高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市七校2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題1.集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由題意可知，解得，所以.所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗命題“，”的否定為，.故選：D.3.已知第二象限角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以故選：A.4.函數(shù)的部分圖象大致形狀是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，令可得或，當(dāng)時(shí)，，，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.故選：C.5.古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論，他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)，，，，如圖，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗記，由圖知：，，，所以.故選：B.6.“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，它在很多特殊領(lǐng)域發(fā)揮了超常的貢獻(xiàn)值．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．現(xiàn)以邊長為4的正三角形作一個(gè)“萊洛三角形”，則此“萊洛三角形”的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正三角形的面積為，圓弧的長度為，故一個(gè)弓形的面積為，故“萊洛三角形”的面積為.故選：A7.定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)，有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，即是周期為4、關(guān)于對稱的偶函數(shù)，又時(shí)，且在上有5個(gè)零點(diǎn)，、在上的圖象如下，又恒過，要使、有5個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B.8.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，正數(shù)滿足，所以，即，所以，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值是，所以的最小值為.故選：B.二、多選題9.已知函數(shù)，部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象〖答案〗BC〖解析〗由圖可知，函數(shù)的周期，，由，解得，將代入函數(shù)，可得方程，解得，由，則，所以.對于A，由，則，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可知不是函數(shù)的對稱中心，故A錯(cuò)誤；對于B，由，則，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可知直線是函數(shù)的對稱軸，故B正確；對于C，由，則，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，由，該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位可得新函數(shù)的〖解析〗式為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故正確；對于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故正確；對于D，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故正確.故選：BCD.11.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為.游客乙所在座艙與甲所在座艙間隔7個(gè)座艙.在運(yùn)行一周的過程中，甲、乙倆人距離地面的高度差.下述結(jié)論正確的是（）A. B.C.在運(yùn)行一周的過程中，的時(shí)間超過10min D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意可得是關(guān)于的三角函數(shù)，如圖所示，以摩天輪軸心為原點(diǎn)，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪距地面最近點(diǎn)為P，則當(dāng)時(shí)，游客甲位于，以O(shè)P為終邊的角為，而轉(zhuǎn)一圈需要大約30min，可知角速度大約為，由題意可得：，即A正確；當(dāng)時(shí)，，即B錯(cuò)誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：，故，即高度超過90+2.5米時(shí)時(shí)間長20-10=10min，顯然高度超過90米的時(shí)間長超過10min，故C正確；甲乙所在位置分別設(shè)為A、B兩點(diǎn)，甲乙座艙差7個(gè)，則，故t分鐘后甲乙的高度分別為：，，其高度差為：，即D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)C.對恒有，則整數(shù)的最大值為D.若，則有〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，對于A，當(dāng)時(shí)，，有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，令，則，當(dāng)時(shí)，，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由選項(xiàng)A知，在上遞增，又，則，使得，因此函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，對恒有，故，由選項(xiàng)B知，，則有，由得：，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，則有，故，因此整數(shù)的最大值為，C不正確；對于D，當(dāng)時(shí)，令，則，，函數(shù)在上遞減，，即，函數(shù)在上遞增，，即，令，，顯然在上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，成立，D正確．故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題13.已知向量、的夾角為，，，則______．〖答案〗7〖解析〗因?yàn)橄蛄?、的夾角為，，，則，則，所以．故〖答案〗為：7.14.已知是銳角，且，則___________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，則，而，所以.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若不等式對任意均成立，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，因在R上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在R上為增函數(shù)，變形為，故，令，得，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故，解得.故〖答案〗為：16.在中，角的對邊分別為，，，滿足，，則______，的面積最大值為______．〖答案〗123〖解析〗由可得，由，則，，因?yàn)?，所以，故，又，，則，因?yàn)?，所以，則，即，故，由正弦定理得，由余弦定理得，則，則；因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號．故，面積最大值為．故〖答案〗為：12，3.四、解答題17.已知集合，.（1）求，.（2）已知集合，若滿足______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請從①，②，③中選一個(gè)填入（2）中橫線處進(jìn)行解答.解：（1）因?yàn)?，，所以，，所以?（2）選①，因?yàn)?，所以，若，則，解得；若，則，解得，綜上，.選②，因?yàn)椋?，若，則，解得；若，則，解得，綜上，.選③，因?yàn)?，所以，若，則，解得；若，則，解得，綜上，.18.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的值域．解：（1）∵∴的最小正周期，由,解得的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，則函數(shù)在上的值域.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上最大值和最小值;（2）若對任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．解：（1）由題設(shè)，則，所以在上，遞增，在上，遞減，則，極大值，綜上，最大值為，最小值為.（2）由在上，根據(jù)題意，只需即可，由且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增且值域?yàn)镽，所以滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，上，遞增；上，遞減；所以，此時(shí)，可得，綜上，a的取值范圍.20.在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，.（1）求的大?。唬?）若，，為的中點(diǎn)，求.（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?（2）解：在中，因?yàn)椋?，所以，解得或?dāng)時(shí)，，則為鈍角，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，則為銳角，合乎題意，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，故.21.近日，隨著李佳琦直播事件的持續(xù)發(fā)酵，國貨品牌上演花式直播．現(xiàn)有一品牌商也想借這個(gè)熱度，采取了“量大價(jià)優(yōu)”“廣告促銷”等方法，提高其下某商品的銷售額．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品供不應(yīng)求，生產(chǎn)出來都能銷售完．且此商品的月銷售量（萬件）與廣告促銷費(fèi)用（萬元）滿足：，該產(chǎn)品的單價(jià)與銷售量之間的關(guān)系定為：萬元，已知生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品的成本為8萬元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為萬元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本-廣告促銷費(fèi)用）（2）當(dāng)廣告促銷費(fèi)用定為多少萬元的時(shí)候，該產(chǎn)品的利潤最大？最大利潤為多少萬元？．解：（1）由題意可知.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以當(dāng)廣告促銷費(fèi)用定為2.5萬元的時(shí)候，該產(chǎn)品利潤最大，為15.5萬元22.設(shè)且，．（1）若，求在處的切線方程；（2）若存在極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②證明（1）解：先作換底變換：．則，當(dāng)時(shí)，則，而，則切線方程為，即.（2）①解：由（1）知，分母不影響符號，故只研究分子的變化情況．設(shè)，則．第一種情形，若，則，而，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)趨近