解析】【分析】（1）（2）綜合應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的知識(shí)即可求得結(jié)果.【小問1詳解】依題意，的取值可能為1，2，3，則，，，所以的分布列為：123【小問2詳解】記甲抽取代金券的金額為隨機(jī)變量，的取值可能為200，500，1500，0，則，，，，所以，所以甲抽取代金券金額的期望為100元．20.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，側(cè)棱底面，四棱錐的體積為，的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等體積法即可求解；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系求解.【小問1詳解】四棱錐的體積為，底面是菱形，所以三棱錐的體積為，設(shè)到平面的距離為，所以，．【小問2詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)閭?cè)棱底面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，．如圖，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，平面，，所以，則，，，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即,取，則平面的一個(gè)法向量為．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．21.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，為線段的中點(diǎn)（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線，與圓相交于兩點(diǎn)，與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1）點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為（2）或【解析】【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法求解點(diǎn)的軌跡方程，得到點(diǎn)的軌跡為橢圓；（2）考慮直線的斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，利用垂徑定理得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，由弦長公式求出，從而列出方程，求出答案.【小問1詳解】點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，因在圓上，所以，可得，即，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓?！拘?詳解】若直線斜率不存在，則，將代入中，解得，則，將代入中，解得，則，而，舍去；若直線的斜率存在，設(shè)為，則，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離