2022-2023學(xué)年上海奉賢區(qū)致遠高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

I.已知集合人={1,2,3,4,…,2014,2015},集合3={小=3%+1,/Z},則AcB中的最大元素是（）

A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不對

A

【分析】由題意可知集合B表示整數(shù)的3倍且大1的數(shù)的集合，則找出集合A中符合條件的最大元

素即可.

【詳解】因為集合3={Hx=3A+l,keZ},表示整數(shù)的3倍且大1的數(shù)的集合，

4={1,2,3,4,…,2014,2015},

所以AcB中的最大元素為2014,

故選：A

2.下列計算正確的是（）

A.（2a-l）~=4/-1B.a+2a2=3/

C.必±2D.（-a2）''=-a6

D

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算逐一判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】V（2a-l）2=4a2-4a+l,，A錯誤；

2a2不是同類項，?,.0+2a2。3a3,，B錯誤;

：〃=2，，C錯誤；

??,（-叫3=-&6,...D正確,

故選:D.

3.下列五個寫法:①0e{l,2,3}：②0a{0}；③{0,1,2}三{1,2,0}；@Oe0；⑤

010=0其中錯誤寫法的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

C

【分析】根據(jù)空集的定義，以及元素與集合，集合與集合的關(guān)系即可逐一判斷.

【詳解】對于①；0a{1,2,3},故錯誤，

對于②；空集是任意集合的子集，故0[{0},故正確，

對于③；任意集合是自身的子集，故{0,1,2}={1,2,0},故正確，

對于④，空集是不含任何元素的集合，故錯誤，

對于⑤，0是元素，空集是集合，兩者不可以求交集，故錯誤，

故選：C

4.古希臘時期，人們把寬與長之比為與的矩形稱為黃金矩形，把這個比值也二1

2I2)2

稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,

MM/K均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與尸間的距離小于11米，則該古建筑中A

與B間的距離可能是()(參考數(shù)據(jù):0.6182?0.382.0.6183?0.236,0.6184?0.146,0.6185?0.090.

0.6186?0.056,0.6187?0.034)

DC

H

B

A.30.3米B.30.1米C.29.2米D.27.4米

D

【分析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)|A8|=x米，”=存！=0.618,從而表示出M與K間的距離、C與尸間的距

離，列出不等式求解后比較各選項即可.

【詳解】設(shè)|明=》米，Q=^1，0.618,

因為矩形ABC。，EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,均為黃金矩形，

所以忸C]=or,|C@=a2x,\GF\=a3x,

|GJ|=a4x,\jK\=a5x,\KM\=a6x,

又因為M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米,

,ax>1.5

所以12,解得26.786<x<28.796,

a'x<\1

比較各選項可知該古建筑中A與B間的距離可能是27.4米.

故選：D

二、填空題

5.已知XG{1,2},則實數(shù)x為.

1或2

【分析】根據(jù)元素和集合的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：因為xe{l,2},所以x=l或x=2.

故1或2.

6.設(shè)（7={2,3,5},A={a-5,2},了={5},則實數(shù)。的值是.

8

【分析】根據(jù)全集，補集概念得。-5=3即可解決.

【詳解】由題知：U={2,3,5},A={a—5,2},A={5},

所以a-5=3>得a=8,

故8.

7.“所有偶數(shù)都不是素數(shù)”是命題.（填“真”或“假”）

假

【分析】由2既是偶數(shù)又是素數(shù)即可解決.

【詳解】所有偶數(shù)都不是素數(shù)，是錯的，例如2既是偶數(shù)又是素數(shù).

故假.

8.己知。>0,6>0,化簡：（媯?.“7=一.（用分數(shù)指數(shù)募表示）

33,“33

aib2##b2a2

【分析】將根式化為分數(shù)指數(shù)幕，再進行相關(guān)計算.

2Y2333

（a??（/）3=aa^b2=a-

故藤

9.若Q>/?>C>0,那么一__7.（用“〉或<或="填空）

ab

<

利用不等式的性質(zhì)可得答案

【詳解】解：因為。>人>。>0,所以他>0,

所以￡>二，即

ababba

因為c>0,所以：>￡，W-<7，

baab

故<

此題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

10.已知A={x|-l<x<3},B={x|x<a},若AgB,則實數(shù)。的取值范圍是.

[3,一）

【分析】根據(jù)子集概念，即可得到結(jié)果.

【詳解】；A={x|-l<x<3},B=[x\x<a],若4勺8,

/.4Z>3,

故[3,+oo）

11.通過三角不等式可知卜+3|+卜-427,則等號成立的條件為.

xe[-3,4]

【分析】根據(jù)三角不等式的定義結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出答案.

【詳解】解：由三角不等式可知?+3|+k一4|=卜+3|+|4-可2,+3+4—耳=7,

當(dāng)且僅當(dāng)（X+3）（4-X）20,即-3Vx44時，取等號，

所以等號成立的條件為為xe[-3,4].

故答案為.xw[-3,4]

12.若方程以2+次+。=0（。<0）有唯一的實數(shù)根3,則不等式以2+bx+cZO的解集為一

{布=3}

【分析】由題設(shè)條件得到拋物線曠=以2+法+c（a<0）的圖象特點，即可求得不等式的解集

【詳解】由已知得拋物線卜=以2+加+。（。<0）的開口向下，與x軸交于點（3,0）,

故不等式加+Z?x+cNO的解集為{#=3}.

故{巾=3}

13.某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32m2的矩形空地，并計劃在該空地上設(shè)置

三塊全等的矩形試驗區(qū)(如圖所示).要求試驗區(qū)四周各空0.5m,各試驗區(qū)之間也空0.5m.則每塊試

驗區(qū)的面積的最大值為

6

【分析】設(shè)矩形空地的長為xm,根據(jù)圖形和矩形的面積公式表示出試驗區(qū)的總面積，利用基本不等

式即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)矩形空地的長為xm,則寬為3絲2m,

x

依題意可得，試驗區(qū)的總面積S=(x-0.5x4)(衛(wèi)-0.5x2)=34-x—史434—?%=18,

\xjxvx

當(dāng)且僅當(dāng)了=6組4即x=8時等號成立，

x

1Q

所以每塊試驗區(qū)的面積的最大值為q=60?.

故6

14.關(guān)于R的不等式組八的解集不是空集，則實數(shù)。的取值范圍是________

[x-〃>0

(-co,-l)U(0,+co)

【分析】由題意，分類討論。的范圍，先判斷。>0時滿足條件，當(dāng)a<0時，再根據(jù)求出。的

a

范圍，綜合即可得出結(jié)果.

[ax>1

【詳解】解：???關(guān)于x的不等式組八的解集不是空集，.??〃/(),

[X-6Z>0

\ax>\一

當(dāng)。>0時，滿足不等式組八的解集不是空集，滿足條件；

[x-〃>0

1

\ax>\x<—

當(dāng)〃<0時，不等式組八，即

x-?>0

???它的解集不是空集,

1

：.a<-,即j>0,api-?2<0,

aa

綜上可得，。的范圍為(-8,-DU(O,+8),

故(-8,-1)U(O,+8).

本題考查根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)范圍，以及一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思

想，屬于中檔題.

15.如果不等式以2+法+。<0的解集是或x>〃}(加<"<0),則關(guān)于x的不等式

ex2-bx+a>0的解集是.

【分析】根據(jù)題意，由根與系數(shù)的關(guān)系式，即可求出不等式ar2+6x+c<0中機，〃與“，仇c的關(guān)系，由

此求出不等式c/一區(qū)+”>()的解集.

【詳解】：關(guān)于X的不等式依2+法+0<0的解集是{x|x<，洞沃>〃}(機<〃<0)

bc

「?a<O,m+n=——,mn=—

aa

**-c<0

，關(guān)于X的不等式cW一區(qū)+Q>()可化為：

rb/%+〃、11

且：-=-(-----)=-------

cnmmn

*,?不等式er?-〉0的解集為.()

mn

本題考查了含參的一元二次不等式的解法以及根與系數(shù)關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，

數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

16.已矢lUcN",記集合4={xk=%x2"+%_1X2i+,??+4x2i+/x2°,%=1,%，4，??、%一1=0或1},

例如A={小=24+出嗎=1,劭=?；?}={2,3},….現(xiàn)有一款名稱為“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”網(wǎng)

絡(luò)游戲，它的激活碼為集合4的各元素之和，則該游戲的激活碼為.

22

【分析】由已知得4=卜|工二4電+24+4,出=1，4，佝=0或1},由此求得集合&={45,6,7},故而可

得答案.

【詳解】解：由已知得4={乂*=4%+26+%嗎=1嗎,4=0或1},

所以當(dāng)q=%=0時，x=4xl+0+0=4；

當(dāng)4=1,4=0時，x=4xl+2xl+0=6；

當(dāng)4=0,ao=l時，x=4xl+2x0+lxl=5,

當(dāng)4=1,4=1時，x=4xl+2xl+lxl=7,

所以&={4,5,6,7},該游戲的激活碼為4+5+6+7=22,

故22.

三、解答題

17.設(shè)4={乂丁+o￥-2=。},8={x*-3x+b=o},4c3={1},C={2,Y}.

⑴求a、6的值及4、B；

(2)求(AuB)ce.

(l)a=l,b=2,A={-2,1},8={1,2}；

(2)(AU?)nC={-2,l}.

【分析】(1)根據(jù)ACB={1}得到leA,lwB,將x=l代入方程，求出a=l,b=2,從而求出A、B；

(2)求出AuB={_2,1,2},從而得到(AUB)n6={—2,1}.

【詳解】(1)因為AcB={l},故leAleB,

所以1+。-2=0,l-3+b=0,

解得：?=1,b=2,

2

故4={小2+》-2=0}={-2,1},B={X|X-3X+2=0}={1,2};

(2)AuB={-2,l,2},(AUB)nC={-2,l}.

18.已知幕函數(shù)y=x"7(〃zeN)的圖像與x軸、y軸都無交點，且關(guān)于y軸對稱，求m的值，并畫出

函數(shù)的圖像.

機=0或m=2圖像見解析

【分析】先由題得〃?42,再根據(jù)嘉函數(shù)的奇偶性得到%=0或，〃=2.再畫出基函數(shù)的圖象.

【詳解】?基函數(shù)y=x"i的圖像與x軸、y軸都無交點，.?.〃L240,即加￡2.

又znwN,/.m-0,1,2.

■.?某函數(shù)y=W-2的圖像關(guān)于y軸對稱，

:.m=0^m=2.

當(dāng)機=0時，幕函數(shù)為＞=工2,圖像如圖①所示；

當(dāng)m=2時，基函數(shù)為y=x°=l(x*0),圖像如圖②所示.

本題主要考查幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查幕函數(shù)的解析式的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

19.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).對數(shù)運算與指數(shù)基

運算是兩類重要的運算.

(1)根據(jù)所學(xué)知識推導(dǎo)如下的對數(shù)運算性質(zhì)：如果。＞0,且M＞0,那么

log"M"=nlog“M(neR)；

(2)請你運用(1)中的對數(shù)運算性質(zhì)計算段(譬+器)的值;

1g411g9lg27)

⑴證明見解析

【分析】(1)設(shè)x=k)g,M,化為指數(shù)式取對數(shù)即可得出.

(2)利用(1)中的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(1)證明：因為。＞0,且awl,M＞0,設(shè)x=k?g.M,所以M=",

所以M"=(a")"=d

1

所以log"M"=logna''-nx=nloguM,即log(JM"-?log?A/(neR).

(2)解妲(暨+里吟=里(叱+跤里(些+些工里.9』

J

lg4(Ig9lg27)lg2211g32lg3)21g2121g331g3J21g261g312

20.己知關(guān)于x的不等式曾<0的解集為P,不等式,-1<1的解集為Q.

⑴若"=；,求P

⑵若P=(-8,T)U[-；,+<?],求"的值；

(3)若“xeQ”是“xeP”的充分非必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

(1)P=(-1,2)

(2)a=-2

(3)(-8,g]

【分析】(1)將a=；代入不等式，將分式不等式化為一元二次不等式，解之即可；

(2)將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，根據(jù)不等式的解集，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得

(3)分別確定集合P與。，根據(jù)命題的充分必要性可得集合P與Q的包含關(guān)系，進而可得實數(shù)。的取

值范圍.

1-11

【詳解】(1)因為所以不等式竺三<0可化為5'T-n，

2x+\-----<u

x+1

也即(x—2)(x+l)<0,解得：-1<X<2,故p=(-l,2).

(2)由不等式號<0可化為(依-D(x+l)<0,因為關(guān)于X的不等式警1<0的解集為

P=(_8,_l)u(_g,+8),

所以-1和是方程3T)(x+D=0的兩根，

所以。=-2.

(3)因為不等式,一1卜1可化為：解得：0<x<2,所以。=(0,2),又因為“xeQ”是

“xeP”的充分非必要條件，所以。是尸的真子集，

當(dāng)a=0時，尸=(-1,+8),滿足題意；

當(dāng)a>0時，P=(-1，-),要使。是尸的真子集，則有‘22,所以

當(dāng)一1<"0時，P=(-?2)U(T,+s)，滿足。是尸的真子集，

a

當(dāng)a=—1時，P=(YO,-1)U(-L”)，滿足。是尸的真子集，

當(dāng)”-1時，P=(7,-l)U(',+8),滿足。是尸的真子集，

a

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為(-8,5.

21.已知一元二次方程以2+fer+c=Om，A，ceR,axO)的兩個實根為公，々；

⑴若4=6=1,0(),求|西|+同的值;

⑵若b+c=0,必<0,用反證法證明玉，巧中至少有一個大于等于2;

(3)若3a+2/?+c=(),設(shè)必=x,「2(i=l,2),若％,%是方程丁+沖+〃=0(見〃eR)的實根，求實數(shù)

，〃的取值范圍.

(1)1

(2)證明見解析

(3)(—2]U[2,+°°)

【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用韋達定理首先判斷為與巧的符號，進而即可求出㈤+昆|的值；(2)

首先假設(shè)陽，巧都小于2,結(jié)合已知條件和韋達定理可得演和巧同號，且‘+'=1,再結(jié)合々和々

X]x2

的范圍推出矛盾即可證明；(3)首先利用判別式求出王+々的范圍，然后結(jié)合已知條件并利用韋達定

理求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=6=1,c>0時，f+x+c