新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修四4.2.3教材解讀一.學(xué)習(xí)目的1.了解平面向量基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法，減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.二.要點(diǎn)解析1.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得.例如圖1，在中，對(duì)角線交點(diǎn)為，(1)設(shè)，為基向量，則圖1(2)設(shè)，為基向量，則圖1(3)設(shè)，為基向量，則說(shuō)明：(1)基底必須是兩個(gè)不共線的向量，零向量不能作為基底；(2)基底不同，表示也不同；(3)平面內(nèi)的任一向量都可以用不共線的向量來(lái)表示.2.向量的垂直與夾角圖2已知兩個(gè)非零向量和，作，，則叫做向量與的夾角.當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng)時(shí)，與垂直，記作.圖2例如圖2，在中，，則與的夾角不是，而是.強(qiáng)調(diào)：與夾角對(duì)應(yīng)的兩向量的起點(diǎn)要相同，注意向量的平移及方向.3.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，即用兩個(gè)互相垂直的向量來(lái)表示叫平面向量的正交分解.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.圖3把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫向量的坐標(biāo)，記作，其中叫在軸上的坐標(biāo)，即橫坐標(biāo)，叫在軸上的坐標(biāo),即縱坐標(biāo).圖3把叫向量的坐標(biāo)表示.強(qiáng)調(diào)：(1)記，則；記，，則；(2)向量可以平移.相等的向量坐標(biāo)是相同的；(3)向量的坐標(biāo)表示為向量運(yùn)算的數(shù)量化、代數(shù)化奠定的基礎(chǔ).4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算記，，.則，，5.平面向量共線的坐標(biāo)表示記，，其中，則三典例評(píng)析例1(2008全國(guó)卷Ⅰ理3)在中，，，若點(diǎn)滿足，則()A.B.C.D.圖4評(píng)析：如圖4，本題實(shí)質(zhì)上考察平面向量基本定理：用、作為基向量表示.圖4由得，易得.例2(2008全國(guó)卷Ⅱ13)設(shè)向量，，若與共線，則_______.評(píng)析：本題考查向量貢獻(xiàn)的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算.由已知，得，解得.例3若向量，，，則等于（）A.B.C.D.評(píng)析：本題考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，由于條件中只給出，，的坐標(biāo)，故可考慮從“數(shù)”的角度出發(fā)用、表示，又，不共線，則一定存在實(shí)數(shù)，，使得，然后用向量坐標(biāo)建立，的方程組.設(shè)，則，解得，故選(B)向量通過(guò)坐標(biāo)形式可以轉(zhuǎn)化為數(shù)的范圍內(nèi)的運(yùn)算，故可與代數(shù)中的方程、不等式、函