赤峰二中2021級高二上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)1．若直線過圓的圓心，則（

）A．0 B．1 C．2 D．32．直線，，若，則的值為（

）A．B．C．或D．或3．已知平面，直線和，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．已知體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”.對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長，在球中，表示直徑）.假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得等邊圓柱（底面圓的直徑為），正方體（棱長為），球（直徑為）的“立圓率”分別為，，，則（

）A．B．C．D．5．點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．56．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A．B．C．D．7．下列函數(shù)中，同時(shí)滿足：①在上是嚴(yán)格增函數(shù)；②以為周期；③是奇函數(shù)的函數(shù)是（

）A．B．C．D．A．2 B． C． D．49．已知直線過第一象限的點(diǎn)和，直線的傾斜角為，則的最小值為（

）A．4 B．9 C． D．10．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，則歐拉線的方程為（

）A．B．C．D．11．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鰲臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積的最大值為D．過A點(diǎn)作于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作于點(diǎn)F，則面AEF12．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.14．?dāng)?shù)列中，，則__________.15．若三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的表面上，，，則球的表面積為___________.16．某海輪以海里/時(shí)的速度航行，在點(diǎn)測得海面上油井在南偏東方向上，向北航行分鐘后到達(dá)點(diǎn)，測得油井在點(diǎn)的南偏東方向上，海輪改為北偏東的航向再行駛分鐘到達(dá)點(diǎn)，則、間的距離為______海里．三、解答題(共70分)（1）求以點(diǎn)P為圓心且過點(diǎn)B（4，2）的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）求過點(diǎn)Q（﹣4，1）且與圓C相切的直線方程.18．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求的大小；（2）若的外接圓的半徑為，面積為，求的周長.19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且，側(cè)面是邊長為的正方形，側(cè)面?zhèn)让?，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在該橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．22．（12分）已知的圓心在直線上，點(diǎn)C在y軸右側(cè)且到y(tǒng)軸的距離為1，被直線l：截得的弦長為2.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)滿足，（O為原點(diǎn)）記點(diǎn)的軌跡為.①求曲線的方程；②過點(diǎn)的直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案：1．D【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上，代入即可求解.【詳解】解：圓，即，圓的圓心坐標(biāo)為：，將代入，即，解得：.故選：D.2．A【分析】由直線與直線平行的判斷條件求解即可【詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，解得a＝3，故選：A．3．A【分析】對于A選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；對于B選項(xiàng)，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面有可能相交，也有可能互相平行；對于C選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)即可判斷；對于D選項(xiàng)，平行于同一個(gè)平面的兩條直線有可能相交、平行或異面.【詳解】選項(xiàng)A正確，因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩個(gè)平面互相平行；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，平面和也可以相交；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，直線可能在平面內(nèi)；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，直線和還可能相交或者異面.故選：A.4．A【分析】根據(jù)體積公式分別求出“立圓率”即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A.5．D【分析】寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓的定義得到，從而求出答案.【詳解】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，故故選：D6．D【分析】由可得，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可得答案.【詳解】解：依題意，等價(jià)于，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，如圖所示：如圖可得的解集為：.故選：D.7．C【分析】由三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及奇偶性逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合題意；對于B，，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，不合題意；對于C，，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，最小正周期，且為奇函數(shù)，符合題意；對于D，，在上單調(diào)遞減，不合題意.故選：C.8．A【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得，要使取得最大值，則，同號，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓C1與圓C2相外切，得即，∴；要使取得最大值，則，同號，不妨取，，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴ab的最大值為2．故選：A9．D【分析】由題得，再利用基本不等式求解.【詳解】由題得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于“拼湊”化簡，再利用基本不等式求解.10．D【分析】求出重心，求出邊上的高和AC邊上的高的方程，聯(lián)立可求出垂心，即可求出歐拉線的方程.【詳解】由題可得的重心為，直線的斜率為，所以邊上的高的斜率為2，則邊上的高的方程為，即，直線AC的斜率為，所以AC邊上的高的斜率為，則AC邊上的高的方程為，即，聯(lián)立可得垂心坐標(biāo)為，則直線GH的斜率為，則直線GH的方程為，所以歐拉線的方程為.故選：D.11．C【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A，B的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而判斷D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，故A正確；B選項(xiàng)，由，即，又且，∴平面，∴，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，∴四面體為“鱉膈”，故B正確；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，最大值為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以平面，故D正確；故選：C12．D【分析】由已知，畫出圖像，根據(jù)，可令，然后表示出，，然后利用橢圓定義找到與之間的關(guān)系，然后用分別表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出與之間的關(guān)系，從而求解離心率.【詳解】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因?yàn)?，令，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.13．【分析】根據(jù)題意，建立不等式即可求解.【詳解】由題意可知，解得或，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：14．【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，即可求得，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，滿足上式，所以，故答案為：15．【分析】由已知條件可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)的中心為，則外接球的球心在所在直線上，在在中，由勾股定理求得外接球半徑，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槿忮F中，，所以此三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面的中心為，連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，外接球球心在所在直線上，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由可得，解得，所以即為球心，球的半徑，所以球的表面積為.故答案為：.16．【分析】根據(jù)題意，畫出草圖，在中由正弦定理解出，在中，根據(jù)勾股定理求得.【詳解】如圖，在中，（海里），，,由，得，解得海里．在中，（海里），由已知得，所以（海里）,所以、間的距離為海里．故答案為：.17．（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）x＝﹣4或8x﹣15y+47＝0【分析】（1）先求出直線的方程，與直線聯(lián)立求出點(diǎn)P，P為圓心且過點(diǎn)B，可得半徑，即得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)圓的方程可知點(diǎn)Q在圓外，設(shè)過Q點(diǎn)圓的切線方程為l，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑可求得斜率k，當(dāng)斜率不存在時(shí)，x＝﹣4復(fù)合題意，綜上，即得。【詳解】（1）l1：y+4（x﹣5）即x+2y+3＝0；l2：x﹣2y﹣5＝0；，即，即P（1，﹣2）.因?yàn)锽（4，2），所以|PB|＝5；所以圓的方程為：（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）因?yàn)辄c(diǎn)Q（﹣4，1）在圓外，設(shè)過Q點(diǎn)圓的切線方程為l，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，x＝﹣4復(fù)合題意，當(dāng)l斜率存在時(shí)，可設(shè)為k，則l的方程為y﹣1＝k（x+4）即kx﹣y+4k+1＝0，點(diǎn)P（1，﹣2）到直線l的距離為5，即k.即直線的方程為8x﹣15y+47＝0；綜上可知，過Q點(diǎn)圓C的切線方程為方程x＝﹣4或8x﹣15y+47＝0.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線和圓的位置關(guān)系，需要注意不要忽略斜率不存在的情況。18．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式化簡即得的大?。唬?）先利用正弦定理求出a的值，再利用面積求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，由三角形?nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式可得，，代入上式可得，，所以.因?yàn)?，所以，?由于，所以.（2）因?yàn)榈耐饨訄A的半徑為，由正弦定理可得，.又的面積為，所以，即，所以.由余弦定理得，則，所以，即.所以的周長.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19．（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)已知條件求出，，即可求出通項(xiàng)公式.（2）用錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，即∵是與的等比中項(xiàng)，∴，即，解得∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）問可知∴兩式相減并化得【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）在平面BCD內(nèi)找到2條相交的直線，使得AB垂直于它們即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論。建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法求二面角的余弦值.（1）連接，因?yàn)閭?cè)面是菱形，且，所以是等邊三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以；因?yàn)閭?cè)面是邊長為的正方形，所以，又側(cè)面?zhèn)让妫瑐?cè)面?zhèn)让?，?cè)面，所以側(cè)面，又因?yàn)閭?cè)面，所以．又，所以平面；（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則、、、、、、，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；綜上，平面與平面夾角的余弦值為.21．(1)；(2).【分析】（1）依題意可得，從而得到，的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義求出，最后求出，即可得到橢圓方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長公式表示出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓的半徑，最后根據(jù)的面積得到方程，即可求出，從而求出圓的方程.（1）解：由題意知，所以，，所以，由橢圓定義知：，則，，故橢圓的方程為．（2）解：①當(dāng)直線軸時(shí)，令，可得，解得，可取，，此時(shí)的面積，與題設(shè)矛盾，舍去．②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，成立，設(shè)，，則，，可得．又圓的半徑，∴的面積為，化簡得，解得，∴，∴圓的方程為．22．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）由條件求出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合弦