四川樂(lè)山市2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知：，：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.4．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.5．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.8．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.9．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.10．設(shè)，則的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B.C. D.11．下列對(duì)動(dòng)直線的四種表述不正確的是（）A.與曲線C：可能相離，相切，相交B.恒過(guò)定點(diǎn)C.時(shí)，直線斜率是0D.時(shí)，直線的傾斜角是135°12．若直線過(guò)點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則__________.14．已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.16．已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）在2016珠海航展志愿服務(wù)開(kāi)始前，團(tuán)珠海市委調(diào)查了北京師范大學(xué)珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)如下表：?jiǎn)挝唬喝藚⒓又驹阜?wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)88未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)430（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率；（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A，A，A，A，A名女同學(xué)B，B，B現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A被選中且B未被選中的概率.20．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)與C相切，切點(diǎn)分別為A，B，證明：21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：22．（10分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.2、C【解析】由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，再根據(jù)對(duì)應(yīng)集合的包含關(guān)系可得答案.【詳解】由，即，設(shè),由是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件所以，則故選：C3、B【解析】先將通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)然后用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B4、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所?因?yàn)镸，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B5、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A6、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).因?yàn)?，所?所以要使直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A7、B【解析】由正方體表面積求得棱長(zhǎng)，再求得正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，由得，正方體對(duì)角線長(zhǎng)，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B8、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為9、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.10、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，，，所以是的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，所以是的非充分非必要條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項(xiàng)：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C.11、A【解析】根據(jù)過(guò)定點(diǎn)的直線系求出恒過(guò)點(diǎn)可判斷B，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷A，由直線方程可判斷CD.【詳解】直線可化為，令，，解得，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓C：內(nèi)部，所以必與該圓相交當(dāng)時(shí)，直線方程為，故斜率為0，當(dāng)時(shí)，直線方程為，故斜率為，傾斜角為135°.故選：A12、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以?xún)A斜角為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用直線所過(guò)點(diǎn)求得直線的斜率，從而求得.【詳解】由圖象可知直線過(guò)，所以直線的斜率為，所以.故答案為：14、【解析】由題知方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，且，時(shí)，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：15、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿(mǎn)足,利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確；設(shè)，根據(jù)題意可知，再根據(jù)在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因?yàn)闈M(mǎn)足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對(duì)于②中,由①可知，點(diǎn)在圓的外部,因?yàn)榈綀A心的距離,半徑為,所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對(duì)于③中,假設(shè)存在，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對(duì)于④中,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為，則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點(diǎn)，故曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.16、【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，應(yīng)垂直于該定點(diǎn)與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長(zhǎng)AB【詳解】（1）拋物線C：的準(zhǔn)線為，由得：，得.所以?huà)佄锞€的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，∴解得：，所以k的值為1或.【點(diǎn)睛】考核拋物線的定義及過(guò)焦點(diǎn)弦的求法18、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計(jì)算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，即，又過(guò)點(diǎn)，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，因?yàn)镕為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因?yàn)镕為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時(shí)，直線l過(guò)點(diǎn)B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿(mǎn)足題意.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，列出其一切可能的結(jié)果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率為；從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，共15個(gè)，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個(gè)，被選中且未被選中的概率為.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)共焦點(diǎn)求出參數(shù)c，由長(zhǎng)軸長(zhǎng)求參數(shù)a，即可確定C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）令過(guò)切線為，聯(lián)立橢圓C結(jié)合得到關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，對(duì)于橢圓C有，又橢圓的焦點(diǎn)為，則，所以，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程并整理可得：，由相切關(guān)系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用和項(xiàng)可求得的通項(xiàng)公式，注意別漏了說(shuō)明；（2）先用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時(shí)，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.