第12講圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及應(yīng)用[解密考綱]考查圓周運(yùn)動(dòng)的參量之間的關(guān)系、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期性問題、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的繩模型和桿模型問題．1．明代出版的《天工開物》一書中就有牛力齒輪翻車的圖畫(如圖)，記錄了我們祖先的勞動(dòng)智慧．若A、B、C三齒輪半徑的大小關(guān)系如圖，則(D)A．齒輪A的角速度比C的大B．齒輪A與B角速度大小相等C．齒輪B與C邊緣的線速度大小相等D．齒輪A邊緣的線速度比C邊緣的大解析由圖可知rA>rB>rC，A齒輪邊緣與B齒輪邊緣線速度大小是相等的，即vA＝vB，由v＝ωr，可得eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(rB,rA)，則ωA<ωB；B齒輪與C齒輪共軸，則B齒輪與C齒輪角速度大小相等，即ωB＝ωC，由v＝ωr，可得齒輪B與齒輪C邊緣的線速度之比eq\f(vB,vC)＝eq\f(rB,rC)，則vB>vC，綜上所述可知vA＝vB>vC，ωB＝ωC>ωA，故選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確．2．如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)＝0.8m的細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)．若要小球能通過最高點(diǎn)A(g＝10m/s2，空氣阻力不計(jì))，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是(C)A．2m/s B．2eq\r(10)m/sC．2eq\r(5)m/s D．2eq\r(2)m/s解析小球恰好通過A點(diǎn)，受力分析如圖所示．有F向＝mgsinα＝eq\f(mv\o\al(2,A),L).則通過A點(diǎn)的最小速度vA＝eq\r(gL·sinα)＝2m/s.根據(jù)機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋2mgLsinα，解得vB＝2eq\r(5)m/s，選項(xiàng)C正確．3.如圖所示，一光滑輕桿沿水平方向放置，左端O處連接在豎直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，a、b為兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，穿在桿上，并用細(xì)線分別連接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球質(zhì)量為a球質(zhì)量的3倍．當(dāng)輕桿繞O軸在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，Oa和ab兩線的拉力之比為(D)A．1∶3 B．1∶6C．4∶3 D．7∶6解析對(duì)a球，F(xiàn)TOa－FTab＝mω2Oa；對(duì)b球，F(xiàn)Tab＝3mω2(Oa＋ab)．由以上兩式得，Oa和ab兩線的拉力之比為7∶4．(多選)變速自行車靠變換齒輪組合來改變行駛速度擋，如圖是某一變速車齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)構(gòu)示意圖，圖中A輪有48齒，B輪有42齒，C輪有18齒，D輪有12齒．下列說法正確的是(BCD)A．該車可變換3種不同擋位B．該車可變換4種不同擋位C．A與D輪組合時(shí)，是行駛速度最快擋D．B與D輪組合時(shí)，兩輪的角速度之比ωB∶ωD＝2∶7解析齒輪有AC、AD、BC、BD四種組合，則可變換4種不同擋位；B與D輪組合時(shí)，線速度相等，兩輪的角速度之比等于齒數(shù)反比，即ωB∶ωD＝2∶7；行駛速度最快擋為齒數(shù)比最大的組合，即A與D輪組合．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B、C、D正確．5．(2017·山西太原模擬)用一根細(xì)線一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在一以角速度ω旋轉(zhuǎn)的光滑錐頂上，如圖所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，線的張力為FT，則FT隨ω2變化的圖象是(C)解析設(shè)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，錐面與豎直方向夾角為θ，當(dāng)ω＝0時(shí)，小球靜止，受重力mg、支持力FN和線的拉力FT而平衡，F(xiàn)T＝mgcosθ≠0，所以選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；ω增大時(shí)，F(xiàn)T增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)FN＝0時(shí)，角速度為ω0.當(dāng)ω<ω0時(shí)，由牛頓第二定律得，F(xiàn)Tsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，F(xiàn)Tcosθ＋FNsinθ＝mg，解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ；當(dāng)ω>ω0時(shí)，小球離開錐面，線與豎直方向夾角變大，設(shè)為β，由牛頓第二定律得FTsinβ＝mω2Lsinβ，所以FT＝mLω2，可知FT－ω2圖線的斜率變大，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．6．如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個(gè)金屬小球P，細(xì)線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)．現(xiàn)使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖中P′位置)，兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點(diǎn)，則后一種情況與原來相比較，下列判斷中正確的是(C)A．細(xì)線所受的拉力變0小B．小球P運(yùn)動(dòng)的角速度變小C．Q受到桌面的靜摩擦力變大D．Q受到桌面的支持力變大解析設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為FT，細(xì)線的長(zhǎng)度為L(zhǎng).P球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，如圖，則有FT＝eq\f(mg,cosθ)，mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，周期T＝eq\f(2π,ω)，使小球改到一個(gè)更高一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，θ增大，cosθ減小，則細(xì)線拉力FT增大，角速度增大，周期T減?。畬?duì)Q球，由平衡條件得，Q受到桌面的靜摩擦力變大，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C正確；金屬塊Q保持在桌面上靜止，根據(jù)平衡條件知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不變．故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．7．(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a、b分別系于一輕質(zhì)木架上的A和C點(diǎn)，繩長(zhǎng)分別為la、lb，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩a在豎直方向，繩b在水平方向，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，繩b被燒斷的同時(shí)輕桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則(BC)A．小球仍在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．在繩b被燒斷瞬間，a繩中張力突然增大C．若角速度ω＝eq\r(\f(2g,la))，小球在垂直于平面ABC的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)D．若角速度ω＝eq\r(\f(2g,la))，小球能在豎直平面ABC內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)解析繩b被燒斷后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，燒斷瞬間具有向上的加速度，處于超重狀態(tài)，則選項(xiàng)B正確；小球恰好到最高點(diǎn)的速度v＝eq\r(gR)，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)m(ωla)2＝2mgla＋eq\f(1,2)mv2，則最小角速度ω＝eq\r(\f(5g,la))，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；小球恰好到A的等高處，此時(shí)速度v′＝0，從最低點(diǎn)到此處，由機(jī)械能守恒定律得，eq\f(1,2)m(ωla)2＝mgla＋eq\f(1,2)mv′2，則最小角速度ω＝eq\r(\f(2g,la))，故選項(xiàng)C正確．8．(2017·甘肅蘭州質(zhì)檢)如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起繞固定轉(zhuǎn)軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，木塊A、B與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為1m，A的質(zhì)量為5kg，B的質(zhì)量為10kg.已知A與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3，如木塊A、B與轉(zhuǎn)臺(tái)始終保持相對(duì)靜止，則轉(zhuǎn)臺(tái)角速度ω的最大值為(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g＝10m/s2)(B)A．1rad/s B．eq\r(2)rad/sC．eq\r(3)rad/s D．3rad/s解析A與B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3，知逐漸增大轉(zhuǎn)臺(tái)角速度時(shí)B與A先發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，由牛頓第二定律μ1mAg＝mAω2r，得ω＝eq\r(2)rad/s.選項(xiàng)B正確．9．(2017·寧夏銀川診斷)如圖所示，小球m可以在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是(B)A．小球通過最高點(diǎn)的最小速度至少為v＝eq\r(gR)B．小球通過最高點(diǎn)的最小速度可以為0C．小球在水平線ab以下管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力D．小球在水平線ab以上管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力解析此題為桿模型，小球在最高點(diǎn)的速度可以為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；小球在水平線ab以下管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球沒有作用力，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球在水平線ab以上管道運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球有沒有作用力，要視小球的速度情況而定，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．10．(2017·上海青浦調(diào)研)如圖甲所示，輕桿一端與質(zhì)量為1kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球相連，另一端可繞光滑固定軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)最高點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，取水平向右為正方向，小球的水平分速度v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示，A、B、C三點(diǎn)分別是圖線與縱軸、橫軸的交點(diǎn)、圖線上第一周期內(nèi)的最低點(diǎn)，該三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是1、0、－5.g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力．下列說法中正確的是(D)A．輕桿的長(zhǎng)度為0.5mB．小球經(jīng)最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)它作用力方向豎直向下C．B點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻小球的速度為3m/sD．曲線AB段與坐標(biāo)軸所圍圖形的“面積”為0.6m解析設(shè)桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，小球從A到C的過程中機(jī)械能守恒，得eq\f(1,2)mvA2＋2mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，所以L＝eq\f(v\o\al(2,C)－v\o\al(2,A),4g)＝eq\f(－52－12,40)m＝0.6m．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若小球在A點(diǎn)恰好對(duì)桿的作用力是0，則mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，臨界速度vo＝eq\r(gL)＝eq\r(6)m/s>vA＝1m/s.由于小球在A點(diǎn)的速度小于臨界速度，所以小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力小于重力，桿對(duì)小球的作用力的方向向上，是豎直向上的支持力，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球從A到B的過程中機(jī)械能守恒，得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，所以vB＝eq\r(v\o\al(2,A)＋2gL)＝eq\r(13)m/s，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于y軸表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲線AB段與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積表示A到B的過程小球在水平方向的位移，大小等于桿的長(zhǎng)度，即0.6m，故選項(xiàng)D正確．11．小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為eq\f(3,4)d，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．(1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2；(2)求繩能承受的最大拉力；(3)改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？解析(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得豎直方向eq\f(1,4)d＝eq\f(1,2)gt2，水平方向d＝v1t，解得v1＝eq\r(2gd).在豎直方向上有veq\o\al(2,⊥)＝2geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))d，則veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1)＝2geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))d，解得v2＝eq\r(\f(5,2)gd).(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝eq\f(3,4)d，對(duì)小球在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，解得FT＝eq\f(11,3)mg.(3)設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變．由牛頓第二定律得FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),l)，解得v3＝eq\r(\f(8,3)gl)，繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d－l，水平位移為x，時(shí)間為t1，則豎直方向d－l＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，水平方向x＝v3t1，解得x＝4eq\r(\f(ld－l,3))，當(dāng)l＝eq\f(d,2)時(shí)，x有極大值，xmax＝eq\f(2\r(3),3)d.答案(1)eq\r(2gd)eq\r(\f(5,2)gd)(2)eq\f(11,3)mg(3)eq\f(d,2)eq\f(2\r(3),3)d12．如圖甲所示，在同一豎直平面內(nèi)的兩正對(duì)的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在最高點(diǎn)A與最低點(diǎn)B各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試小球?qū)壍赖膲毫?，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來，當(dāng)軌道距離變化時(shí)，測(cè)得兩點(diǎn)壓力差與距離x的關(guān)系圖象如圖乙所示，g取10m/s2，不計(jì)空氣阻力．(1)求小球的質(zhì)量；(2)若小球在最低點(diǎn)B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)，x的最大值為多少？解析(1)小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)，由能量守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2