重難突破05“將軍飲馬”模型求最值重難突破一、單選題1．（2022春·福建龍巖·七年級校考階段練習(xí)）如圖：A、B兩村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩村莊的距離之和最小，如圖2，連接AB，與l交于點C，則A．兩點確定一條直線 B．兩直線相交只有一個交點C．兩點之間，線段最短 D．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線2．（2022秋·福建龍巖·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=6，CD=4，CD⊥AB于點D，EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則A．6 B．7 C．10 D．123．（2022春·福建漳州·七年級漳州三中校考期中）如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校┤鐖D，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當(dāng)EP+FP的值最小時，BF＝5，則AB的長為（）A．7 B．8 C．9 D．105．（2022秋·福建廈門·八年級廈門市松柏中學(xué)校考期末）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（）A．12a+23b B．12a+b C．a(chǎn)+126．（2022秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于點D，點E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動點，則CE＋EF的最小值是（

）A．2 B．4 C．5 D．67．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州屏東中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，點P為直線EF上一動點，則△ABP周長的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．128．（2022春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，點P是線段AD上的一個動點，當(dāng)△PCE的周長最小時，P點的位置在（

）A．A點處 B．D點處C．AD的中點處 D．△ABC三條高的交點處9．（2022秋·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是36，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．10 C．15 D．1610．（2022秋·福建龍巖·八年級?？计谥校┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時，點C的坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）二、填空題11．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）如圖，AD為等邊△ABC的高，M、N分別為線段AD、AC上的動點，且AM=BN，當(dāng)BM+CN取得最小值時，∠ANC=．

12．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個點M，N，使△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM=°

13．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點C在直線MN上，∠BCN=30°，點P為MN上一動點，連接AP，BP．當(dāng)AP+BP的值最小時，∠CBP的度數(shù)為14．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，S△ABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點D是邊AC的中點，點P是l上的動點，則△15．（2022秋·福建龍巖·八年級校考期中）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M、N分別是OB、OA邊上的點，當(dāng)△PMN周長的最小值是5cm時，則∠AOB=．16．（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李厝B的群眾出行到河岸a．張莊A和李厝B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李厝B到河岸b的距離分別為AC=pm、BD=qm，且CD=p+q17．（2022秋·福建南平·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，點M，N分別是邊BC，CD上兩個動點，當(dāng)△AMN的周長最小時，∠MAN的度數(shù)為．18．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，∠AOB＝30°，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記∠AMP＝α，∠ONQ＝β，當(dāng)MP＋PQ＋QN最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系是.19．（2019春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在銳角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分∠BAC，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN20．（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在銳角△ABC中，∠ACB=50°，邊AB上有一定點P,M,N分別是AC和BC邊上的動點，當(dāng)△PMN的周長最小時，∠MPN的度數(shù)是．三、解答題21．（2022秋·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，ΔABC

(1)畫出ΔABC關(guān)于y軸對稱的ΔA'B'C'并寫出A，B，C(2)在y軸上畫出點Q，使ΔQAC22．（2022春·福建泉州·七年級?？计谀缀文Ｐ停簵l件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個定點．問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．解法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P

(1)根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；(2)應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；②如圖3，∠AOB=20°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=ON=2，點P，Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是________．23．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)校考期中）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A1,1，B4,2，(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A(2)在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，請畫出△PAB，并簡要說明理由.24．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在高速公路l的同一側(cè)有A、B兩座城市．(1)現(xiàn)在要以最低成本在A、B兩座城市之間修建一條公路，假設(shè)每公里修建的成本相同，試在圖中畫出這條公路的位置，并簡要說明你的依據(jù)；(2)若要在高速公路l邊建一個停靠站C，使得A城市的人到該?？奎c最方便（即距離最近），請在圖中標(biāo)出C的位置，并簡要說明你的依據(jù)．25．（2019秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，△ABC各頂點都在小方格的頂點上．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；寫出△A1B1C1各頂點坐標(biāo)A1；B1；C1（2）在y軸上找一點P，使PA＋PB1最短，畫出P點，并寫出P點的坐標(biāo)．（3）若網(wǎng)格中的最小正方形邊長為1，則△A1B1C1的面積等于.26．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當(dāng)PC+PE最小時，求∠ACP的度數(shù)．

27．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，CD平分∠ACB，交邊AB于點D，點E是邊AB的中點．點P為邊CB

(1)AE=______，∠ACD=______度；(2)當(dāng)四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；(3)若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；(4)若點M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時CP的長度．28．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，求∠EAF的度數(shù)．

29．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，等邊△ABC（三邊相等，三個內(nèi)角都是60°的三角形）的邊長為10cm，動點D和動點E同時出發(fā)，分別以每秒1cm的速度由A向B和由C向A運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為t，0<t≤10，DC和BE交于點

(1)在運動過程中，CD與BE始終相等嗎？請說明理由；(2)連接DE，求t為何值時，DE∥(3)若BM⊥AC于點M，點P為BM上的點，且使PD+PE最短．當(dāng)t=7時，PD+PE的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．30．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，若AB=12，△MBC的周長是20．(1)求作：AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請直接寫出△PBC周長的最小值是______．31．（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．(1)若∠ABC=65°，則∠NMA的度數(shù)是___________度；(2)若AB=9cm．△MBC的周長是16①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．32．（2022秋·遼寧營口·八年級校考期中）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段BC的垂直平分線PM；(2)在圖2中，在線段BC上找到一點N,使AN+DN的值最小．33．（2022秋·北京昌平·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A，B和村莊M，N．完成以下作圖．(1)若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫出此公路，并說明這樣畫的理由；(2)若在公路BN上選擇一個地點P安裝實時監(jiān)控系統(tǒng)，要求點P到村莊N與道口B的距離相等，在圖中標(biāo)出點P的位置；(3)當(dāng)一節(jié)火車頭行駛至鐵路AB上的點Q時，距離村莊N最近．在圖中確定點Q的位置（保留作圖痕跡）；(4)若在道口A或B處修建一座火車站，使得到兩村的距離和較短，應(yīng)該修在________處．34．（2022秋·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點A(a,0)，B(0,b)，且a，b滿足(a-1)2+|2b-2|=0．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，以線段PB為邊構(gòu)造等腰直角△BPE（P為頂點），連接(1)如圖1所示，直接寫出點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；(2)如圖2所示，當(dāng)點P在點O，A之間運動時，則AB、AE之間的位置關(guān)系為；并加以證明；(3)如圖3所示，點P在x軸上運動過程中，若AE所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標(biāo)為，當(dāng)OE+BE的值最小時，請直接寫出此時OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系．35．（2022秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC的頂點A、B、C都在小正方形的頂點上，小正方形的頂點叫格點．(1)畫△A1B1C(2)在直線l上找一點P，使點P到點B、C的距離相等；(3)在直線l上找一點Q，使△ABQ的周長最??；(4)請找出格點D（不與點A重合），使得△ABC與△ADC的面積相等，這樣的點D有______個．36．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）唐朝詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖1所示，詩中大意是將軍從山腳下的A點出發(fā)，帶著馬走到河邊P點飲水后，再回到B點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出P點，使PA+PB的值最小，不說明理由；（2）實踐應(yīng)用1，如圖2，點P為∠MON內(nèi)一點，請在射線OM、ON上分別找到兩點A、B，使△PAB的周長最小，不說明理由；（3）實踐應(yīng)用2：如圖3，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，M、N分別是AD、AC邊上的動點，求CM+MN的最小值．37．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并說明理由．(2)求△APC周長的最小值．38．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示，P為△BOA內(nèi)任一點，在OB上找一點M，在OA上找一點N，使得△PMN的周長最短．39．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）直觀感知和操作確認(rèn)是發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)的重要方式，解決下列問題．(1)問題情境：如圖1，三個相同的三角尺拼成一個圖形，直接寫出圖中的平行線；(2)問題理解：如圖2，在三個相同的直角三角形拼成的一個圖形中，若點M是線段BC的三等分點（