材料力學(xué)歡送學(xué)習(xí)張毅主編董桂花徐繼忠潘立常副主編2006年6月第1章靜力學(xué)根底第2章平面匯交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力學(xué)根底第8章剪切第9章扭轉(zhuǎn)第5章空間力系重心第7章軸向拉伸和壓縮材料力學(xué)第10章截面的幾何性質(zhì)第11章彎曲內(nèi)力第12章彎曲應(yīng)力第13章彎曲變形第15章組合變形的強(qiáng)度計(jì)算第14章應(yīng)力狀態(tài)理論和強(qiáng)度準(zhǔn)那么第16章壓桿穩(wěn)定材料力學(xué)第10章截面的幾何性質(zhì)10.1靜矩和形心10.2慣性矩與慣性積10.3平行移軸定理及組合截面慣性矩的計(jì)算10.4轉(zhuǎn)軸定理主慣性軸主慣性矩10.5小結(jié)本章學(xué)習(xí)要求理解靜矩、慣性矩、慣性積的概念；能夠確定一般簡(jiǎn)單圖形的形心位置，熟練計(jì)算圖形對(duì)指定坐標(biāo)軸的靜矩和慣性矩。理解和掌握平行移軸定理，熟悉平行移軸定理中各項(xiàng)的意義；能夠利用移軸公式計(jì)算常用的組合圖形的慣性矩。了解轉(zhuǎn)軸定理，理解形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念；能夠計(jì)算一般圖形的形心主慣性矩。10.1靜矩和形心從任意物體(設(shè)面積為A中取微面積dA，如圖10.1所示，其在圖中所示的坐標(biāo)系yoz中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，把乘積zdA及ydA分別稱(chēng)為微面積對(duì)于y軸和z軸的靜矩。而對(duì)于整個(gè)圖形而言，應(yīng)計(jì)算其總和。即微面積dA與其到某一坐標(biāo)軸距離的乘積在整個(gè)面積上的總和，稱(chēng)為圖形對(duì)該軸的靜矩(或面積矩)，用Sy和Sx表示。故有圖10.1靜矩與形心關(guān)系圖(10.1)對(duì)于任一形狀的截面圖形，可通過(guò)積分關(guān)系建立靜矩與形心坐標(biāo)之間的關(guān)系由此可見(jiàn)：(1)截面對(duì)于某一軸的靜矩假設(shè)等于零，那么該軸必通過(guò)截面的形心。(2)截面對(duì)于通過(guò)其形心的軸的靜矩恒等于零。故公式(10.1)可改寫(xiě)為(10.3)(10.2)當(dāng)截面由假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單圖形如矩形、圓形、三角形等組成時(shí)，這種截面稱(chēng)為組合截面。由于簡(jiǎn)單圖形的面積及其形心位置均為，由面積矩的定義可知，截面各組成局部對(duì)于某一軸的靜矩，可用下式表述設(shè)組合截面的形心坐標(biāo)為yc、zc，那么有式中，Ai、yci、zci分別表示任一簡(jiǎn)單圖形的面積及其形心在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；(10.5)(10.4)10.2慣性矩與慣性積圖10.1所示的圖形中，微面積dA與它到z軸(或y軸)距離平方的乘積在整個(gè)截面上的總和，稱(chēng)為截面對(duì)z軸(或y軸)的慣性矩，用Iz(或Iy)表示慣性矩Iz、Iy恒為正值，且不會(huì)等于零。(10.6)1.慣性矩2.慣性積截面上的微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積的總和，稱(chēng)為截面對(duì)y和z軸的慣性積，用Izy表示(10.7)慣性積的量綱也是[長(zhǎng)度]4。它的值可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。極慣性矩在扭轉(zhuǎn)計(jì)算中已遇到過(guò)，它的定義是：截面上的微面積dA與它到坐標(biāo)原點(diǎn)(也稱(chēng)極點(diǎn))距離ρ平方的乘積在整個(gè)面積上的總和，稱(chēng)為截面的極慣性矩，記為Ip3.極慣性矩(10.8)極慣性矩的量綱是[長(zhǎng)度]4，它的值恒為正。從圖10.1中可以看到此式說(shuō)明Ip、Iy、Iz之間的關(guān)系為：截面對(duì)任意兩個(gè)相互垂直的軸的交點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)該兩軸慣性矩之和。代入式(10.8)后，可得10.3平行移軸定理及組合截面慣性矩的計(jì)算同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的，但相互之間存在一定的關(guān)系。1.平行移軸定理如圖10.2所示，c為截面形心，yc和zc為形心軸，oz軸與zc軸相互平行，間距為a；y軸與yc軸相互平行，其間距為。相互平行的坐標(biāo)軸間存在以下關(guān)系圖10.2平行移軸圖根據(jù)定義，截面圖形A對(duì)形心軸yc及zc的慣性矩分別為(a)(b)式(10.9)--式(10.11)稱(chēng)為平行移軸定理，或平行移軸公式。對(duì)y、z軸的慣性矩分別為將(a)式代入(c)式中得(c)同理：即(10.9)(10.10)(10.11)由此可知：(1)截面對(duì)任意軸的慣性矩，等于截面對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。由于面積為正值，a2及b2亦非負(fù)，因此，截面對(duì)形心軸的慣性矩是對(duì)所有與其平行的軸的慣性矩中的最小值。(2)截面對(duì)任意一對(duì)正交軸的慣性積，等于截面對(duì)與軸平行的一對(duì)正交形心軸的慣性積加上截面面積與兩對(duì)軸之間距離的乘積?！纠?0.4】計(jì)算圖10.3所示矩形截面對(duì)y與z軸的慣性矩Iy、Iz及慣性積Iyz。圖10.3例10.4圖解：矩形截面對(duì)形心軸yc與zc的慣性矩及慣性積分別為應(yīng)用平行移軸公式可得組合圖形是由假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，由慣性矩的定義可知，組合圖形對(duì)某軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和。由于各種簡(jiǎn)單截面對(duì)形心軸的慣性矩通常為，故利用平行移軸公式計(jì)算組合截面的慣性矩十分方便。2.組合截面慣性矩的計(jì)算圖10.4所示一任意截面圖形，它對(duì)于通過(guò)其上任意一點(diǎn)O的y、z兩坐標(biāo)軸的慣性矩Iy、Iz以及慣性積Iyz均為。假設(shè)這一對(duì)坐標(biāo)軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角至y1、z1位置，那么該截面對(duì)于這兩個(gè)新坐標(biāo)軸y1、z1的慣性矩和慣性積分別為Iy1、Iz1和Iyz1，它們都可以用的Iy、Iz、Iyz和α角來(lái)表達(dá)。1.轉(zhuǎn)軸定理10.4轉(zhuǎn)軸定理主慣性軸主慣性矩圖10.4坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系圖如圖10.4所示截面內(nèi)任意微面積dA在y1Oz1中的坐標(biāo)與在yOz中的坐標(biāo)之間存在如下關(guān)系根據(jù)定義截面對(duì)z1軸的慣性矩為利用三角形關(guān)系上式中整理可得(10.12)同理可得式(10.21)--式(10.14)稱(chēng)為慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。(10.13)比較式(10.12)和式(10.13)可得出如下關(guān)系(10.14)(10.15)(10.15)式說(shuō)明截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)。截面對(duì)主慣性軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩，簡(jiǎn)稱(chēng)主慣矩。這一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面形心重合時(shí)就稱(chēng)為形心主慣性軸；截面對(duì)于這一對(duì)軸的慣性矩即稱(chēng)為形心主慣性矩。它們是在彎曲等問(wèn)題的計(jì)算中所用到的截面的主要幾何性質(zhì)。2.形心主軸與形心主慣性矩為今后計(jì)算方便，可使用經(jīng)簡(jiǎn)化后主慣性矩的計(jì)算公式對(duì)于任意形狀截面的形心主慣矩計(jì)算可按下述步驟進(jìn)行(1)確定截面形心位置。(2)建立一對(duì)通過(guò)形心的坐標(biāo)軸并計(jì)算出截面對(duì)這對(duì)軸的慣性矩Iy、Iz和慣性積Iyz。(3)應(yīng)用公式確定形心主軸的位置。(4)應(yīng)用公式計(jì)算形心主慣矩。2．截面的幾何性質(zhì)和計(jì)算公式有：10.5小結(jié)1．截面的幾何性質(zhì)都是對(duì)確定的坐標(biāo)系而言的。靜矩和慣性矩是對(duì)一根坐標(biāo)軸而言的；慣性積是對(duì)過(guò)一點(diǎn)的正交坐標(biāo)系而言的；極慣性矩那么是對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)而言的(1)靜矩(3)慣性矩(2)形心坐標(biāo)公式(4)慣性積(1)極慣性矩(3)形心主軸和形心主慣性矩(2)平行移軸公式3．慣性矩、極慣性矩的值恒為正；靜矩、慣性積的值可能為正，可能為負(fù)，也有可能為零，其值與所選的坐標(biāo)軸的位置有關(guān)。當(dāng)軸通過(guò)形心時(shí)靜矩一定為零；當(dāng)軸為對(duì)稱(chēng)軸時(shí)慣性積一定為零。4．組合截面對(duì)形心軸的慣性矩的計(jì)算，是工程中常見(jiàn)的問(wèn)題，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，計(jì)算過(guò)程中需要使用平行移軸公式(平行移軸定理)。應(yīng)用時(shí)需注意其適用條件：其中的一對(duì)軸必須是形心軸。使用慣性積的平行移軸公式時(shí)，應(yīng)注意截面形心在平移后的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值a、b的正負(fù)號(hào)。5．在計(jì)算各個(gè)幾何量時(shí)，比照較復(fù)