椅子能在不平的地面放穩(wěn)嗎？問題提出把一張椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，然而只需稍為轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，就可以使四只腳同時(shí)著地，即放穩(wěn)了。怎樣用數(shù)學(xué)模型來描述和證明這個(gè)實(shí)際問題呢？模型假設(shè)

為了能用數(shù)學(xué)語言描述，對(duì)椅子和地面需作一些必要的假設(shè)。

1.椅子四只腳一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處視為一個(gè)點(diǎn)。四只腳的連線呈正方形。（對(duì)椅子的假設(shè)）2.地面的高度是連續(xù)變化的，即可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。（對(duì)地面的假設(shè)）3.地面是較平坦的，使椅子在任何時(shí)候都同時(shí)有三只腳同時(shí)著地。（對(duì)兩者關(guān)系的假設(shè)）模型建立主要問題是如何用數(shù)學(xué)語言把椅子四只腳同時(shí)著地的條件表達(dá)出來。1.引入函數(shù)ABCDA’B’ABCDA’B’C’D’θ設(shè)f(θ)表示椅腳A與C兩腳到地面距離之和；g(θ)表示椅腳B與D兩腳到地面距離之和.2.函數(shù)的性質(zhì)由假設(shè)2，函數(shù)f(θ)與g(θ)是θ的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π;由假設(shè)3，對(duì)任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0，不妨設(shè)f(0)>0,g(0)=0；當(dāng)把椅子轉(zhuǎn)動(dòng)π/2時(shí)，則AC與BD互換了位置，由假設(shè)1，f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).3.把問題化作數(shù)學(xué)命題

椅子四只腳同時(shí)著地等價(jià)于存在一點(diǎn)θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.因此，原問題等價(jià)于以下命題：命題已知函數(shù)f(θ)與g(θ)是θ的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π，且滿足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）對(duì)任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).則必存在一點(diǎn)θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.模型求證命題已知函數(shù)f(θ)與g(θ)是θ的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，0≤θ≤2π，且滿足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）對(duì)任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).則必存在一點(diǎn)θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.求證：

∵f(0)>0,g(0)=0∴f(π/2)=g(0)=0,g(π/2)=f(0)>0

令h(θ)=f(θ)-g(θ),則在[0，π/2]上連續(xù)且h(θ)=f(0)-g(0)>0,h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，必存在一點(diǎn)0<θ0<π/2使h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)，∵f(θ0)與g(θ0)至少有一個(gè)為0，∴f(θ0)=g(θ0)=0模型的解的意義是

在滿足三點(diǎn)假設(shè)的前提下，我們證明了通過轉(zhuǎn)動(dòng)椅子，必定可把它放穩(wěn)，而且轉(zhuǎn)動(dòng)的角度不需超過90度（順時(shí)針或逆時(shí)針）。思考1.若把假設(shè)中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳的連線呈長(zhǎng)方形”，你認(rèn)為結(jié)論成立嗎？2.若把假設(shè)中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳共圓”，則結(jié)果中有如何？答案：1.若把假設(shè)中的“四只腳的連線呈正方形”改為“四只腳的連線呈長(zhǎng)方形”，則結(jié)果中的π/2改