山東省青島即墨區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.43．設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.5．直線與直線交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.46．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實(shí)際增加6.3噸C.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為8噸時(shí)，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點(diǎn)（4，★）7．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學(xué)用七巧板拼成了一個(gè)“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點(diǎn)，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形9．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.11．△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.12．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)有極大值和極小值B.函數(shù)有極大值和極小值C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率為，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為______14．已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.15．?dāng)?shù)列中，，，，則______16．如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為______cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由20．（12分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于的不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.21．（12分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值22．（10分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎(jiǎng)金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因?yàn)槠渌露K止比賽，間，怎么分獎(jiǎng)金才公平？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.3、B【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，且，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.4、B【解析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，確定正確選項(xiàng).【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數(shù).由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.6、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，將代入，故，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)椋时亟?jīng)過，故正確.故選：.7、C【解析】設(shè)正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計(jì)算概率【詳解】設(shè)正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C8、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理，因?yàn)椋?，又，∴，故為直角三角?故選：B.9、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D10、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B11、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線離心率為，可得的值，進(jìn)而可得雙曲線焦點(diǎn)到一條漸近線的距離.【詳解】由雙曲線離心率為，得，即，故雙曲線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：，故焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故答案為：.14、【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，要使函數(shù)有零點(diǎn)，只要，求得函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.15、##0.5【解析】直接計(jì)算得到答案.【詳解】∵，，則，.故答案為：.16、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果（2）根據(jù)錯(cuò)誤相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和為，注意作差時(shí)項(xiàng)符號(hào)的變化以及求和時(shí)項(xiàng)數(shù)的確定試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由，，則，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則又平面的法向量為；則，所以平面與平面所成的銳二面角為.19、（1）（2）存在，【解析】（1）利用拋物線的焦半徑公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得p,可得答案;（2）根據(jù)題意可設(shè)直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用直線與的斜率互為倒數(shù)列出等式，化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】（1）則，，，，故C的方程為：；【小問2詳解】假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率互為倒數(shù)，由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，則，，使得直線與的斜率互為倒數(shù).20、（1）；（2）.【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求，；（2）根據(jù)題意，得出不等式恒成立，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的范圍.詳解】解：（1）由題可知，，解得：，則-3，2是方程的兩個(gè)根，且，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）由于不等式恒成立，即恒成立，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解集求函數(shù)解析式，以及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力21、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過的定點(diǎn)，②由弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設(shè)直線，，的斜率為，，，因?yàn)橹本€，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點(diǎn)；②由①可得：，原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最大值為1【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從