矩形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用1.矩形的定義：有一個(gè)角是__________的平行四邊形是矩形.2.矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是___________,矩形的對(duì)角線____________.3.矩形的特征：矩形是一個(gè)

圖形.

直角直角相等軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱4.定理：直角三角形斜邊上的中線等于________的一半.

斜邊5.矩形的判定：（1）有一個(gè)角是

的平行四邊形是矩形.（2）

相等的平行四邊形是矩形.（3）有

的四邊形是矩形.直角對(duì)角線三個(gè)角是直角復(fù)習(xí)導(dǎo)入例1.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE,求AE的長(zhǎng).分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等，可得到OE=BE，再結(jié)合AE⊥BD，可得AB=AO，從而有△ABO是等邊三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的長(zhǎng).新知講解解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=BD(矩形的對(duì)角線相等且互相平分）∠BAD=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）∵ED=3BE,∴BE=OE又∵AE⊥BD,∴AB=AO，∴AB=AO=BO,即△ABO是等邊三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，在Rt△AED中，∵∠ADE=30°，∴新知講解如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為E，已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度數(shù)。解：已知∠EAD=3∠BAE∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°

即∠EAD+∠BAE=90°∴∠BAE=90°÷4=25°∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°-25°=65°∴∠BDC=∠ABE=65°新知講解在Rt△ABC和Rt△BCD中，AB=CD，∠ABC=∠BCD，BC=BC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC=∠CBD=65°∴∠EAO=∠BAC—∠BAE=45°新知講解例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上中線，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC與DE交于O點(diǎn)，（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）判斷OD與AB的關(guān)系，并說明理由.分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因?yàn)锳N平分∠MAC可得∠DAE為90°，再加上CE⊥AN就可證明四邊形ADCE是矩形.（2）證得矩形后，可得O點(diǎn)是AC中點(diǎn)，那么OD是△ABC的中位線，就能得到OD與AB的關(guān)系了.新知講解解：(1)∵AB=AC,AD是中位線，

∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，

∴∠ADC=90°，又∵AN平分∠MAC，

又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°∴四邊形ADCE是矩形新知講解(2)OD//AB,理由：∵四邊形ADCE是矩形，∴OA=OC，又∵D是BC邊中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD//AB,.新知講解在上述例題中，連接DE、交AC于點(diǎn)F（如圖）。（1）試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論。（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。解：（1）四邊形ABDE是平行四邊形證明：四邊形ADCE是矩形（已證）∴AE//DC，AE=DC又∵在△ABC中，AB=AC∴△ABC是等腰三角形，AD是角BAC的角平分線∴BD=DC∴四邊形ABDE是平行四邊形新知講解（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形∴AB=DE，AB//DE，∵點(diǎn)F是矩形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)∴DF=DE∴DF//AB，DF=AB新知講解1.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，以下說法錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，∴A、B、C正確，D錯(cuò)誤，故選D．D課堂練習(xí)2.如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF，若CD=6，則AF等于（）A．B．C．D．8解：由折疊的性質(zhì)得BF=EF，AE=AB，因?yàn)镃D=6，E為CD中點(diǎn)，故ED=3，又因?yàn)锳E=AB=CD=6，所以∠EAD=30°，則∠FAE=30°，設(shè)FE=x，則AF=2x，在△AEF中，根據(jù)勾股定理，故選A．A課堂練習(xí)3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在邊AB上，∠AOC=∠BOD．求證：AO=OB．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，∴∠AOD=∠BOC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC，∴AO=OB．課堂練習(xí)1.（烏魯木齊）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在BC上，把這個(gè)矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，若矩形面積為4且∠AFG=60°，GE=2BG，則折痕EF的長(zhǎng)為（

）A、1B、C、2D、2C直擊中考解：由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．

∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF為等邊三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH=∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面積為

∴4EC?EC=4∴EC=1，EF=GE=2．故選C．直擊中考2.（營(yíng)口）在矩形紙片ABCD中，AD=8，AB=6，E是邊BC上的點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為________．

解：∵AD=8，AB=6，四邊形ABCD為矩形，∴BC=AD=8，∠B=90°，∴AC=△EFC為直角三角形分兩種情況：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，如圖1所示．∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，∴AE平分∠BAC，∴