教材知識(shí)特訓(xùn)三平行線與角的平分線的幾大模型平行線的兩線一點(diǎn)模型【例1】請(qǐng)你探究出圖1至圖4各圖中∠B，∠D與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系：圖1中，∠BED＝_∠B＋∠D__；圖2中，∠BED＝_360°－∠B－∠D__；圖3中，∠BED＝_∠D－∠B__；圖4中，∠BED＝_∠B－∠D__．【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目解題關(guān)鍵是作輔助線，即過(guò)拐點(diǎn)作平行線．過(guò)點(diǎn)E作射線EF∥AB，由平行于同一條直線的兩條直線平行，可得AB∥CD∥EF，再由平行線的性質(zhì)即可一一解答．平行線的兩線多點(diǎn)模型【例2】已知AB∥CD.(1)如圖1，探究∠B，∠D，∠E與∠F之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，直接寫(xiě)出∠B，∠D，∠E與∠F之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，你可以得到什么結(jié)論？(直接寫(xiě)出結(jié)論)【解析】類同【例1】作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)E作射線EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作射線FN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD.∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠D.∴∠B＋∠DFE＝∠BEF＋∠D；(2)圖2中，180°＋∠F＝∠B＋∠E＋∠D；(3)∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠B＋∠D.【例3】圖①中A1M∥A2N，圖②中A1M∥A3N，圖③中A1M∥A4N，圖④中A1M∥A5N，…，則圖中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝__180n__°(用含n的代數(shù)式表示).【解析】分別求出圖①、圖②、圖③中這些角的和，探究規(guī)律后，依據(jù)規(guī)律解決問(wèn)題即可．圖①中，∠A1＋∠A2＝180°＝1×180°；圖②中，∠A1＋∠A2＋∠A3＝360°＝2×180°；圖③中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540°＝3×180°；……圖中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝n·180°.三角形內(nèi)外角平分線所夾角模型模型點(diǎn)撥：通過(guò)角的平分線的性質(zhì)，常用三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，找到探求的兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，理解其推算過(guò)程，碰到類似題型快速而準(zhǔn)確求解，也可以逆推進(jìn)行驗(yàn)算．【例4】(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試寫(xiě)出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A__；(2)如圖2，點(diǎn)O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試寫(xiě)出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝eq\f(1,2)∠A__；(3)如圖3，點(diǎn)O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試寫(xiě)出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A__．角平分線性質(zhì)模型如圖，點(diǎn)P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B.結(jié)論：PA＝PB.模型點(diǎn)撥：過(guò)角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造此類模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口．【例5】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝15，BD＝25，求AC的長(zhǎng)．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由角平分線的性質(zhì)可知CD＝DE，根據(jù)勾股定理可得出BE的長(zhǎng)，再推出Rt△ACD≌Rt△AED，可得出AC＝AE，根據(jù)勾股定理即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.∵∠1＝∠2，∠C＝90°，∴CD＝DE＝15.在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2－DE2)＝eq\r(252－152)＝20.∵CD＝DE，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋20)2＝AC2＋(15＋25)2，∴AC＝30.角平分線與平行線模型如圖，點(diǎn)P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q.結(jié)論：△POQ是等腰三角形(PQ＝OQ).模型點(diǎn)撥：有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系．【例6】(1)已知：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(如圖1).圖中共有_______個(gè)等腰三角形，分別是_________________________；EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是________________________；(2)若將(1)中“在△ABC中，AB＝AC”改為“若△ABC為不等邊三角形”，其余條件不變(如圖2)，則圖中共有_______個(gè)等腰三角形，分別是_________________；EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(3)已知：如圖3，點(diǎn)D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EF與BE，CF之間有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明．【解析】本題關(guān)鍵是推出DE＝BE和CF＝DF.(1)(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后得出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；(3)由(2)知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代換即可得出BE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：(1)5；△ABC，△AEF，△DEB，