X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1引言XX第2

頁系統(tǒng)數學模型的時域表示

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。

本章中我們主要討論輸入、輸出描述法。XX第3

頁系統(tǒng)分析過程

經典法:前面電路分析課里已經討論過，但與

(t)有關的問題有待進一步解決——h(t)；

卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過沖激響應來求。(新方法)

XX第4

頁本章主要內容線性系統(tǒng)完全響應的求解；沖激響應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質；零狀態(tài)響應：。

X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.2微分方程式的

建立與求解X第6

頁主要內容物理系統(tǒng)的模型

微分方程的列寫

n階線性時不變系統(tǒng)的描述

求解系統(tǒng)微分方程的經典法

復習求解系統(tǒng)微分方程的經典法X第7

頁一．物理系統(tǒng)的模型許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數微分方程來描述。XX第8

頁二．微分方程的列寫根據實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。網絡拓撲約束：由網絡結構決定的電壓電流約束關系,KCL，KVL。

XX第9

頁例2-2-1電感

電阻

電容

根據KCL

代入上面元件伏安關系，并化簡有這是一個代表RCL并聯電路系統(tǒng)的二階微分方程。求并聯電路的端電壓與激勵間的關系。

a

b

(

)

t

i

sR

R

i

L

L

i

C

c

i

+

-

(

)

t

v

X第10

頁三．n階線性時不變系統(tǒng)的描述

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應信號之間的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述

若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數，此方程為常系數的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數決定。

X第11

頁四．求解系統(tǒng)微分方程的經典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經典法就是：齊次解+特解。

X第12

頁齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式

注意重根情況處理方法。

特解：根據微分方程右端函數式形式，設含待定系數的特解函數式→代入原方程，比較系數定出特解。

經典法全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解

。自由響應：由系統(tǒng)自身特性決定的響應。強迫響應：由激勵信號決定的響應。固有頻率：特征方程的根X第13

頁幾種典型激勵函數相應的特解激勵函數e(t)響應函數r(t)的特解XX第14

頁例2-2-2系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為X第15

頁例2-2-3

如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式為使等式兩端

平衡，試選特解函數式

將此式代入方程得到

X第16

頁等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有

聯解得到

所以，特解為

XX第17

頁

這里，B是待定系數。代入方程后有：

(2)XX第18

頁

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件

初始條件的確定是此課程要解決的問題。

第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.3起始點的跳變---從0—到0+

狀態(tài)的轉換起始狀態(tài)初始狀態(tài)沖激函數匹配法確定初始條件

XX第20

頁一．起始點的跳變響應區(qū)間：激勵信號加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間一般在t=0時刻加入，響應區(qū)間為X第21

頁當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數項。

說明一般情況下換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，狀態(tài)就會發(fā)生跳變。

X第22

頁例2-3-1

X第23

頁根據電路形式，列回路方程

列結點電流方程

(1)（1）列寫電路的微分方程X第24

頁(2)求系統(tǒng)的完全響應系統(tǒng)的特征方程

特征根齊次解

代入式(1)方程右端自由項為要求系統(tǒng)的完全響應為

特解

XX第25

頁(3)換路前X第26

頁因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變,X第27

頁(4)求得要求的完全響應為XX第28

頁配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

二．沖激函數匹配法確定初始條件該過程可借助數學描述XX第29

頁在中時刻有

分析中的

表示到的相對跳變函數，所以，X第30

頁數學描述設則代入方程得出所以得即即X第31

頁例2-3-2（即例2-3-1）（1）將e(t)代入微分方程，t≥0得X第32

頁(2)方程右端的沖激函數項最高階次是，因而有代入微分方程X第33

頁求得因而有X第34

頁解微分方程的流程圖將元件電壓電流關系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程將聯立微分方程化為一元高階微分方程齊次解Aeat(系數A待定）特解查表2-2完全解=齊次解+特解(A待定）給定系統(tǒng)0-狀態(tài)求出對應0+狀態(tài)已定系數A的完全解——系統(tǒng)的完全響應

第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.4零輸入響應和零狀態(tài)響應零輸入響應

零狀態(tài)響應對系統(tǒng)線性的進一步認識

X第36

頁一．零輸入響應與零狀態(tài)響應先看一個實例例2-4-1已知電容兩端起始電壓vc(0-)

激勵源為e(t),求t>0時系統(tǒng)響應vc(t)e(t)vc(0-)-

R

+

+

-

+

-

vc(t)微分方程為XX第37

頁XX第38

頁系統(tǒng)的完全響應可以看作由外加激勵源和起始狀態(tài)共同作用的結果。系統(tǒng)的完全響應=零狀態(tài)響應

+零輸入響應

線性系統(tǒng)具有疊加性X第39

頁一般情況，設系統(tǒng)是線性時不變的H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]零輸入響應rzi(t)：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產生的響應。

零狀態(tài)響應rzs(t)：不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產生的響應。

XX第40

頁二．系統(tǒng)響應劃分響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應

(Transient+Steady-state)自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)

零輸入響應＋零狀態(tài)響應(Zero-input+Zero-state)X第41

頁也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。是指激勵信號接入一段時間內，完全響應中暫時出現的有關成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產生的響應。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產生的響應。

(1)自由響應：(2)暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：強迫響應：(3)零輸入響應：零狀態(tài)響應：各種系統(tǒng)響應定義X第42

頁系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數。

求解微分方程X第43

頁系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數。

微分方程XX第44

頁

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即XX第45

頁三．對系統(tǒng)線性和時不變性的

進一步認識H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]若{

xi(0-)}=0系統(tǒng)是線性和時不變的若{xi(0-)}≠0

系統(tǒng)是非線性和時變的，且非因果常系數線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變，且是因果的。X第46

頁常系數線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展：(1)響應可分解性：零輸入響應＋零狀態(tài)響應。

(2)零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。

(3)零輸入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應對于各起始狀態(tài)呈線性。

X第47

頁例2-4-1把t〈0電路看作起始狀態(tài)，分別求t>0時的零輸入響應和零狀態(tài)響應。X第48

頁1、零輸入響應t>0電路：+-e(t)R1CL+-vc(0-)iL(0-)R2i(t)XX第49

頁R1=1ΩC=1FL=1/4H+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ω

i(t)滿足微分方程：t>0零輸入等效電路：XX第50

頁R1=1Ω+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ω

izi(0+)iL(0+)作出t=0+時刻的等效電路求得：X第51

頁零輸入響應的形式：將代入求出常數要求的零輸入響應：XX第52

頁2.零狀態(tài)響應+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2?izs(t)R1=1?等效電路：微分方程：X第53

頁由例2-3-1可求得把e(t)=4u(t)代入方程右端得自由項利用沖激函數匹配法：X第54

頁代入原方程：X第55

頁求得XX第56

頁完全響應自由響應強迫響應零狀態(tài)響應零輸入響應穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.5沖激響應和階躍響應沖激響應

階躍響應

X第58

頁系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。

一．沖激響應h(t)1．定義

X第59

頁響應及其各階導數(最高階為n次)

2.沖激響應求解(1)沖激響應的數學模型對于線性時不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示

激勵及其各階導數(最高階為m次)令e(t)=

(t)則r(t)=h(t) X第60

頁(2)h(t)解答的形式設特征根為簡單根（無重根的單根）由于及其導數在時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。

②與n,

m相對大小有關

①與特征根有關XX第61

頁例2-5-1對例2-3-1所示電路，求電流i(t)對激勵e(t)=δ(t)的沖激響應。

解：

沖激響應系統(tǒng)的微分方程將e(t)→

(t)， r(t)→h(t)利用沖激函數匹配法求h(0+)和XX第62

頁代入方程X第63

頁代入h(t)考慮到a=1,即h(t)中有一項aδ(t),因而得出

XX第64

頁二．階躍響應g(t)系統(tǒng)的輸入，其響應為。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數，所以除了齊次解外，還有特解項。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。1．定義

2．求解

XX第65

頁例2-5-2求電流i(t)對激勵e(t)=u(t)的階躍響應g(t)階躍響應g(t)滿足方程求特解B，對t≥0+代入方程10B=4B=2/5X第66

頁利用沖激函數匹配法求常數A1，A2代入方程X第67

頁代入g(t)說明：該題可以利用例2-5-1的結果和h(t)與g(t)的微、積分的關系求得。X第68

頁3．階躍響應與沖激響應的關系線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性

XX第69

頁總結沖激響應的定義

零狀態(tài)；單位沖激信號作用下，系統(tǒng)的響應為沖激響應。

沖激響應的求解至關重要。

沖激響應說明：在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵，看響應，不同，說明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性。

用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應和階躍響應簡捷方便，但時域求解方法直觀、物理概念明確。第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.６卷積卷積

利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

卷積圖解說明

卷積積分的幾點認識

X第71

頁一．卷積（Convolution）利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。X第72

頁二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應任意信號e(t)可表示為沖激序列之和

XX第73

頁回憶：脈沖分量

P251．矩形窄脈沖序列

此窄脈沖可表示為XX第74

頁出現在不同時刻的，不同強度的沖激函數的和。X第75

頁二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應任意信號e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。XX第76

頁三．卷積的計算由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。利用圖解說明確定積分限

借助于階躍函數u(t)確定積分限XX第77

頁卷積的圖解步驟X第78

頁X第79

頁t<=-1X第80

頁-1<=t<=1X第81

頁1<=t<=2X第82

頁2<=t<=4X第83

頁4<=t卷積結果X第84

頁

用圖解法直觀，尤其是函數式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，但比較繁瑣。用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。

借助于階躍函數u(t)確定積分限XX第85

頁例2-6-1XX第86

頁4.如何確定積分限（關鍵）X第87

頁波形第88

頁第89

頁X第90

頁四．對卷積積分的幾點認識

(1)t：觀察響應的時刻，是積分的參變量；

:

信號作用的時刻，積分變量從因果關系看，必定有(2)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應h(t)建立了響應r(t)與激勵e(t)之間的關系。信號無