第04講直線的兩點(diǎn)式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握兩點(diǎn)確定一條直線的公理。②掌握兩點(diǎn)式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方。③理解與掌握直線的截距式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個(gè)幾何要素，會(huì)求直線方程，并能解決與之有關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：直線的兩點(diǎn)式方程已知條件（使用前提）直線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（已知兩點(diǎn)）圖示點(diǎn)斜式方程形式SKIPIF1<0適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒(méi)有斜率(SKIPIF1<0)或斜率為SKIPIF1<0時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程1.當(dāng)過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的直線斜率不存在(SKIPIF1<0)或斜率為0(SKIPIF1<0)時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示.2.在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí),必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線l的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則線l的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0圖示點(diǎn)斜式方程形式SKIPIF1<0適用條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線的截距式方程是直線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線方程是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】根據(jù)直線的截距式可知直線方程為：SKIPIF1<0故選：C知識(shí)點(diǎn)03：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，且線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．此公式為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求：邊BC上的中線所在直線的方程；【答案】（1）SKIPIF1<0【詳解】（1）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0則邊BC上的中線所在直線的方程為SKIPIF1<0；題型01直線的兩點(diǎn)式和截距式方程辨析【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)校考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)斜式SKIPIF1<0可以表示任何直線B．過(guò)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線方程為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相互垂直．D．直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是SKIPIF1<0B．若三條直線SKIPIF1<0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值集合為SKIPIF1<0C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上截距都相等的直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．過(guò)SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線方程為SKIPIF1<0【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0不能表示過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線方程B．在SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸上的截距分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0D．過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0的直線都可用方程SKIPIF1<0表示B．過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0的直線都可用方程SKIPIF1<0表示C．過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線都可用方程SKIPIF1<0表示D．不過(guò)原點(diǎn)的直線都可用方程SKIPIF1<0表示題型02直線的兩點(diǎn)式方程（已知兩點(diǎn)求直線，建議轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線在SKIPIF1<0軸上的截距為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直線在SKIPIF1<0軸上的截距為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，(1)求SKIPIF1<0邊所在的直線方程；(2)求SKIPIF1<0邊上的中線所在直線的方程．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0的直線方程是______.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，則過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且過(guò)線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_____題型03直線的截距式方程【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(2，1)且在SKIPIF1<0軸上截距與在SKIPIF1<0軸上截距之和為6的直線方程為_(kāi)_____________.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0軸上的截距的2倍的直線SKIPIF1<0的方程．【變式1】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谀┻^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式3】（2023·上海·高二專題練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)下列條件寫(xiě)出直線方程，并化為一般式：在SKIPIF1<0軸上的截距分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.題型04直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（定值）問(wèn)題【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線SKIPIF1<0有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線SKIPIF1<0的方程為_(kāi)_______.【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0中過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上中點(diǎn)的直線方程；(2)求SKIPIF1<0的面積.【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二?？计谀┤鐖D所示，已知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線：SKIPIF1<0上．（1）求SKIPIF1<0邊上的高SKIPIF1<0所在直線的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，則這樣的直線有______條.【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0的斜率為－1，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【變式3】（2023春·高二單元測(cè)試）直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線SKIPIF1<0的方程.【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求SKIPIF1<0的值.題型05直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（最值）問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線分別與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的正半軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0面積最小值為_(kāi)_____．【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0．(1)求證：不論SKIPIF1<0為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0引直線SKIPIF1<0，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求SKIPIF1<0的方程．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且分別與SKIPIF1<0軸的正半軸、SKIPIF1<0軸的正半軸交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為原點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0面積最小時(shí)，求直線SKIPIF1<0的方程．【典例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一條動(dòng)直線SKIPIF1<0，(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸的正半軸分別交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線SKIPIF1<0同時(shí)滿足下列條件：①SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（1）若直線SKIPIF1<0的斜率是2，求SKIPIF1<0的值；（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線的方程．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線方程為SKIPIF1<0．(1)若直線的傾斜角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直線分別與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的負(fù)半軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)若直線SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸正半軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸正半軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．題型06重點(diǎn)方法（分類討論）【典例1】（多選）（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距相等，則SKIPIF1<0的值可能是（

）A．1 B．SKIPIF1<0C．2 D．SKIPIF1<0【典例2】（2022秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0邊上的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0軸上的截距和SKIPIF1<0軸上的截距相等的直線的方程．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，求這條直線的方程．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省潁上第一中學(xué)校考期末）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0的直線在SKIPIF1<0上的截距為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或1 D．2或13．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直線方程都可以表示為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIP