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離散型隨機(jī)變量的分布列
隨機(jī)變量:如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量:隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫作連續(xù)型隨機(jī)變量。拋擲一枚骰子,設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)為ξ,則ξ可能取的值有:1,2,3,4,5,6.由概率知識(shí)可知,ξ取各值的概率都等于1/6ξ123456p此表從概率的角度指出了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況,稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布.例如:拋擲兩枚骰子,點(diǎn)數(shù)之和為ξ,則ξ可能取的值有:2,3,4,……,12.ξ的概率分布為:ξ23456789101112p例1:一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球,已知紅球的個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍,黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半,現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一球,若取出紅球得1分,取出綠球得0分,取出黃球得-1分,試寫出從該盒內(nèi)隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列.解:設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n,則綠球的個(gè)數(shù)為2n,紅球的個(gè)數(shù)為4n,盒中球的個(gè)數(shù)為7n,所以P(ξ=1)==,P(ξ=0)==,P(ξ=-1)==.所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列為:ξ10-1P一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為:x1,x2,……,xi,…….ξ取每一個(gè)xi(i=1,2,……)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表:ξX1X2…Xi…PP1P2…Pi…為隨機(jī)變量ξ的概率分布,簡(jiǎn)稱為ξ的分布列.ξX1X2…Xi…PP1P2…Pi…離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì):(1)Pi≥0,i=1,2,……;(2)P1+P2+……=1例2.一個(gè)類似于細(xì)胞分裂的物體,一次分裂為二,兩次分裂為四,如此進(jìn)行有限多次,而隨機(jī)終止,設(shè)分裂n次終止的概率是1/2n(n=1,2,3,……)記ξ為原物體在分裂終止后所生成的子塊數(shù)目,求P(ξ≤10).解:依題意,原物體在分裂終止后所生成的子塊數(shù)目ξ的分布列為:……P……16842ξ所以,P(ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=8)=解:根據(jù)分布列的性質(zhì),針尖想下的概率是(1-p).于是,隨機(jī)變量X的分布列是
利用分布列和概率的性質(zhì),可以計(jì)算能由隨機(jī)變量表示的事件的概率.x01P1-pp2、兩點(diǎn)分布列如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列,就稱X服從兩點(diǎn)分布,而稱p=P(X=1)為成功概率.例1、在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)實(shí)驗(yàn)中,令如果針尖向上的概率為p,試寫出隨機(jī)變量X的分布列.例2、在含有5件次品的100件產(chǎn)品中,任取3件,試求:(1)取到的次品數(shù)的分布列;(2)至少取到1件次品的概率.3、超幾何分布列0123
P一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件{X=k}發(fā)生的概率為3、超幾何分布列稱分布列X01
…mP
…為超幾何分布列.
如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.其中m=min{M,n},且nN,MN,n,M,NN*.例3、某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲,在一個(gè)口袋中有10個(gè)紅球和20個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.一次從中摸出5個(gè)球,至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng).求中獎(jiǎng)的概率.中獎(jiǎng)的概率為:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是(其中k=0,1,2,…,n,于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下:ξ01…k…nP……由于恰好是二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值,所以稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,記作ξ~B(n,p),其中n,p為參數(shù),并記=b(k;n,p).例3.(2000年高考題)某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件,寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布.解:依題意,隨機(jī)變量ξ~B(2,5%).所以,因此,次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025例4.重復(fù)拋擲一枚篩子5次得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為ξ,求P(ξ>3).解:依題意,隨機(jī)變量ξ~B.1.一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的小球,編號(hào)為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,以ξ表示取出的最大號(hào)碼,求ξ的分布列.練習(xí):2.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布(1)求常數(shù)的值;(2)求(3)求.練習(xí):3.袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為1/7,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)既終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)。(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量的概率分布;(3)求甲取到白球的概率.練習(xí):4.袋A和B中裝有白球和黑球若干,從A中任取1個(gè)球白球的概率都是為1/3,從A中任取1個(gè)球白球的概率都是為P,
甲先取,乙后取,然后甲再取……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)既終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)。(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量的概率分布;AAABBBBB(3)求甲取到白球的概率.練習(xí):室內(nèi)空氣的污染物主要是甲醛、苯、甲苯、二甲苯、氨和TVOC等。室內(nèi)空氣檢測(cè)是一個(gè)新興的行業(yè)。它是針對(duì)室內(nèi)裝飾裝修、家具添置引起的室內(nèi)空氣污染物超標(biāo)情況,進(jìn)行的分析、化驗(yàn)的技術(shù)過(guò)程,根據(jù)檢測(cè)結(jié)果值,出具國(guó)家認(rèn)可(CMA)、具有法律效力的檢測(cè)報(bào)告。室內(nèi)空氣檢測(cè)依據(jù)室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),可以判斷室內(nèi)各項(xiàng)指標(biāo)的污染狀況,并進(jìn)行有針對(duì)性的防控措施。uxd18vzu屋里傳來(lái)小青斷斷續(xù)續(xù)的痛哭聲。小青把西屋的門從里邊關(guān)上了,耿老爹和喬氏干著急進(jìn)不去,都站在門廳里。大家搬著幾個(gè)凳子來(lái)到院子里,耿英先讓哥哥坐了。耿老爹看到大兒子動(dòng)作有點(diǎn)兒僵僵的,著急地問(wèn):“耿正,你怎么了?”喬氏更是急得語(yǔ)無(wú)倫次:“正,正伢子,你,你快告訴我們,這,這,這到底是怎么回事???”耿正就把剛才在小樹林里發(fā)生的事情原原本本地說(shuō)了一遍。耿老爹和喬氏一聽都急了,趕快扶耿正進(jìn)東邊的屋子里,解開上衣看傷。耿直一看到哥哥的左肩膀已經(jīng)紅腫了,稍微碰一下左胳膊,就疼得直咧嘴,上前來(lái)又狠狠地踢了東伢子一腳。耿英趕快拉開弟弟,說(shuō):“小直子,你就別白費(fèi)勁了。你那點(diǎn)兒力氣,還不夠給他撓癢癢呢!”東伢子滿面羞愧地說(shuō):“讓他打吧,把我也打成這樣我才高興呢?!惫⒅边o拳頭發(fā)狠地說(shuō)“東伢子你等著,看我長(zhǎng)大了,不揍死你才怪呢!”喬氏伸出右手食指狠狠地戳了東伢子的腦袋一下,說(shuō):“你可真該挨打!小青不懂事,你也跟著犯渾!怎么能下手這么重呀!”耿老爹也心疼地說(shuō):“唉,這俗話說(shuō)了,年輕人沖動(dòng),沖動(dòng)害死人。你們年輕人哪,怎么這么沒(méi)有分寸??!”東伢子更加羞愧了,低聲說(shuō):“我去家里拿點(diǎn)兒白酒來(lái),點(diǎn)著了給耿正兄弟抓火苗搓一搓,活血化淤很好呢?!闭f(shuō)著就要回家去拿白酒。耿英伸手?jǐn)r住他說(shuō):“你先別走!即使抓火苗搓了,我哥的傷也不可能一下子就好了的。你沒(méi)有聽見(jiàn)嗎?小青姐還在那兒哭呢,咱得先把這事兒給處理好了!”又對(duì)耿老爹、喬氏和耿直說(shuō):“你們也都不要責(zé)怪東伢子了,他也是為了自己喜歡的人才這樣蠻干的。這樣吧,我去勸勸小青姐?!睎|伢子還在羞愧,耿直還在生氣,耿老爹和喬氏都點(diǎn)點(diǎn)頭。104第三十八回一廂情愿表白時(shí)|(婆娑樹影青石上,一廂情愿表白時(shí);得知深愛(ài)成泡影,哭著跑出小樹林。)且說(shuō)小青出門以后,毫不猶豫地徑直就往百步遠(yuǎn)處的小樹林去了。由于走得太急,她并沒(méi)有注意到東伢子此時(shí)正坐在對(duì)門兒的門檻兒上修理水桶呢。東伢子在這里已經(jīng)有一會(huì)兒了,耿正一刻鐘之前出來(lái)時(shí)還和他打了個(gè)招呼,并且告訴他要去小樹林里轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。此刻,當(dāng)他意外地發(fā)現(xiàn)小青也行色匆匆地往那邊趕
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