熱點(diǎn)專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)和整合命題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯考查.【典例1】(2014·西安模擬)已知橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,-1).(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1,A2,點(diǎn)P在直線y=a2上,直線PA1,PA2分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).試問(wèn):當(dāng)點(diǎn)P在直線y=a2上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)Q?證明你的結(jié)論.【解題提示】(1)由點(diǎn)在橢圓C上及F(0,-1)可求橢圓C的方程.(2)先利用P的特殊位置，即P在y軸上時(shí)，確定若直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在y軸上，然后利用三點(diǎn)共線的條件解決.【規(guī)范解答】(1)由題意知c=1,可設(shè)橢圓方程為因?yàn)樵跈E圓上，所以解得b2=3,所以橢圓的方程為(2)假設(shè)存在定點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),M,N分別與A1,A2重合,若直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q,則Q必在y軸上,設(shè)Q(0,m),當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí),設(shè)P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因?yàn)锳1(0,2),A2(0,-2),所以直線PA1的方程為直線PA2的方程為將代入得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以將代入得(27+t2)x2-18tx=0,解得所以因?yàn)樗运?1-m)(9+t2)=0,所以m=1,所以當(dāng)點(diǎn)P在直線y=a2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(0,1).【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系,找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).【變式訓(xùn)練】(2015·南京模擬)如圖，已知橢圓C:的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求橢圓C的方程.(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).【解析】(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+(y-1)2=3,圓M的圓心為M(3,1),半徑由A(0,1),F(c,0)得直線AF:即x+cy-c=0,由直線AF與圓M相切，得

(舍去).當(dāng)時(shí),a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為C:(2)由知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為將y=kx+1代入橢圓C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或因此P的坐標(biāo)為即將上式中的k換成得直線l的方程為化簡(jiǎn)得直線l的方程為因此直線l過(guò)定點(diǎn)【加固訓(xùn)練】(2015·保定模擬)設(shè)橢圓E：的離心率為且過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)由可得a2=2b2，橢圓方程為代入點(diǎn)可得b2=2,a2=4,故橢圓E的方程為(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)得：x1+x2=m(y1+y2)+2t=x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，所以AM⊥AN,所以=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t≠-2,所以直線l的方程是直線l過(guò)定點(diǎn)由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過(guò)定點(diǎn)考點(diǎn)二圓錐曲線中的定值問(wèn)題【考情分析】該問(wèn)題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問(wèn)題,是高考熱點(diǎn):(1)定值問(wèn)題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力.(2)解決這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定“定值”是多少,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值.【典例2】(2013·江西高考)橢圓C:的離心率(1)求橢圓C的方程.(2)如圖，A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明:2m-k為定值.【解題提示】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點(diǎn)P,M的坐標(biāo),再利用DP與x軸表示點(diǎn)N的坐標(biāo),最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),把k與m都用點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)表示.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)樗杂钟蒩2=b2+c2得代入a+b=3，得故橢圓C的方程為(2)因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為①，將①代入解得直線AD的方程為：②.聯(lián)立①②解得由D(0,1),N(x,0)三點(diǎn)共線可知即所以點(diǎn)所以MN的斜率為則(定值).【一題多解】解決本例(2)，你知道幾種解法？解答本題，還有如下方法：設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,±2)，則直線AD的方程為直線BP的方程為直線DP的方程為令y=0，由于y0≠1，可得解所以MN的斜率為故【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法(1)特點(diǎn):待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.(2)兩大解法:①?gòu)奶厥馊胧?求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).②引進(jìn)變量法:其解題流程為【變式訓(xùn)練】(2015·廣州模擬)已知橢圓C：的短半軸長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)在直線(c為半焦距)上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程.(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.【解析】(1)由點(diǎn)M(2,t)在直線上，得故所以c=1,從而所以橢圓方程為(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0.即其圓心為半徑因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離所以解得t=4.所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.(3)設(shè)N(x0,y0),則因?yàn)樗?(x0-1)+ty0=0,所以2x0+ty0=2.又因?yàn)樗詘0(x0-2)+y0(y0-t)=0,所以x02+y02=2x0+ty0=2,所以為定值.【加固訓(xùn)練】已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(1)證明：為定值.(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知條件，得F(0,1)，λ＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)．所以將①式兩邊平方并把代入得y1＝λ2y2，③解②③式得且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4.拋物線方程為求導(dǎo)得所以過(guò)拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是即解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以，所以為定值，其值為0.(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而因?yàn)閨AF|，|BF|分別等于A，B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝于是由知S≥4，且當(dāng)λ＝1時(shí)，S取得最小值4.考點(diǎn)三圓錐曲線中的最值與取值范圍問(wèn)題【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問(wèn)題和解不等式問(wèn)題,是高考熱點(diǎn):(1)恒成立問(wèn)題一般考查整式不等式、分式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍.(2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式.【典例3】(2014·浙江高考)如圖，設(shè)橢圓C:動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a－b.【解題提示】(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立,解得P點(diǎn)坐標(biāo).(2)表示出點(diǎn)到直線的距離,利用a,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值.【規(guī)范解答】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0,m>0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0，所以點(diǎn)P到直線l1的距離d=因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a－b.【規(guī)律方法】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的五種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法(1)兩類最值問(wèn)題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題.(2)兩種常見(jiàn)解法:①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.提醒:求最值問(wèn)題時(shí),一定要注意對(duì)特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等.【變式訓(xùn)練】(2015·杭州模擬)已知圓M：若橢圓C：的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為(1)求橢圓C的方程.(2)若存在直線l:y=kx,使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍.【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)樗詂=1,所以b=1,所以橢圓C：(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則所以(1+2k2)x2-2=0,則x1+x2=0,所以|AB|=點(diǎn)到直線l的距離則|GH|=顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k≠0時(shí)，又顯然所以綜上，【加固訓(xùn)練】已知拋物線C:y=x2.過(guò)點(diǎn)M(1,2)的直線l交C于A,B兩點(diǎn).拋物線C在點(diǎn)A處的切線與在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)P.(1)若直線l的斜率為1,求|AB|.(2)求△PAB的面積的最小值.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知，直線l的方程為y=x+1,由消去y得x2-x-1=0,解得,所以|AB|=(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+2,設(shè)點(diǎn)A(x3,y3),B(x4,y4).由消去y,整理得x2-kx+k-2=0,x3+x4=k,x3x4=k-2,又y′=(x2)′=2x,所以拋物線y=x2在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.得兩切線的交點(diǎn)所以點(diǎn)P到直線l的距離又|AB|==設(shè)△PAB的面積為S，所以(當(dāng)k=2時(shí)取得等號(hào)).所以△PAB面積的最小值為2.熱點(diǎn)專題突破系列(六)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【考情分析】以實(shí)際生活中的事例為背景,通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括,作出估計(jì)、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.【典例1】(2015·太原模擬)近幾年出現(xiàn)各種食品問(wèn)題,食品添加劑會(huì)引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院的60人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:(1)請(qǐng)將如圖的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k,并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為三高疾病與性別有關(guān).患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男630女總計(jì)36下面的臨界值表供參考:(參考公式K2=其中n=a+b+c+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題提示】(1)由問(wèn)卷調(diào)查的情況,可補(bǔ)充完表格.(2)可利用隨機(jī)變量K2確定,因此首先計(jì)算K2的觀測(cè)值k.【規(guī)范解答】(1)在患三高疾病人群中抽9人,則抽取比例為所以女性應(yīng)該抽取12×=3(人).患三高疾病不患三高疾病總計(jì)男24630女121830總計(jì)362460(2)因?yàn)镵2的觀測(cè)值k==10＞7.879,所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為是否患三高疾病與性別有關(guān).【規(guī)律方法】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解決問(wèn)題的步驟(1)依題意寫出列聯(lián)表.(2)依據(jù)列聯(lián)表用公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k的值.(3)依據(jù)k的值以及臨界值表確定問(wèn)題的結(jié)果.【變式訓(xùn)練】(2015·濟(jì)寧模擬)某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機(jī)抽取了180件產(chǎn)品進(jìn)行分析,其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù):(1)寫出2×2列聯(lián)表.(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān).【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得列聯(lián)表如下:合格品不合格品總計(jì)設(shè)備改造后653095設(shè)備改造前364985總計(jì)10179180(2)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2的觀測(cè)值為k＝≈12.38，由于12.38＞10.828，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下可認(rèn)為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān)．【加固訓(xùn)練】(2015·蚌埠模擬)在全國(guó)漢字聽寫大賽之前,某地先進(jìn)行了共十輪的選拔賽,某研究機(jī)構(gòu)一直關(guān)注其測(cè)試選拔過(guò)程.第二輪選拔后有450名學(xué)生進(jìn)入下一輪,該機(jī)構(gòu)利用分層抽樣的方法抽取了90人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,得到第三輪是否通過(guò)的數(shù)據(jù)如下表所示:考試未通過(guò)考試通過(guò)總計(jì)男學(xué)生273663女學(xué)生91827總計(jì)365490(1)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)第三輪通過(guò)與否與學(xué)生的性別是否有關(guān)?(2)估計(jì)全部450名學(xué)生通過(guò)第三輪測(cè)試的大約有多少人.(3)如果從第三輪測(cè)試通過(guò)的所有學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生,然后從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求這2名學(xué)生中至少有1名女學(xué)生的概率.附：K2=(其中n=a+b+c+d)P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解析】(1)根據(jù)公式得:K2=≈0.71<1.323,所以我們認(rèn)為是否通過(guò)第三輪測(cè)試與學(xué)生的性別無(wú)關(guān).(2)由樣本數(shù)據(jù)可知，學(xué)生通過(guò)第三輪測(cè)試的頻率為=0.6.故450名學(xué)生中通過(guò)第三輪測(cè)試的大約有450×0.6=270(人).(3)根據(jù)表格，通過(guò)第三輪測(cè)試的男學(xué)生有36人，女學(xué)生有18人,由分層抽樣可知，抽取的6名學(xué)生中男學(xué)生有4名，分別記為A,B,C,D,女學(xué)生有2名，分別記為1，2，從中任選2名的不同取法為{A,B},{A,C},{A,D},{A,1},{A,2},{B,C},{B,D},{B,1},{B,2},{C,D},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2},共15種.其中至少有1名女生的取法為{A,1},{A,2},{B,1},{B,2},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2}，共9種.所以所求事件的概率為考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)與概率分布列綜合【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,利用頻率估計(jì)概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率以及概率分布列等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【典例2】(2015·揭陽(yáng)模擬)某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50個(gè)樣本,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)若成績(jī)小于14秒認(rèn)為優(yōu)秀,求該樣本中百米測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).(2)請(qǐng)估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中,成績(jī)屬于第三組的人數(shù).(3)若樣本第一組中只有一個(gè)女生,其他都是男生,第五組則只有一個(gè)男生,其他都是女生,現(xiàn)從第一、五組中各抽取2個(gè)同學(xué)組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組,設(shè)其中男同學(xué)的數(shù)量為ξ,求ξ的分布列和期望.【解題提示】(1)(2)先求頻率,再求人數(shù).(3)確定ξ的取值,再根據(jù)定義求分布列.【規(guī)范解答】(1)由頻率分布直方圖知,成績(jī)?cè)诘谝唤M的為優(yōu)秀,頻率為0.06,人數(shù)為:50×0.06=3.所以該樣本中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為3.(2)由頻率分布直方圖知,成績(jī)?cè)诘谌M的頻率為0.38,以此估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中成績(jī)屬于第三組的概率為0.38,人數(shù)為:900×0.38=342.所以估計(jì)本年級(jí)900名學(xué)生中,成績(jī)屬于第三組的人數(shù)為342.(3)第一組共有3人，其中2男，1女，第五組共有50×0.08=4人，其中1男，3女，則ξ的可能取值為1，2，3.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=所以ξ的分布列為所以E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=ξ123P【規(guī)律方法】統(tǒng)計(jì)與概率分布綜合問(wèn)題的解題思路(1)找概率分布問(wèn)題中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)意義.(2)綜合統(tǒng)計(jì)中相關(guān)圖、表、數(shù)據(jù)明確相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變量的分布特征.(3)依隨機(jī)變量的分布特征進(jìn)一步解決相關(guān)問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2).②某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.②由①知,一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826.依題意知X～B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.【加固訓(xùn)練】為了了解《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門組織了一次知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),得到如圖所示莖葉圖:(1)若測(cè)試成績(jī)不低于90分,則稱為“優(yōu)秀成績(jī)”,求從這20人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“優(yōu)秀成績(jī)”的概率.(2)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)較多)任選3人,記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)優(yōu)秀成績(jī):4人；設(shè)優(yōu)秀成績(jī)?nèi)藬?shù)為X,至多一人成績(jī)優(yōu)秀為事件A,P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝(2)由樣本估計(jì)總體可知抽到“優(yōu)秀成績(jī)”學(xué)生的概率P＝.ξ所有可能的取值為0,1,2,3，顯然則P(ξ＝i)＝E(ξ)=ξ0123P考點(diǎn)三期望與方差的綜合應(yīng)用【考情分析】以現(xiàn)實(shí)生活為背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布等知識(shí)交匯考查,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【典例3】(2014·湖北高考)計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?【解題提示】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項(xiàng)分布,求出未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率.(2)分三種情況進(jìn)行討論,分別求出一臺(tái),兩臺(tái),三臺(tái)的數(shù)學(xué)期望,比較即可得到.【規(guī)范解答】(1)依題意，p1=P(40<X<80)==0.2，p2=P(80≤X≤120)==0.7，p3=P(X>120)==0.1.根據(jù)二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為=(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y,①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000,E(Y)=1×5000=5000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.Y420010000P0.20.8③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得分布列如下所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).Y3400920015000P0.20.70.1【規(guī)律方法】1.求數(shù)學(xué)期望值的方法(1)求離散型隨機(jī)變量