2024屆內蒙古自治區(qū)北京八中烏蘭察布分校數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線上一動點到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點，是坐標原點，則的內切圓半徑為A． B． C． D．2．已知集合，，則=（）A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．5．設函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知，用數(shù)學歸納法證明時，從假設推證成立時，需在左邊的表達式上多加的項數(shù)為（）A． B． C． D．17．已知函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，當時，，則的解集時（）A． B．C． D．9．在中，若，則自然數(shù)的值是（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知復數(shù)，為的共軛復數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．11．（）A．1 B． C． D．12．已知分別為內角的對邊，且成等比數(shù)列，且，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為__________．14．已知向量，，若與垂直，則實數(shù)__________．15．已知曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為______.16．設隨機變量的分布列（其中），則___．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的一個零點是．（1）求實數(shù)的值；（2）設，若，求的值域．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）在直角坐標系中直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：.（1）求直線的普通方程及曲線直角坐標方程；（2）若曲線上的點到直線的距離的最小值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準線的距離轉化為到焦點的距離，到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當三點共線時取最小值．所以，解得，由內切圓的面積公式，解得．故選D．2、B【解題分析】

利用集合的基本運算定義即可求出答案【題目詳解】已知集合，，利用集合的基本運算定義即可得：答案：B【題目點撥】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題3、A【解題分析】由題意，循環(huán)依次為，，所以可能取值的集合為，故選A.4、D【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，確定內層函數(shù)的單調性，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性得出答案．【題目詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，故選D．【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調性和應用、復合函數(shù)的單調性、二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．5、A【解題分析】試題分析：函數(shù)定義域是，，，設，則，設，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調遞增，又，因此是的唯一零點，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個零點，則，．故選B．考點：函數(shù)的零點，用導數(shù)研究函數(shù)的性質．【名師點睛】本題考查函數(shù)的零點的知識，考查導數(shù)的綜合應用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負與零點，又要對求導，得，此時再研究其分子，于是又一次求導，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時多次求導，考查了學生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．6、B【解題分析】

分別計算和時的項數(shù)，相減得到答案.【題目詳解】時，，共有項.時，，共有項.需在左邊的表達式上多加的項數(shù)為：故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)學歸納法，意在考查學生的計算能力.7、B【解題分析】

先求出導函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當時，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當時，則在恒成立，則函數(shù)在上單調遞增，當時，，故不可能恒有；（3）當時，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，對任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調遞增，在上單調遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。8、A【解題分析】

對的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達式，解不等式即可．【題目詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，所以當，即：時，，當，即：時，可化為：，解得：.當，即：時，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，解得：所以的解集是故選A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應用，還考查了分類思想及計算能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】

利用二項式的通項公式求出的表達式,最后根據(jù),解方程即可求出自然數(shù)的值.【題目詳解】二項式的通項公式為：,因此,,所以,解得.故選B.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用,考查了數(shù)學運算能力.10、D【解題分析】試題分析：,故選D.考點：1.復數(shù)的運算；2.復數(shù)相關概念.11、D【解題分析】

根據(jù)微積分基本原理計算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了定積分，意在考查學生的計算能力.12、C【解題分析】因為成等比數(shù)列，所以,利用正弦定理化簡得：,又，所以原式=所以選C.點睛：此題考察正弦定理的應用，要注意求角度問題時盡量將邊的條件轉化為角的等式，然后根據(jù)三角函數(shù)間的關系及三角形內角和的關系進行解題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

先求出函數(shù)的導數(shù)，在閉區(qū)間上，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，然后與進行比較，求出最大值.【題目詳解】，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以是函數(shù)的極大值點，即，，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為3.【題目點撥】本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最大值問題.解決此類問題的關鍵是在閉區(qū)間上先利用導數(shù)求出極值，然后求端點的函數(shù)值，最后進行比較，求出最大值.14、-1【解題分析】

由題意結合向量垂直的充分必要條件得到關于k的方程，解方程即可求得實數(shù)k的值.【題目詳解】由平面向量的坐標運算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【題目點撥】本題主要考查向量的坐標運算，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、【解題分析】

由題意可得直線的斜率為，再由垂直可得曲線在處的切線斜率為，對曲線求導令導函數(shù)為可得的值.【題目詳解】解：直線的斜率為,可得曲線在處的切線為，，當，，可得，可得，故答案：.【題目點撥】本題考查了直線與直線的垂直關系及導函數(shù)的幾何意義的應用、導數(shù)的計算，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據(jù)概率和為列方程，解方程求得的值.【題目詳解】依題意，解得.故填【題目點撥】本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)a=1;(2).【解題分析】

分析：（1）令即可求得結果；（2）將原解析式代入，結合二倍角公式、輔助角公式等求得，將x的范圍帶入解析式，結合三角函數(shù)圖像的性質即可求出值域.【題目詳解】：（Ⅰ）依題意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得當即時，取得最大值2，當即時，取得最小值-1.所以的值域是【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當經(jīng)典解答本題，關鍵在于能利用三角函數(shù)的公式化簡函數(shù)、進一步討論函數(shù)的性質，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等.18、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）求導，利用函數(shù)單調性證明即可．（2）分類討論和,構造函數(shù),討論的性質即可得到a的范圍．詳解：（1）當時，，.設函數(shù)，則.當時，；當時，.故當時，，且僅當時，，從而，且僅當時，.所以在單調遞增.又，故當時，；當時，.（2）（i）若，由（1）知，當時，，這與是的極大值點矛盾.（ii）若，設函數(shù).由于當時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點..如果，則當，且時，，故不是的極大值點.如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點.如果，則.則當時，；當時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.點睛：本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，利用函數(shù)的單調性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當時構造函數(shù)時關鍵，討論函數(shù)的性質，本題難度較大．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【題目詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設平面的法向量為，由，，得，不妨設，得.又，，所以.設與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】用向量法求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、和三種情況下討論，去掉絕對值求得結果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：且；利用絕對值三角不等式求得，解不等式求得結果.【題目詳解】（Ⅰ）當時，不等式為當時，，解得：；當時，，顯然不等式不成立；當時，則，解得：綜上可得，不等式的解集為：或（Ⅱ）不等式的解集不是空集，則，且，即又，解得：實數(shù)的取值范圍是【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法、絕對值三角不等式求最值、恒成立思想的應用等知識，關鍵是能夠將不等式解集不是空集轉化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較，從而利用絕對值三角不等式求得最值，屬于?？碱}型.21、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.【解題分析】

(1)直接利用參數(shù)方程和極坐標方程公式得到答案.(2)計算圓心到直線的距離，判斷相離，再利用公式得到答案.【題目詳解】解：（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為（2）曲線的圓心到直線的距離所以直線與圓相離，則曲線上的點到直線的距離的最小值為【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程和極坐標方程，將圓上的