第九單元

離散型隨機(jī)變量及其分布9.2二項分布情境引入概念形成例題分析鞏固練習(xí)小結(jié)作業(yè)情境引入某射擊運動員進(jìn)行了4次射擊,每次擊中目標(biāo)的概率都是1/4,每次擊中目標(biāo)與否是相互獨立的,用ξ表示擊中目標(biāo)的次數(shù),請思考ξ是否是一個離散型隨機(jī)變量?如果是,你能否寫出ξ的概率分布。概念形成引導(dǎo)學(xué)生借助GGB探究情境問題在上述情境中,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,它是一個離散型隨機(jī)變量。若ξ=i（i=0,1,2,3,4）,表示進(jìn)行了4次射擊,有i次擊中目標(biāo),4-

i次沒擊中目標(biāo)，根據(jù)乘法原理,則i次擊中目標(biāo)的概率是教師借助GGB軟件演示。概念形成一般地,在相同條件下,重復(fù)進(jìn)行n

次試驗,如果每次試驗的結(jié)果都是獨立的,那么這n次重復(fù)實驗叫作n次獨立重復(fù)試驗。射擊運動員進(jìn)行了4次射擊的隨機(jī)試驗，就是進(jìn)行了4次獨立重復(fù)試驗.每次試驗的結(jié)果只有兩個：擊中目標(biāo)或者沒有擊中目標(biāo)(符合兩點分布)。而且結(jié)果是相互獨立的,即各個事件發(fā)生的概率是相互沒有影響的。概念形成一般地,在n次獨立重復(fù)試驗中,如果每次試驗的結(jié)果只有兩個,它們相互獨立,就是只考慮兩個事件A和,而且在每次試驗中,事件A發(fā)生的概率都不變,這樣的n次獨立重復(fù)試驗叫作n次伯努利試驗。教師借助GGB軟件演示。如果每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P(A)=p,事件A不發(fā)生的概率為P()=1-p,那么,在n次伯努利試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為這個公式叫作伯努利公式概念形成伯努利公式在形式上就是二項式[(1-p)+p]n展開式的第(k+1)項。我們把具有兩種獨立試驗結(jié)果的離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列叫作二項分布,稱離散型隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為n和p的二項分布,記作ξ~B(n,p)。概念形成例1.在情境問題中,我們來求ξ的分布列.解擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,根據(jù)伯努利公式得所以,ξ的分布列為例題分析例2.某公司6名設(shè)計師借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作,每名設(shè)計師上網(wǎng)的概率都是0.5.(1)求至少3人同時上網(wǎng)的概率；(2)至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3?解：每名設(shè)計師上網(wǎng)是相互獨立的事件,設(shè)這個事件為A,這是伯努利試驗.隨機(jī)變量ξ為事件A發(fā)生的次數(shù),即上網(wǎng)人數(shù).(1)至少3人同時上網(wǎng),這時的所有可能取值為3,4,5,6,所以，例題分析(2)由(1)知,至少3人同時上網(wǎng)的概率為

，大于0.3.

至少4人同時上網(wǎng)的概率為例題分析至少5人同時上網(wǎng)的概率為所以,至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3教師借助GGB軟件演示。例題分析例3.某籃球運動員投籃命中率為p=0.6.(1)1次投籃命中次數(shù)ξ是否服從兩點分布?如果是,求它的期望與方差.(2)重復(fù)3次投籃命中次數(shù)ξ是否服從二項分布?如果是,求它的期望、方差及標(biāo)準(zhǔn)差.解(1)1次投籃有兩個結(jié)果,命中與不中,因此命中次數(shù)ξ服從兩點分布.1次投籃,命中次數(shù)ξ的分布列如表所示.ξ01P0.40.6期望為E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.方差為D(ξ)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.例題分析(2)重復(fù)3次投籃可認(rèn)為是3次獨立重復(fù)實驗,命中次數(shù)ξ服從二項分布.3次投籃命中次數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)伯努利公式得P(ξ=0)=×0.60×(1-0.6)3=0.064,P(ξ=1)=×0.61×(1-0.6)2=0.288,P(ξ=2)=×0.62×(1-0.6)1=0.432,P(ξ=3)=×0.63×(1-0.6)0=0.216.所以,隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示.ξ0123P0.0640.2880.4320.216例題分析期望為E(ξ)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8.方差為D(ξ)=(0-1.8)2×0.064+(1-1.8)2×0.288+(2-1.8)2×0.432+(3-1.8)2×0.216=0.72.標(biāo)準(zhǔn)差為一般地,以上兩種分布列的期望、方差有以下的公式.(1)兩點分布:E(ξ)=p,方差D(ξ)=p(1-p).(2)二項分布:若ξ~B(n,p),則期望E(ξ)=np,方差D(ξ)=np(1-p).鞏固練習(xí)1.在含有4件次品的10件產(chǎn)品中,任取3件,求:(1)取得的次品數(shù)的分布列、均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差;(2)至少取得1件次品的概率.2.在籃球賽中,某籃球運動員的罰球命中率是0.8,若他被任意罰球2次,