馬街中學(xué)高2021級(jí)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡交回第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知（，，i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，則（）A2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)化簡，可求出復(fù)數(shù)，從而可求出【詳解】由，得．所以因?yàn)?，所以，，所以．故選：A2.設(shè)集合，，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求解并集和補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集并集運(yùn)算，化簡集合為最簡是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.溶液酸堿度是通過計(jì)算的，的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及的定義求得此時(shí)胃酸的值.【詳解】依題意.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.若，，，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別確定，，的范圍，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5.函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和函數(shù)值符號(hào)使用排除法可得.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且所以為偶函?shù)，可排除AB；又當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：D6.在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.三點(diǎn)共線 B.四點(diǎn)異不共面C.四點(diǎn)共面 D.四點(diǎn)共面【答案】C【解析】【分析】由長方體性質(zhì)易知四點(diǎn)共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上,同理判斷,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因,則四點(diǎn)共面.因?yàn)?則平面,又平面,則點(diǎn)在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點(diǎn)共線;從而四點(diǎn)共面,都在平面內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；三點(diǎn)均在平面內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，即四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選:C.7.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為角終邊上的一點(diǎn)，將角終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正切公式可求得的值，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由題可知，所以，則.故選：A．8.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，即可得到，代入函數(shù)解析求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意得，，由，即，得，所以當(dāng)時(shí)，所以.故選：D9.若函數(shù)在處取得極值，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由在時(shí)取得極值，求出得，解出的值．【詳解】解：，；又在時(shí)取得極值，；．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的問題，是基礎(chǔ)題．10.在三棱錐中，平面，，，，若三棱錐的體積為6，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平面，則有，，然后由得線面垂直后得，從而可得就是外接球直徑，再由體積計(jì)算出長后可得球表面積．【詳解】∵平面，∴，，又，，∴平面，∴，中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等，即為三棱錐外接球的直徑．，，又，∴，，∴，，∴所求外接球表面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定外接球的球心，本題是利用直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等”確定的．11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②在有3個(gè)零點(diǎn)；③的最小值為；④在區(qū)間單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】C【解析】【分析】證明函數(shù)的奇偶性判斷①；根據(jù)函數(shù)，的零點(diǎn)以及單調(diào)性判斷②④；根據(jù)單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱性判斷③.【詳解】，則函數(shù)為上的偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)時(shí)，，即，則在區(qū)間的零點(diǎn)只有一個(gè)，所以在有2個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；所以在的最小值為：因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的周期為由對(duì)稱性以及周期性可知，函數(shù)的最小值為：，故③錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、正弦型函數(shù)的單調(diào)性和周期性、在給定區(qū)間的正弦型函數(shù)的最值，屬于較難題.12.已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時(shí)，在上的最大值為15．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，正確．②由題意知．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因?yàn)?，，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率為，再由直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,所以切線斜率為，又，即切線方程為，即；故答案為：14.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則m的最小值為___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意，由在R上恒成立求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，所以.故答案為：115.已知奇函數(shù)為上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于a的不等式求解二次不等式即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：不等式即：，函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式等價(jià)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，脫去符號(hào)有：，即：，，故答案為：.點(diǎn)睛：對(duì)于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．16.在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程，結(jié)合基本不等式來求得正確答案.【詳解】，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù)，圖像的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合對(duì)稱性求出周期和即可．（2）利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】（1），圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為，，即，得．（2），，，，得，設(shè)，則，且，18.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且.（1）求A的大?。唬?）過點(diǎn)C作，在梯形ABCD中，，，，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡可得，利用余弦定理計(jì)算即可得出結(jié)果.（2）在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理計(jì)算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理可得：，即，所以，又,所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所?中，由余弦定理可得，所以.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是1，最小值是.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.(2)由(1)的信息判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，借助單調(diào)性求解作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：，則有，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：.【小問2詳解】由(1)知：，當(dāng)時(shí)，，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則當(dāng)時(shí)，有最小值1，即當(dāng)時(shí)，，因此，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和.20.如圖，在三棱錐中，為正三角形，，O，E分別為BD，BC的中點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）求平面AOE與平面ADC所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】因?yàn)?，，O為BD的中點(diǎn)，所以，，.因?yàn)槭堑冗吶切危珽為BC的中點(diǎn)，所以.在中，，，，所以，所以.因?yàn)?，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.因?yàn)槠矫鍮CD，所以.【小問2詳解】由（1）知平面BCD，連接OC，可得，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以O(shè)A，OB，OC兩兩垂直，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)平面ADC的法向量為，則取，得.設(shè)平面AOE的法向量為，則則，取，得.設(shè)平面AOE與平面ADC所成銳二面角為，則.故平面AOE與平面ADC所成銳二面角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)于,且,存在正實(shí)數(shù),使得,試判斷與的大小關(guān)系，并給出證明.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）根據(jù)題意，化簡得到，令，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，可得，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)則，由題設(shè)得，又由，所以，令，可得，令，可得，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．（選修44極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為的直線l過點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求曲線的普通方程和直線l的參數(shù)方程.（2）若l與交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B為的中點(diǎn)，求【答案】（1），（t為參數(shù)）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即得的普通方程，求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，按條件寫出l的參數(shù)方程作答.（2）將l的參數(shù)方程代入的普通方程，再利用參數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【小問1詳解】曲線：，把代入得的普通方程：，因點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，而直線l的傾斜角為所以直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）.【小問2詳解】把直線l的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得：，整理得：，，即，令點(diǎn)A，B所對(duì)參數(shù)分別為，則有，因點(diǎn)B為的中點(diǎn)，即有，于是得，所以（選修45不