PAGEPAGE1§2生產(chǎn)計(jì)劃的制訂動(dòng)態(tài)優(yōu)化建模首先要解決兩個(gè)問題，其一是，要使什么性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，其二是，通過什么變量（函數(shù)）控制這個(gè)性能指標(biāo)。當(dāng)然這些都應(yīng)該是要解決實(shí)際問題的直接反映。工廠與客戶簽訂了一項(xiàng)在某時(shí)刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同，在制訂生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)要考慮生產(chǎn)和儲(chǔ)存兩種費(fèi)用，生產(chǎn)費(fèi)用通常取決于生產(chǎn)率（單位時(shí)間的產(chǎn)量），生產(chǎn)率越高費(fèi)用越大;儲(chǔ)存費(fèi)用自然由已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)量決定，數(shù)量越多費(fèi)用越大，所謂生產(chǎn)計(jì)劃這里簡(jiǎn)單地看作是到每一時(shí)刻為止的累積產(chǎn)量，它與每單位時(shí)間(如每天)的產(chǎn)量可以互相推算。建模目的是尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，使完成合同所需的總費(fèi)用（生產(chǎn)與貯存費(fèi)用之和）最小。假設(shè)開始生產(chǎn)時(shí)刻記為t=0，按照合同應(yīng)在t=T提交數(shù)量為Q的產(chǎn)品。到時(shí)刻t為止的產(chǎn)量記作x(t)，x(t)即生產(chǎn)計(jì)劃。因?yàn)闀r(shí)刻t的生產(chǎn)率表示為，所以單位時(shí)間的生產(chǎn)費(fèi)用可以一般地記作，而單位時(shí)間的貯存費(fèi)用則應(yīng)記為。于是從t=0到t=T的總費(fèi)用是(1)為了確定f和g的具體形式作如下假設(shè):l.單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個(gè)單位所需的生產(chǎn)費(fèi)用與這時(shí)的生產(chǎn)率成正比。在需求飽滿、生產(chǎn)率很高的工廠里這個(gè)假設(shè)是合理的。2.貯存費(fèi)與貯存量(即累積產(chǎn)量)成正比。這是關(guān)于貯存費(fèi)的最常用的假設(shè)。假設(shè)l表明，生產(chǎn)費(fèi)f對(duì)生產(chǎn)率的變化率與成正比，即于是（2）是比例系數(shù)，由假設(shè)2則可以直接寫出（3）是單位數(shù)量產(chǎn)品單位時(shí)間的貯存費(fèi)。建模將（2）、(3)代入（1）式并注意到x(t)在t=0和t=T時(shí)的值，我們有（4），（5）制訂最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃歸結(jié)為在固定端點(diǎn)條件（5）下，求x(t)使（4）式定義的泛涵取得最小值。用變分法求解，記，根據(jù)歐拉方程（§1（7）式）可得關(guān)于x(t)的二階微分方程（6）方程（6）在端點(diǎn)條件（5）下的解為（7）這就是使總費(fèi)用達(dá)到最小的生產(chǎn)計(jì)劃。由(7)式不難畫出x(t)的示意圖(圖2)，它是過x(0)=0,X(T)=Q兩點(diǎn)的拋物線，且因而呈下凸?fàn)?。隨著參數(shù)k1、k2、T、Q的不同，曲線x(t)可能有S1和S2兩種形狀。但是對(duì)于生產(chǎn)計(jì)劃x(t)應(yīng)該有明顯的限制條件，（8）這就是說，只有當(dāng)x(t)呈S1形狀時(shí)才有實(shí)際意義。X(t)X(t)QSQS30t1Tt圖2-2滿足條件的x(t)圖2-2滿足條件的x(t)00tx(t)TQS1S2圖2-1的兩種形式容易看出，對(duì)于(7)式表示的x(t)條件(8)等價(jià)于（9）由(7)式算出，可知(9)式又表示為（10）于是僅當(dāng)(10)式成立時(shí)(7)式確定的x(t)才是最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃。當(dāng)k1，k2固定時(shí)條件(10)表明，在一定交貨期T內(nèi)要完成的產(chǎn)量Q相當(dāng)大，需要從t=0就開始生產(chǎn)，如圖中曲線S1但是，當(dāng)（11）即在T內(nèi)要完成的產(chǎn)量Q較小時(shí)最優(yōu)生計(jì)劃是什么呢?直觀的想法是為了節(jié)省貯存費(fèi)用，到t=t1才開始生產(chǎn)，如圖7-2的曲線S3所示。S3是否就是如(7)式所示、圖7-1中曲線S2在x≥0的那一部分呢？如果不是，時(shí)刻t1和區(qū)縣S3又如何確定(習(xí)題1)。解釋為了對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃作出解釋，考察它滿足的方程(6)式，(6)式可以表示為（12）式中是單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個(gè)單位所需的生產(chǎn)費(fèi)用，經(jīng)濟(jì)理論中稱為邊際成本。而k2（單位時(shí)間單位數(shù)量產(chǎn)品的貯存費(fèi)）稱為邊際貯存。于是(12)式表明，使邊際成本的變化率等于邊際貯存的生產(chǎn)計(jì)劃是最優(yōu)的。評(píng)注優(yōu)化模型通常包括目標(biāo)幽數(shù)和約束條件（或?qū)?yōu)范圍）兩部分，在這個(gè)摸型目標(biāo)幽數(shù)只考慮了兩種最基本的費(fèi)用，并對(duì)它們作了相當(dāng)簡(jiǎn)化的假設(shè)。至于約束條件，由于我們要用古典變分法求解，所以x(t)除了要滿足端點(diǎn)條件(5)以外，還需假定它是二階可微函數(shù)。這個(gè)條件并不影響(7)式的最優(yōu)意義，因?yàn)橐话阏f來不會(huì)存在一個(gè)不滿足二階可微條件的、比（7）式更優(yōu)的解。但是在另一些約束條件下問題就較難處理了，如這個(gè)