上海市上海理工大附中2023-2024學年高二數學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.2．雙曲線的左右焦點分別是，，直線與雙曲線在第一象限的交點為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.3．已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.4．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.5．在四面體中，設，若F為BC的中點，P為EF的中點，則＝（）A. B.C. D.6．設是定義在R上的函數，其導函數為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷7．已知，則（）A. B.1C. D.8．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.9．中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經》里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數列的規(guī)律計算得出的.二十四節(jié)氣中，從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規(guī)律，那么《周髀算經》中所記錄的立夏的晷影長應為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺10．已知等比數列的前項和為，首項為，公比為，則（）A. B.C. D.11．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時12．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下數據為某校參加數學競賽的名同學的成績：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.則這人成績的第百分位數可以是______14．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）.數學上把這樣的對稱自然數叫回文數，兩位數的回文數共有個（），其中末位是奇數的又叫做回文奇數，則在內的回文奇數的個數為___15．拋物線C：的焦點F，其準線過（-3，3），過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則p=___________；弦AB的長為___________.16．不等式是的解集為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）在一次重大軍事聯合演習中，以點為中心的海里以內海域被設為警戒區(qū)域，任何船只不得經過該區(qū)域．已知點正北方向海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東，且與點相距海里的位置，經過小時又測得該船已行駛到位于點北偏東，且與點相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）該船能否不改變方向繼續(xù)直線航行？請說明理由19．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知函數（1）若在上單調遞減，求實數a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數根，證明：21．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）22．（10分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據平面，平面求解.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故選：A2、D【解析】根據題意的到，，代入到雙曲線方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結果.【詳解】設原點為，∵直線與雙曲線在第一象限的交點在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負），故.故選:D.3、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值，再減去半徑即可.【詳解】設，由圓心，得，∴時，，∴故選：C.4、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數的等式與不等式，由此可解得實數的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.5、A【解析】作出圖示，根據空間向量的加法運算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因為P為EF中點，，F為BC的中點，則，故選：A6、A【解析】首先構造函數，再利用導數判斷函數的單調性，即可判斷選項.【詳解】設，，所以函數在單調遞增，即，所以，那么，即.故選：A7、B【解析】先根據共軛復數的定義可得，再根據復數的運算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B8、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒9、B【解析】根據等差數列定義求得公差，再求解立夏的晷影長在數列中所對應的項即可【詳解】設從冬至到夏至的十三個節(jié)氣依次為等差數列的前13項，則所以公差為，則立夏的晷影長應為(尺)故選：B10、D【解析】根據求解即可.【詳解】因為等比數列，，所以.故選：D11、B【解析】要找入園人數最多的，只要根據函數圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結合函數的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實際應用，屬于基礎題.12、A【解析】根據直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數關系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用百分位數的求法直接求解即可.【詳解】解：將所給數據按照從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.數據量，∵是整數，∴故答案為：.14、【解析】根據分類加法計數原理，結合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數的回文奇數有，共個，三位數的回文奇數有，四位數的回文奇數有，所以在內的回文奇數的個數為，故答案為：15、①.6；②.48.【解析】先通過準線求出p，寫出拋物線方程和直線方程，聯立得出，進而求出弦AB的長.【詳解】由知準線方程為，又準線過（-3，3），可得，；焦點坐標為，故直線方程為，和拋物線方程聯立，，得，故，又.故答案為：6；48.16、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質易得、，再根據線面垂直的判定及性質證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）海里/小時；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，計算出，即可求得該船的行駛速度；（2）求出直線的方程，計算出點到直線的距離，可得出結論.【小問1詳解】解：設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則坐標平面中，，且，，則、、，，所以，所以、兩地的距離為海里，所以該船行駛的速度為海里/小時.【小問2詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，所以直線會與以為圓心，以個單位長為半徑的圓相交，因此該船要改變航行方向，否則會進入警戒區(qū)域19、（1）（2）3【解析】（1）根據焦點三角形的性質可求出，從而可得標準方程,（2）聯立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】設，則由可得，此時恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設，則，故在上為增函數，故即的最大值為3.20、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數的導數，結合函數的導數與函數單調性的關系，參變分離后，轉化為求函數的最值，即可求得實數的取值范圍；（2）將方程的實數根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉化為證明，通過換元，構造函數，轉化為利用導數證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調遞減，在上恒成立，即，即在，設，，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以函數的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數根，即又2個不同實數根，且，，得，即，所以，不妨設，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數，所以，所以函數在上單調遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【點睛】本題考查利用導數的單調性求參數的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數與不等式的關系，通過構造函數，結合函數的導數，即可證明.21、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；22、（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質可得出平