空間向量研究線、面角問(wèn)題習(xí)題課21.理解線、面角的向量求解方法，能用空間向量方法求解線、面角.目標(biāo)一：理解線、面角的向量求解方法，能用空間向量方法求解線、面角.任務(wù)1：復(fù)習(xí)線面角的向量表示，用空間向量判定證明線面平行.如何用向量求解空間中的異面直線角問(wèn)題？歸納總結(jié)異面直線所成角向量求法：若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別為u,v則

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）.A.B.C.D.法1：如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建系，則，所以.因?yàn)?所以直線AD1與DB1所成角的余弦值為，選C.C法2：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得DA，DC，DD1兩兩垂直，因?yàn)锳B=BC=1，AA1=,所以DA=DC=1，DD1=.因?yàn)?所以,,,所以所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.任務(wù)2：復(fù)習(xí)線面角的向量求法，用空間向量求線面角.歸納總結(jié)直線與平面所成角的一般表達(dá)式：,其中，u為直線的方向向量，n為平面的法向量.A

BCnuθ如何用向量求解空間中的線面角問(wèn)題？

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PA=，M，N分別為BC，PC的中點(diǎn)，PD⊥DC，PM⊥MD.(1)證明：AB⊥PM；(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.(1)在△DCM中，DC=1，CM=2，∠DCM=60°，由余弦定理可得，所以，所以DM⊥DC．由題意知且，所以DC⊥平面PDM，而PM?平面PDM，所以DC⊥PM，又AB∥DC，所以AB⊥PM．(2)由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB與MD相交，所以PM⊥平面ABCD，由余弦定理可得，所以，取AD中點(diǎn)E，連接ME，則ME，DM，PM兩兩垂直.以M點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,.又N為PC中點(diǎn)，所以.由(1)得DC⊥平面PDM，所以平面PDM的一個(gè)法向量，從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為．任務(wù)3：復(fù)習(xí)面面角的向量求法，用空間向量求面面角.αβn1n2面面角：若平面α,β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=，QC=3．(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．解：(1)取AD的中點(diǎn)為O，連接QO，CO.因?yàn)镼A=QD，OA=OD，則QO⊥AD，而AD=2，QA=，故QO=.O在正方形ABCD中，因?yàn)锳D=2，故DO=1，故CO=，因?yàn)镼C=3，故QC2=QO2=OC2，故△QOC為直角三角形且QO⊥OC，因?yàn)镺C∩AD=O，故QO⊥平面ABCD，因?yàn)镼O?平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD內(nèi)，過(guò)O作OT∥CD，交BC于T，則OT⊥AD，結(jié)合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.T設(shè)平面QBD的法向量，則，即，取x=1，則，故.而平面QAD的法向量為，故.二面角B-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值