第十講：行程問題分類例析主講：何老師行程問題有相遇問題，追及問題，順流、逆流問題，上坡、下坡問題等.在運(yùn)動形式上分直線運(yùn)動及曲線運(yùn)用(如環(huán)形跑道).相遇問題是相向而行.相遇距離為兩運(yùn)動物體的距離和.追及問題是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行假設(shè)干時間,快的再追及,.順逆流、順風(fēng)逆風(fēng)、上下坡應(yīng)注意運(yùn)動方向，去時順流，回時那么為逆流.一、相遇問題例1：兩地間的路程為360km，甲車從A地出發(fā)開往B地，每小時行72km；甲車出發(fā)25分鐘后，乙車從B地出發(fā)開往A地，每小時行使48km，兩車相遇后，各自按原來速度繼續(xù)行使，那么相遇以后，兩車相距100km時，甲車從出發(fā)開始共行駛了多少小時？分析：利用相遇問題的關(guān)系式〔相遇距離為兩運(yùn)動物體的距離和〕建立方程.圖1解答：設(shè)甲車共行使了xh，那么乙車行使了.〔如圖1〕圖1依題意，有72x+48=360+100,解得x=4.因此，甲車共行使了4h.說明：此題兩車相向而行，相遇后繼續(xù)行使100km，仍屬相遇問題中的距離，望讀者仔細(xì)體會.例2:一架戰(zhàn)斗機(jī)的貯油量最多夠它在空中飛行4.6h,飛機(jī)出航時順風(fēng)飛行,在靜風(fēng)中的速度是575km/h,風(fēng)速25km/h,這架飛機(jī)最多能飛出多少千米就應(yīng)返回?分析:列方程求解行程問題中的順風(fēng)逆風(fēng)問題.順風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度+風(fēng)速逆風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度-風(fēng)速解答:解法一:設(shè)這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出xkm就應(yīng)返回.依題意，有解得:x=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.解法二:設(shè)飛機(jī)順風(fēng)飛行時間為th.依題意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=600×2.2=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.說明:飛機(jī)順風(fēng)與逆風(fēng)的平均速度是575km/h,那么有,解得x=1322.5.錯誤原因在于飛機(jī)平均速度不是575km/h,而是例3:甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車，環(huán)形公路長為42km，甲、乙兩人的速度分別為21km/h、14km/h.如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時反向出發(fā)，那么經(jīng)幾小時后,兩人首次相遇?如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時同向出發(fā)，那么出發(fā)后經(jīng)幾小時兩人第二次相遇?分析:這是環(huán)形跑道的行程問題.解答:(1)設(shè)經(jīng)過xh兩人首次相遇.依題意,得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此,經(jīng)過1.2小時兩人首次相遇.設(shè)經(jīng)過xh兩人第二次相遇.依題意,得21x-14x=42×2,解得:x=12.因此,經(jīng)過12h兩人第二次相遇.說明:在封閉的環(huán)形跑道上同向運(yùn)動屬追及問題，反向運(yùn)動屬相遇問題.從同一地點(diǎn)出發(fā),相遇時,追及路程或相隔路程就是環(huán)形道的周長,第二次相遇,追及路程為兩圈的周長.有趣的行程問題【探究新知】例1、甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，問：二人幾小時后相遇？分析與解：出發(fā)時甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時都縮短6＋4＝10〔千米〕，即兩人的速度的和〔簡稱速度和〕，所以30千米里有幾個10千米就是幾小時相遇.30÷〔6＋4〕＝30÷10＝3〔小時〕答：3小時后兩人相遇.此題是一個典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個根本數(shù)量關(guān)系：路程＝速度和×?xí)r間.例2、如右下列圖有一條長方形跑道，甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)同時出發(fā)，都按順時針方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米分析與解：這是一道環(huán)形路上追及問題。在追及問題問題中有一個根本關(guān)系式：追擊路程=速度差×追及時間。追及路程：10＋6=16〔米〕速度差：5－4.5=0.5〔米〕追擊時間：16÷0.5=32〔秒〕甲跑了5×32÷[〔10＋6〕×2]=5〔圈〕答：甲跑了5圈。例3、一列貨車早晨6時從甲地開往乙地，平均每小時行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時比貨車快15千米，客車比貨車遲發(fā)2小時，中午12時兩車同時經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時，貨車離乙地還有多少千米？分析與解：貨車每小時行45千米，客車每小時比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時〔45＋15〕千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時，貨車已行了〔12—6〕小時，而客車已行〔12—6－2〕小時，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：45×〔12—6〕＋〔45＋15〕×〔12—6—2〕＝45×6＋60×4＝510〔千米〕.②客車行完全程所需的時間是：510÷〔45＋15〕＝510÷60＝8.5〔小時〕.③客車到甲地時，貨車離乙地的距離：510—45×〔8.5＋2〕＝510－472.5＝37.5〔千米〕.答：客車到甲地時，貨車離乙地還有37.5千米.例4、兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米.兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長？分析與解：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10〔米〕，乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15〔米〕.此題中，甲車的運(yùn)動實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動，乙車的運(yùn)動那么可以看作是乙車車頭的運(yùn)動，因此，我們只需研究下面這樣一個運(yùn)動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大〔10＋15〕米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為〔10＋15〕×14＝350〔米〕.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄?，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：〔10＋15〕×14＝350〔米〕答：乙車的車長為350米.例5、某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，假設(shè)該列車與另一列長150米.時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？分析與解：解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實(shí)際上是一個以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和。列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為〔250—210〕米時，所用的時間為〔25—23〕秒.由此可求得列車的車速為〔250—210〕÷〔25—23〕＝20〔米/秒〕.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個列車的車長為20×25—250＝250〔米〕，從而可求出錯車時間。解：根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為：72000÷3600＝20〔米/秒〕，某列車的速度為：〔250－210〕÷〔25－23〕＝40÷2＝20〔米/秒〕某列車的車長為：20×25-250＝500-250＝250〔米〕兩列車的錯車時間為：〔250＋150〕÷〔20＋20〕＝400÷40＝10〔秒〕.答：錯車時間為10秒.例6、甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往B地、A地。甲每小時行32千米，乙每小時行48千米。甲、乙各有一個對講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于20千米時，兩人可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問：(1)兩人出發(fā)后多久可以開始用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)?(2)他們用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長時間相遇?(3)他們可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長時間?〔第四屆希望杯試題〕分析與解：(1)(260-20)÷(32+48)=3(小時)。(2)20÷(32+48)=0.25(小時)。(3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20千米也用0.25小時．所以他們一共可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)0.25+0.25=0.5(小時)。例7、甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？分析與解：甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時共走了3個AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個64千米，再由上圖可知：減去一個48千米后，正好等于一個AB全程.解：①AB間的距離是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.②兩次相遇點(diǎn)的距離為144—48－64＝32〔千米〕.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.※例8趙伯伯為鍛煉身體，每天步行3小時，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假設(shè)趙伯伯在平路上每小時行4千米，上山每小時行3千米，下山每小時行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少米？〔第五屆希望杯試題〕分析與解：趙伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度為3千米，下山速度為6千米，上山與下山的平均速度是多少？〔這是一個易錯題〕可以通過“設(shè)數(shù)〞的方法讓四年級同學(xué)明白。設(shè)上山路程為6千米，〔想一想為什么設(shè)6千米？還可以設(shè)幾千米？〕上山時間為：6÷3=2〔時〕下山時間為：6÷6=1〔時〕上下山的平均速度為：〔6＋6〕÷〔2＋1〕=4千米又因?yàn)槠铰返乃俣纫矠?千米/小時，所以趙伯伯每天鍛煉走的路程為：4×3=12千米?！咎魬?zhàn)自我】1、小明、小華和小新三人家在同一條街道上，小明家在小華家西300米處，小新家在小明家東400米處，那么小華家和小新家相距多少米？〔第三屆希望杯試題〕答案：畫圖得100米。2、小明家離學(xué)校2千米，小光家離學(xué)校3千米，小明和小光的家相距多少千米？〔第一屆希望杯試題〕答案：1千米與5千米之間。分類討論，一題多解。當(dāng)小明家與小光家在同一側(cè)時，距離最近為1千米。當(dāng)小明家與小光家方向相反時，距離最遠(yuǎn)為5千米。但是小明和小光家可能不在一條直線上，所以小明與小光家的距離應(yīng)在1千米至5千米之間。3、甲乙兩個港口相距400千米，一艘輪船從甲港順流而下，20小時可到達(dá)乙港。順?biāo)偈悄嫠俚?倍。有一次，這艘船在由甲港駛向乙港途中遇到突發(fā)事件，反向航行一段距離后，再掉頭駛向乙港，結(jié)果晚到9個小時。輪船的這次航行比正常情況多行駛了多少千米？〔第四屆希望杯試題〕答案：順?biāo)俣仁?00÷20=20〔千米〕逆水速度是20÷2=10〔千米〕反向航行一段距離順?biāo)畷r用的時間是9÷〔2＋1〕=3〔小時〕比正常情況多行駛的路程是20×3×2=120〔千米〕4、兩列相同而行的火車恰好在某站臺相遇。如果甲列車長225米，每秒行駛25米，乙列車每秒行駛20米，甲、乙兩列車錯車時間是9秒。求：〔1〕乙列車長多少米？〔2〕甲列車通過這個站臺用多少秒？〔3〕坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了多少秒？〔第二屆希望杯試題〕答案：〔1〕乙列車長180米〔2〕甲列車通過這個站臺用多9秒〔3〕坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了4秒5、甲、乙兩車同時從A、B兩地沿相同的方向行駛，甲車如果每小時行60千米，那么5小時可追上前方的乙車；如果每小時行駛70千米，那么3小時可追上前方的乙車。由上可知，乙車每小時行駛多少千米？〔第三屆希望杯試題〕答案：乙車每小時行駛45千米?！揪C合練習(xí)】1、甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，甲車到達(dá)B城需4小時，乙車到達(dá)A城需6小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？答案：240÷〔240÷4＋240÷6〕＝2.4〔小時〕.2、小明家在學(xué)校東400米處，小紅加在小明家的西200米處，那么小紅家距離學(xué)校多少米？〔第三屆希望杯試題〕答案：畫圖解題，小紅家距學(xué)校200米。3、甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離？答案：①A、B兩地間的距離：4×3—3＝9〔千米〕.②兩次相遇點(diǎn)的距離：9－4－3＝2〔千米〕.4、周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。林蔭道周長是480米，他們從同一地點(diǎn)同時背向而行。在他們第10次相遇后，王老師再走多少米就回到出發(fā)點(diǎn)？〔第四屆希望杯試題〕答案：幾分鐘相遇一次：480÷〔55＋65〕=4〔分鐘〕10次相遇共用：4×10=40〔分鐘〕王老師40分鐘行了：55×40=2200〔米〕2200÷480=4〔圈〕……280〔米〕所以正好走了4圈還多280米，480－280=200〔米〕答：再走200米回到出發(fā)點(diǎn)。5、“希望號〞和“奧運(yùn)號〞兩列火車相向而行，“希望號〞車的車身長280米，“奧運(yùn)號〞車的車身長385米，坐在“希望號〞車上的小明看見“奧運(yùn)號〞車駛過的時間是11秒，求：〔1〕“希望號〞和“奧運(yùn)號〞車的速度和？〔2〕坐在“奧運(yùn)號〞車上的小強(qiáng)看見“希望號〞車駛過的時間？〔3〕兩列火車的會車的時間？答案：〔1〕速度和35米/秒；〔2〕8秒；〔3〕會車時間19秒。5．小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)〔相遇指迎面相遇〕？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×3＝10.5〔千米〕.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2＝8.5〔千米〕.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離〔3＋2＋2〕倍的行程.其中張走了3.5×7＝24.5〔千米〕，24.5=8.5＋8.5＋7.5〔千米〕.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1〔千米〕.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.35甲、乙、丙是一條路上的三個車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和小明同時分別從甲、丙兩站出發(fā)相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過乙站100米時與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立即返回，經(jīng)過乙站300米時又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫圖如下：分析與解：結(jié)合上圖，我們可以把上述運(yùn)動分為兩個階段來考察：①第一階段——從出發(fā)到二人相遇：小強(qiáng)走的路程=一個甲、乙距離+100米，小明走的路程=一個甲、乙距離-100米。②第二階段——從他們相遇到小強(qiáng)追上小明，小強(qiáng)走的路程=2個甲、乙距離-100米+300米=2個甲、乙距離+200米，小明走的路程=100+300=400〔米〕。從小強(qiáng)在兩個階段所走的路程可以看出：小強(qiáng)在第二階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應(yīng)走400÷2＝200〔米〕，從而可求出甲、乙之間的距離為200＋100=300〔米〕。47、現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時候時針與分針第一次重合？分析與解：3點(diǎn)時分針指12，時針指3。分針在時針后5×3＝15〔個〕格.48、有一座時鐘現(xiàn)在顯示10時整。那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第二次重合？

解：10時整，分針與時針距離是10格，需要追擊的距離是〔60-10〕格，分針走60格，時針走5格，即分針走1格，時針走5/60=1/12格。

第一次重合經(jīng)過〔60-10〕/〔1-1/12〕=54〔6/11〕〔分〕

第二次重合再經(jīng)過60/〔1-1/12〕=65〔5/11〕〔分〕

答：經(jīng)過54〔6/11〕分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過65〔5/11〕分鐘，分針與時針第二次重合。2點(diǎn)鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角？分析與解：在2點(diǎn)整時，分針落后時針5×2=10〔個〕格，當(dāng)分針與時針第一次成直角時，分針超過時針60×〔90÷360〕=15〔個〕格，因此在這段時間內(nèi)分針要比時針多走10+15=25〔個〕格，所以到達(dá)這一時刻所用的時間為：49、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上？分析與解：分兩種情況進(jìn)行討論。①分針與時針的夾角為180°角：當(dāng)分針與時針的夾角為180°角時，分針落后時針60×〔180÷360〕=30〔個〕格，而在9點(diǎn)整時，分針落后時針5×9=45〔個〕格.因此，在這段時間內(nèi)分針要比時針多走45-30=15〔個〕格，而每分鐘分針比時針多走〔分鐘〕。②分針與時針的夾角為0°，即分針與時針重合：9點(diǎn)整時，分針落后時針5×9=45〔個〕格，而當(dāng)分針與時針重合時，分針要比時針多走45個格，因此到達(dá)這一時刻所用的時間為：45÷(1-1/12)＝49又1/11〔分鐘〕19、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。解：先畫圖如下：【方法一】假設(shè)設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，那么由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D那么用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應(yīng)為：〔26-6〕=20〔分〕。同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×〔26＋6〕=1600〔米〕.所以，甲的速度為1600÷20＝80〔米/分〕，由此可求出A、B間的距離。50×〔26+6〕÷〔26-6〕=50×32÷20＝80〔米/分〕〔80+50〕×6＝130×6=780〔米〕答：A、B間的距離為780米。【方法二】設(shè)甲的速度是x米/分鐘那么有(x-50)×26=(x+50)×6解得x=80所以兩地距離為(80+50)×6=780米5．小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)〔相遇指迎面相遇〕？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×3＝10.5〔千米〕.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2＝8.5〔千米〕.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離〔3＋2＋2〕倍的行程.其中張走了3.5×7＝24.5〔千米〕，24.5=8.5＋8.5＋7.5〔千米〕.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1〔千米〕.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.例20從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行.1小時20分后，在第二段的1/3處〔從甲方到乙方向的1/3處〕相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？解一：畫出如下示意圖：當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩局部兩車在第二段的1/3處相遇，水明甲城汽車從D到E走完第一段，與乙城汽車走完第二段的1/3從C到F，所用時間相同，設(shè)這一時間為一份，一小時20分相當(dāng)于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要30×3＝90〔分鐘〕；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時間〞使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配〞方法求出各段所用時間.解二：走第一段的2/5,與走第三段時間一樣就得出第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.D至E與C至F所用時間一樣，就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時間一樣。第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是：5∶9∶2.行程問題〔三〕相遇問題是指兩個物體在行進(jìn)過程中相向而行，然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：總路程=速度和×相遇時間追及問題是指兩個物體在行進(jìn)過程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：路程差=速度差×追及時間姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車以每分鐘240米的速度從學(xué)校往家中騎，經(jīng)過幾分鐘妹妹可以追上姐姐？分析：經(jīng)過12分鐘，姐姐到達(dá)A地，妹妹騎車回家。如下列圖所示：一輛公共汽車和一輛小轎車同時從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車每小時行35千米，小轎車每小時行55千米，幾小時后兩車相距90千米？分析：兩車從相距360千米的兩地同時出發(fā)相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時刻兩車相距90千米。如下列圖這時兩車共行的路程為360－90=270〔千米〕值得注意的是，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時刻，兩車再一次相距90千米。如下列圖所示兄弟兩人騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時行15千米，弟弟每小時行10千米。出發(fā)半個小時后哥哥因事返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽誤了1小時，然后動身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時，距學(xué)校多少千米？分析：此題可以分段考慮，從開始一步步分析。出發(fā)半個小時后，哥哥因事返回學(xué)校，在這個過程中哥哥和弟弟各行了1小時，到學(xué)校后哥哥又耽誤了1小時，這時弟弟又行了1小時。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追弟弟時，弟弟共行了2小時，弟弟2小時所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追及時間。小張、小明兩人同時從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫圖如下5在周長為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車同時同向出發(fā)〔順時針〕沿圓周行駛，經(jīng)過多長時間，甲第二次追上乙？分析：如圖，在出發(fā)的時候，甲、乙兩人相距半個周長，根據(jù)路程差÷速度差=追及時間，就可求出甲第一次追上乙的時間。當(dāng)甲追上乙后，兩人就可以看作同時同地出發(fā)，同向而行。甲要追上乙，就要比乙多騎一圈400米，從而可求出甲第二次追上乙的時間。客車、貨車、卡車三輛車，客車每小時行60千米，貨車每小時行50千米，卡車每小時行55千米。客車、貨車從東鎮(zhèn)，卡車從西鎮(zhèn)，同時相向而行，卡車遇上客車后，10小時后又遇上了貨車。東西兩鎮(zhèn)相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫圖當(dāng)卡車與客車在A點(diǎn)相遇時，而貨車行到B點(diǎn)，10小時后，卡車又遇到貨車，說明在10小時內(nèi)卡車與貨車合行路程是〔卡車與客車相遇時〕客車與貨車所行的路程差?？蛙嚺c貨車相差A(yù)B的路程所用的時間就是卡車與客車的相遇時間。例8姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米?A．600米B．800米C．1200米D．1600米〔2003年中央A類〕解析：此題將追及問題和一般路程問題結(jié)合起來，是一道經(jīng)典習(xí)題。首先求姐姐多少時間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。所以，正確答案為A。練習(xí)：甲乙兩人從相距50千米的兩地同時出發(fā)，相向而行。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時跑12千米，這只狗同甲一道出發(fā)，；碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊跑，碰到甲時又往乙那邊跑，直到兩人相遇，這只狗一共跑了多少千米？例9某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍〔2003年中央B類〕解析，如果接勞模往返需1小時，而實(shí)際上汽車2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度〔時間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分〕走的距離和汽車所行的距離〔2點(diǎn)到2點(diǎn)15分〕相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，那么可列方程5/4A=1/4AX解得X=5所以，正確答案為A。例10甲乙兩人騎車同時從南北兩地相向而行，甲每小時行23千米，乙每小時行18千米，兩人在距兩地中點(diǎn)10千米處相遇，南北兩地相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫圖如下從圖中可以看出，甲走了南北距離的一半多10千米，乙走了南北距離的一半少10千米。從出發(fā)到相遇，甲比乙多走了兩個10千米。又甲每小時比乙多行23－18=5〔千米〕多少小時后甲就比乙多行20千米？這個時間就是甲乙相遇時間，有了相遇時間，南北兩地的距離就可求出了。例11甲、乙兩人同時從東、西兩地分別出發(fā)，如果兩人同向而行，甲28分鐘追上乙；如果兩人相向而行，8分鐘相遇。乙每分鐘行50米，東西兩地相距