...wd......wd......wd...eq\a\vs4\al(第一節(jié)集合)[備考方向要明了]考什么怎么考1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2.集合間的根本關系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3.集合的根本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的根本關系及集合的根本運算.1.對集合的含義與表示的考察主要涉及集合中元素的互異性以及元素與集合之間的關系，考察利用所學的知識對集合的性質(zhì)進展初步探究的根本邏輯能力．如2012年天津T9等．2.對于兩個集合之間關系的考察主要涉及以下兩個方面：(1)判斷給定兩個集合之間的關系，主要是子集關系的判斷．如2012年全國T1，福建T1，湖北T1等．(2)以不等式的求解為背景，利用兩個集合之間的子集關系求解參數(shù)的取值范圍問題．3.集合的根本運算在高考命題中主要與簡單不等式的求解、函數(shù)的定義域或值域的求法相結(jié)合考察集合的交、并、補運算，以補集與交集的根本運算為主，考察借助數(shù)軸或Venn圖進展集合運算的數(shù)形結(jié)合思想和根本運算能力.2012陜西T1、上海T2等.[歸納·知識整合]1．元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合與元素的關系：假設a屬于A，記作a∈A；假設b不屬于A，記作b?A.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR[探究]1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}一樣嗎它們的元素分別是什么提示：這4個集合互不一樣，A是以方程x2＝0的解為元素的集合，即A＝{0}；B是函數(shù)y＝x2的定義域，即B＝R；C是函數(shù)y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是拋物線y＝x2上的點組成的集合．2．0與集合{0}是什么關系?與集合{?}呢提示：0∈{0}，?∈{?}或??{?}．2．集合間的根本關系表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都一樣A?B且B?A?A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素A?B或B?A真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集??A?B(B≠?)[探究]3.對于集合A，B，假設A∩B＝A∪B，則A，B有什么關系提示：A＝B.假設A≠B，則A∩BA∪B，與A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.3．集合的根本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B假設全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}[探究]4.同一個集合在不同全集中的補集一樣嗎提示：一般情況下不一樣，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的補集為?BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的補集為?DA＝{3}．[自測·牛刀小試]1．(2012·山東高考)全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}解析：選C由題意知?UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}．2．(教材改編題)集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，則()A．A?BB．B?AC．A??RBD．B??RA解析：選B∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，∴B?A.3．集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為()A．1或－1B．1或3C．－1或3D．1，－1或3解析：選B∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.當m＝3時，M＝{1,5,13}；當m＝1時，M＝{1,3,5}；當m＝－1時M＝{1,1,5}不滿足互異性．∴m的值為3或1.4．(教材改編題)集合A＝{1,2}，假設A∪B＝{1,2}，則集合B有________個．解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，∴B?A，∴B＝?，{1}，{2}，{1,2}．答案：45．集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，假設A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≥4，或x≤1}，且A∩B＝?，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>1，,a＋1<4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>2，,a<3.))即2<a<3.答案：(2,3)集合的根本概念[例1](2013·濟南模擬)假設集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2(2)集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，假設9∈(A∩B)，則實數(shù)a的值為________[自主解答](1)集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．故所求集合中元素的個數(shù)為3.(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2∴a＝5或a＝±3.當a＝5時，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合題意；當a＝3時，A＝{－4,5,9}，B不滿足集合中元素的互異性，故a≠3；當a＝－3時，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合題意．∴a＝5或a＝－3.[答案](1)C(2)5或－3本例(2)中，將“9∈(A∩B)〞改為“A∩B＝{9}〞，其他條件不變，則實數(shù)a為何值解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2即a＝5或a＝±3.當a＝5時，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，∴A∩B＝{－4，9}，不滿足題意，∴a≠5.當a＝3時，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，不滿足集合中元素的互異性，∴a≠3.當a＝－3時，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，∴A∩B＝{9}，符合題意，綜上a＝－3.———————————————————解決集合問題的一般思路(1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么．(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性．1．(1)非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}為非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(1)[1，＋∞)(2)(－∞，1]集合間的根本關系[例2]集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)－\f(1,2)<x≤2))，假設A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________．[自主解答]A中不等式的解集應分三種情況討論：①假設a＝0，則A＝R；②假設a<0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(4,a)≤x<－\f(1,a)))；③假設a>0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)－\f(1,a)<x≤\f(4,a))).當a＝0時，假設A?B，此種情況不存在．當a<0時，假設A?B，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>－\f(1,2)，,－\f(1,a)≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0或a<－8，,a>0或a≤－\f(1,2).))又∵a<0，∴a<－8.當a>0時，假設A?B，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≥－\f(1,2)，,\f(4,a)≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2或a<0，,a≥2或a<0.))又∵a>0，∴a≥2.綜上知，當A?B時，a<－8或a≥2.[答案](－∞，－8)∪[2，＋∞)保持例題條件不變，當a滿足什么條件時，B?A?解：當a＝0時，顯然B?A；當a<0時，假設B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2)，,－\f(1,a)>2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤a<0，,－\f(1,2)<a<0.))又∵a<0，∴－eq\f(1,2)<a<0.當a>0時，假設B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2)，,\f(4,a)≥2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤2，,0<a≤2.))又∵a>0，∴0<a≤2.綜上知，當B?A時，－eq\f(1,2)<a≤2.———————————————————根據(jù)兩集合的關系求參數(shù)的方法兩集合的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且經(jīng)常要對參數(shù)進展討論．2．集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，假設B?A，則實數(shù)m等于()A．3B．2C．2或3D．0或2或3解析：選D當B＝?時，m＝0，顯然成立；當B＝{2}時，eq\f(6,m)＝2，即m＝3；當B＝{3}時，eq\f(6,m)＝3，即m＝2.故m＝0或2或3.集合的根本運算[例3](1)(2012·陜西高考)集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，則M∩N＝()A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2](2)(2013·威海模擬)集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，假設A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，則A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，b))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－1))(3)(2013·武漢模擬)A，B均為集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{1}，(?UA)∩(?UB)＝{2,4}，則B∩(?UA)＝________.[自主解答](1)由lgx>0?x>1，∴M＝{x|x>1}，由x2≤4?－2≤x≤2，∴N＝{x|－2≤x≤2}，∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|1<x≤2}．(2)由A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))得2a＝eq\f(1,2)，解得a＝－1，則b＝eq\f(1,2).所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，則A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2))).(3)依題意及韋恩圖得，B∩(?UA)＝{5,6}．[答案](1)C(2)D(3){5,6}———————————————————1.集合的運算口訣集合運算的關鍵是明確概念.集合的交、并、補運算口訣如下：交集元素仔細找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補集.2.解決集合的混合運算的方法解決集合的混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的局部.當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進展運算；當集合是用不等式形式表示時，可運用數(shù)軸求解.3．(2013·棗莊模擬)全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0，1,2}，則圖中陰影局部所表示的集合為()A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}解析：選A由題易得集合A＝{0,1}，圖中陰影局部所表示的集合是不在集合A中，但在集合B中的元素的集合，即(?UA)∩B，易知(?UA)∩B＝{－1,2}．故圖中陰影局部所表示的集合為{－1,2}．集合中的新定義問題[例4]非空集合G關于運算⊕滿足：(1)對任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在c∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，則稱集合G關于運算⊕為“融洽集〞．現(xiàn)給出以下集合和運算：①G＝{非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；②G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；③G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法；④G＝{二次三項式}，⊕為多項式的加法．其中G關于運算⊕為“融洽集〞的是()A．①②B．①③C．②③D．②④[自主解答]②錯，因為不滿足條件(2)；④錯，因為不滿足條件(1)．[答案]B———————————————————解決新定義問題應注意以下幾點(1)遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)．(2)按新定義的要求，“照章辦事〞逐步分析、驗證、運算，使問題得以解決．(3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，排除、比照、特值等方法解訣．4．假設x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)是()A．1B．3C．7D．31解析：選B具有伙伴關系的元素組是－1；eq\f(1,2)，2.所以具有伙伴關系的集合有3個：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2)).1組轉(zhuǎn)化——兩個集合的運算與包含關系之間的轉(zhuǎn)化在集合的運算關系和兩個集合的包含關系之間往往存在一定的聯(lián)系，在一定的情況下，集合的運算關系和包含關系之間可以相互轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?，在解題中運用這種轉(zhuǎn)化能有效簡化解題過程．3種技巧——集合的運算技巧(1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進展合理轉(zhuǎn)化；對連續(xù)數(shù)集間的關系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號．(2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一表達．(3)兩個有限集合相等，可以從兩個集合中的元素一樣求解，如果是兩個無限集合相等，從兩個集合中元素一樣求解就不方便，這時就根據(jù)兩個集合相等的定義求解，即如果A?B，B?A，則A＝B.5個注意——解答集合題目應注意的問題(1)認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．(2)要注意區(qū)分元素與集合的附屬關系；以及集合與集合的包含關系．(3)要注意空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．(4)運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心．(5)在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性〞而導致解題錯誤.創(chuàng)新交匯——與集合運算有關的交匯問題1．集合的運算是高考的?？純?nèi)容，以兩個集合的交集和補集運算為主，且常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容相結(jié)合，以創(chuàng)新交匯問題的形式出現(xiàn)在高考中．2．解決集合的創(chuàng)新問題常分三步：(1)信息提取，確定化歸的方向；(2)對所提取的信息進展加工，探求解決方法；(3)將涉及到的知識進展轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關鍵，也是解題的難點．[典例](2012·重慶高考)設平面點集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\a\vs4\al(|)y－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))≥0))，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為()A.eq\f(3,4)πB.eq\f(3,5)πC.eq\f(4,7)πD.eq\f(π,2)[解析]不等式(y－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))≥0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≥0，,y－\f(1,x)≥0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,y－\f(1,x)≤0.))集合B表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圓內(nèi)部的點所構成的集合，A∩B所表示的平面區(qū)域如以下圖．曲線y＝eq\f(1,x)，圓(x－1)2＋(y－1)2＝1均關于直線y＝x對稱，所以陰影局部占圓面積的一半．[答案]Deq\a\vs4\al([名師點評])1．此題具有以下創(chuàng)新點(1)命題方式的創(chuàng)新：題目并不是直接求解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))≥0，,x－12＋y－12≤1))所表示的平面區(qū)域的面積，而是以求集合交集的形式考察．(2)考察內(nèi)容的創(chuàng)新：此題通過集合A，B考察了一元一次函數(shù)y＝x、反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象和圓的方程(x－1)2＋(y－1)2＝1，以及圓和函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象的對稱性、不等式所表示的平面區(qū)域等內(nèi)容．2．解決此題的關鍵有以下兩點(1)正確識別集合A與集合B中元素的幾何性質(zhì)，并正確畫出各自所表示的區(qū)域；(2)注意到圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x>0)的圖象都關于直線y＝x對稱．3．在解決以集合為背景的創(chuàng)新交匯問題時，應重點關注以下兩點(1)認真閱讀，準確提取信息，是解決此類問題的前提．如此題應首先搞清集合A與B的性質(zhì)，即不等式表示的點集．(2)剝?nèi)ゼ系耐獗?，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉是解決此類問題的關鍵，如此題去掉集合的外表，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式組表示的平面區(qū)域問題．eq\a\vs4\al([變式訓練])1．A＝{(x，y)|y＝|lnx|}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\a\vs4\al(|)\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))，則A∩B的子集個數(shù)為()A．3B．4C．2D．8解析：選BA∩B中元素的個數(shù)就是函數(shù)y＝|lnx|的圖象與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)，如以下圖．由圖可知，函數(shù)圖象和橢圓有兩個交點，即A∩B中有兩個元素，故A∩B的子集有22＝4個．2．設集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,,))\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x－\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)))<\r(2)，i為虛數(shù)單位，x∈R))，則M∩N為()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]解析：選C∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，且x∈R，∴y∈[0,1]，∴M＝[0,1]．在N中，x∈R且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,i)))<eq\r(2)，∴|x＋i|<eq\r(2)，∴x2＋1<2，解得－1<x<1，∴N＝(－1,1)．∴M∩N＝[0,1)．3．設M＝{a|a＝(2,0)＋m(0,1)，m∈R}和N＝{b|b＝(1,1)＋n(1，－1)，n∈R}都是元素為向量的集合，則M∩N＝()A．{(1,0)}B．{(－1,1)}C．{(2,0)}D．{(2,1)}解析：選C設c＝(x，y)∈M∩N，則有(x，y)＝(2,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(1，－1)，即(2，m)＝(1＋n,1－n)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝1＋n，,m＝1－n，))由此解得n＝1，m＝0，(x，y)＝(2,0)，即M∩N＝{(2,0)}．一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)1．(2012·遼寧高考)全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?UA)∩(?UB)＝()A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3}D．{2,4,6}解析：選B?UA＝{2,4,6,7,9}，?UB＝{0,1,3,7,9}，則(?UA)∩(?UB)＝{7,9}．2．S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，則S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1)D．{(1,1)}解析：選D集合S表示直線y＝1上的點，集合T表示直線x＝1上的點，S∩T表示直線y＝1與直線x＝1的交點．3．集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝()A．0或eq\r(3)B．0或3C．1或eq\r(3)D．1或3解析：選B由A∪B＝A得B?A，有m∈A，所以有m＝eq\r(m)或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素互異性知m≠1.4．設集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝()A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)解析：選BB＝{x|－1≤x≤3}，A∩(?RB)＝{x|3<x<4}．5．(2012·湖北高考)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：選DA＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C?B，則集合C的個數(shù)為24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．6．(2013·廈門模擬)設函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影局部表示的集合為()A．[－1,0]B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1)D．(－∞，－1]∪(0,1)解析：選D因為A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，則u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故圖中陰影局部表示的集合為(－∞，－1]∪(0,1)．二、填空題(本大題共3小題，每題5分，共15分)7．假設1∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a－3，\f(9a,2)－1，a2＋1，－1))，則實數(shù)a的值為________．解析：假設a－3＝1，則a＝4，此時eq\f(9a,2)－1＝a2＋1＝17不符合集合中元素的互異性；假設eq\f(9a,2)－1＝1，則a＝eq\f(4,9)，符合條件；假設a2＋1＝1，則a＝0，此時eq\f(9a,2)－1＝－1，不符合集合中元素的互異性．綜上可知a＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)8．設集合U＝{1,2,3,4}，M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，假設?UM＝{2,3}，則實數(shù)p的值為________．解析：由條件可得M＝{1,4}，把1代入x2－5x＋p＝0，可得p＝4，再檢驗可知結(jié)論成立．答案：49．(2013·合肥模擬)對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n＝eq\f(m＋n,2)，當m，n為一奇一偶時，m⊙n＝eq\r(mn)，設集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，則集合A中的元素個數(shù)為________．解析：(1)當a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，eq\f(a＋b,2)＝6?a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合題意的點(a，b)有2×5＋1＝11個．(2)當a，b為一奇一偶時，eq\r(ab)＝6?ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合題意的點(a，b)有2×3＝6個．綜上可知，集合A中的元素共有17個．答案：17三、解答題(本大題共3小題，每題12分，共36分)10．A＝{x|－2<x<－1或x>1}，B＝{x|a≤x<b}，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x<3}，求實數(shù)a，b的值．解：∵A∩B＝{x|1<x<3}，∴b＝3，又A∪B＝{x|x>－2}，∴－2<a≤－1，又A∩B＝{x|1<x<3}，∴－1≤a<1，∴a＝－1.11．設全集I＝R，集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(?IM)∩N；(2)記集合A＝(?IM)∩N，集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，假設B∪A＝A，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(?IM)∩N＝{2}．(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}，當B＝?時，a－1>5－a，∴a>3；當B＝{2}時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3，綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a≥3}．12．設集合A＝{x|x＋1≤0，或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}(1)假設A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍；(2)假設A∩B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．解：A＝{x|x≤－1，或x≥4}．(1)∵A∩B≠?，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋2，,a＋2≥4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋2，,2a≤－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≤－\f(1,2)，))∴a＝2或a≤－eq\f(1,2).即a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\a\vs4\al(|)a＝2，或a≤－\f(1,2))).(2)∵A∩B＝B，∴B?A，且有三種情況．①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋2，,a＋2≤－1，))解得a≤－3；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋2，,2a≥4，))解得a＝2；③由B＝?，得2a>a＋2，得a∴a的取值范圍是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．1．集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，則集合M與集合N的關系是()A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝?解析：選C由于M＝{－1,0,1}，所以x＝0，－1，故N＝{0，－1}，所以N?M.2．設全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影局部表示的集合為()A．{x|x>0}B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0}D．{x|x<－1}解析：選B依題意得集合A＝{x|－3<x<0}，所求的集合即為A∩B，所以圖中陰影局部表示的集合為{x|－3<x<－1}．3．假設集合A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，則以下結(jié)論正確的選項是()A．A∪B＝{x|x≥0}B．A∩B＝{1,2}C．(?RA)∩B＝{0,1}D．A∪(?RB)＝{x|x≥1}解析：選B依題意得，A∪B＝{x|x≥1}∪{0}，A∩B＝{1,2}，(?RA)∩B＝{0}，A∪(?RB)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此結(jié)合各選項知，選B.4．集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，假設A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，即A＝(0,4]，由A?B，B＝(－∞，a)，且a的取值范圍是(c，＋∞)，可以結(jié)合數(shù)軸分析得c＝4.答案：4eq\a\vs4\al(第二節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解命題的概念．2.了解“假設p，則q〞形式的命題的逆命題、否命題和逆否命題，會分析四種命題的相互關系．3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.1.對本節(jié)內(nèi)容的考察形式多為選擇題或填空題．2.對命題及其關系的考察主要有以下兩種方式：(1)考察簡單命題的真假判斷，其中結(jié)合命題的四種形式、充要條件以及復合命題、全稱命題等組成的混合選項問題是命題的重點．(2)考察命題的四種形式，以原命題的否命題、逆否命題的形式為考察重點．如2012年湖南T3.3.對充要條件的考察，主要從以下三個方面命題：(1)以其他知識模塊內(nèi)容為背景，考察充要條件的判斷，多以函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及其應用、解析幾何中的直線與圓、圓錐曲線的位置關系以及空間中的線面位置關系等為主．如2012年福建T3，天津T5，上海T16等．(2)以其他知識模塊內(nèi)容為背景，考察充要條件的探求，尤其要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“非〞與充要條件相結(jié)合的問題．(3)考察利用條件和結(jié)論之間的充要條件關系求解參數(shù)的取值范圍．如2011年陜西T14.[歸納·知識整合]1．命題在數(shù)學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系：①兩個命題互為逆否命題，它們有一樣的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．[探究]1.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這4個命題中，真命題的個數(shù)可能有幾個提示：由于原命題與逆否命題是等價命題；逆命題與否命題是等價命題，所以真命題的個數(shù)可能為0,2,4.3．充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)如果p?q，q?p，則p是q的充分必要條件．記作p?q.[探究]2.“p是q的充分不必要條件〞與“p的一個充分不必要條件是q〞兩者的說法一樣嗎提示：兩者說法不一樣．“p的一個充分不必要條件是q〞等價于“q是p的充分不必要條件〞，顯然這與“p是q的充分不必要條件〞是截然不同的．3．命題“假設p，則q〞的逆命題為真，逆否命題為假，則p是q的什么條件提示：逆命題為真即q?p，逆否命題為假，即p?/q，故p是q的必要不充分條件．[自測·牛刀小試]1．(教材改編題)給出命題：“假設x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是A．0個B．1個C．2個D．3個解析：選D逆命題為：假設x＝y(tǒng)＝0，則x2＋y2＝0，是真命題．否命題為：假設x2＋y2≠0，則x≠0或y≠0，是真命題．逆否命題為：假設x≠0或y≠0，則x2＋y2≠0，是真命題．2．以下命題：①“a>b〞是“a2>b2”的必要條件；②“|a|>|b|〞是“a2>b2”的充要條件；③“a>b〞是“a＋c>b＋c〞其中是真命題的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：選B①a>b?/a2>b2，且a2>b2?/a>b；故①不正確；②a2>b2?|a|>|b|，故②正確；③“a>b〞?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確．3．命題“假設f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)〞的否命題是()A．假設f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．假設f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．假設f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．假設f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)解析：選B原命題的否命題是既否認題設又否認結(jié)論，故“假設f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)〞的否命題是B選項．4．(2012·湖南高考)命題“假設α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()A．假設α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1B．假設α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．假設tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)D．假設tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)解析：選C命題“假設α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是“假設tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)〞．5．(2012·天津高考)設φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)〞的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A因為f(x)是偶函數(shù)?φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0〞是“f(x)是偶函數(shù)〞的充分而不必要條件．四種命題及其真假判斷[例1]在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，真命題的個數(shù)記為f(p)，命題p：“假設兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于A．1B．2C．3D．4[自主解答]原命題p顯然是真命題，故其逆否命題也是真命題．而其逆命題是：假設a1b2－a2b1＝0，則兩條直線l1與l2平行，這是假命題，因為當a1b2－a2b1＝0時，還有可能l1與l2重合，逆命題是假命題，從而否命題也為假命題，故f(p)＝2.[答案]B———————————————————判斷四種命題間的關系的方法(1)在判斷四種命題之間的關系時，首先要注意分清命題的條件與結(jié)論，再比擬每個命題的條件與結(jié)論之間的關系．要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應地有了它的“逆命題〞“否命題〞“逆否命題〞．(2)當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保存大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時，應把其中一個(或n個)作為大前提．1．設原命題是“當c>0時，假設a>b，則ac>bc〞，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．解：“當c>0時〞是大前提，寫其他命題時應該保存，原命題的條件是a>b，結(jié)論是ac>bc.因此它的逆命題：當c>0時，假設ac>bc，則a>b.它是真命題；否命題：當c>0時，假設a≤b，則ac≤bc.它是真命題；逆否命題：當c>0時，假設ac≤bc，則a≤b.它是真命題.充分條件、必要條件的判斷[例2](1)(2012·浙江高考)設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)下面四個條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2D．a(chǎn)3>b3[自主解答](1)“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的充要條件是：由eq\f(a,1)＝eq\f(2,a＋1)≠eq\f(－1,4)，解得a＝－2或1.故“a＝1〞是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行〞的充分不必要條件．(2)a>b＋1?a－b>1>0?a>b，但a＝2，b＝1滿足a>b，但a＝b＋1，故A項正確．或用排除法：對于B，a>b－1不能推出a>b，排除B；而a2>b2不能推出a>b，如a＝－2，b＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C項錯誤；a>b?a3>b3，它們互為充要條件，排除D.[答案](1)A(2)A———————————————————充分條件、必要條件的判斷方法判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.2．命題p：函數(shù)f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函數(shù)，命題q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是減函數(shù)，則p是q的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A假設命題p為真，則a≤1；假設命題q為真，則0<a<1.∵由q能推出p但由p不能推出q，∴p是q的必要不充分條件．充要條件的應用[例3]P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，假設存在，求出m的范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，假設存在，求出m的范圍．[自主解答](1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要條件，∴P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))這樣的m不存在．(2)由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴m≤3.綜上，可知m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件．保持本例條件不變，假設綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分條件，∴P?S且S?/P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．———————————————————1.解決與充要條件有關的參數(shù)問題的方法解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式求解.2.利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件假設綈p是綈q的充分不必要必要不充分、充要條件，則p是q的必要不充分充分不必要、充要條件.3．設p：logax>0；q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1>1，假設p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．解析：由q：x<1，當0<a<1時，p：0<x<1，符合條件．當a>1時，p：x>1，不符合條件．答案：(0,1)1個轉(zhuǎn)化——正難則反的轉(zhuǎn)化由于互為逆否命題的兩個命題具有一樣的真假性，因而當判斷一個命題的真假比擬困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．2個區(qū)別——“否命題〞與“命題的否認〞以及“充分條件〞與“必要條件〞的區(qū)別(1)否命題是既否認命題的條件，又否認命題的結(jié)論，而命題的否認是只否認命題的結(jié)論．要注意區(qū)別．(2)充分必要條件的判斷應注意問題的設問方式，①A是B的充分不必要條件是指：A?B且B?/A；②A的充分不必要條件是B是指：B?A且A?/B，在解題中一定要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤．3種方法——判斷充分條件和必要條件的方法(1)命題判斷法．設“假設p，則q〞為原命題，那么：①原命題為真，逆命題為假時，p是q的充分不必要條件；②原命題為假，逆命題為真時，p是q的必要不充分條件；③原命題與逆命題都為真時，p是q的充要條件；④原命題與逆命題都為假時，p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合判斷法．從集合的觀點看，建設命題p，q相應的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①假設A?B，則p是q的充分條件；假設AB時，則p是q的充分不必要條件；②假設B?A，則p是q的必要條件；假設BA時，則p是q的必要不充分條件；③假設A?B且B?A，即A＝B時，則p是q的充要條件．(3)等價轉(zhuǎn)化法．p是q的什么條件等價于綈q是綈p的什么條件.創(chuàng)新交匯——與充要條件有關的交匯問題1．充分條件、必要條件和充要條件的判斷是每年高考的熱點內(nèi)容，多與函數(shù)、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等交匯命題．2．突破此類問題的關鍵有以下四點：(1)要分清命題的條件與結(jié)論；(2)要善于將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言進展推理；(3)要注意等價命題的運用；(4)當判斷多個命題之間的關系時，常用圖示法，它能使問題直觀、易于判斷．[典例](2011·陜西高考)設n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.[解析]x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因為x是整數(shù)，即2±eq\r(4－n)為整數(shù)，所以eq\r(4－n)為整數(shù)，且n≤4，又因為n∈N*，取n＝1,2,3,4，驗證可知n＝3,4符合題意，所以n＝3,4時可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根．[答案]3或4eq\a\vs4\al([名師點評])1．此題有以下兩個創(chuàng)新點(1)考察內(nèi)容創(chuàng)新：此題以一元二次方程為背景，探求方程有整數(shù)根的充要條件．(2)命題方式創(chuàng)新：此題目的特點是給出結(jié)論，未給條件，由結(jié)論探求條件．2．解決此題的關鍵有以下兩點(1)從結(jié)論出發(fā)，正確求出使結(jié)論成立的必要條件；(2)要驗證所得到的必要條件是否滿足充分性，否則極易得出n＝1,2,3,4的錯誤答案．eq\a\vs4\al([變式訓練])1．向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－eq\f(1,2)B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：選Da⊥b?a·b＝0，a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0.2．對于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B當m<0，n<0時，mn>0，但mx2＋ny2＝1沒有意義，不是橢圓；反之，假設mx2＋ny2＝1表示橢圓，則m>0，n>0，即mn>0.3．設集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B〞是“x∈C〞的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C化簡得A＝{x|x>2}，B＝{x|x<0}，C＝{x|x<0，或x>2}．∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B〞是“x∈C〞的充要條件．一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)1．命題“假設m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根〞的逆否命題應該是()A．假設方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0B．假設方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．假設方程x2＋x－m＝0無實根，則m>0D．假設方程x2＋x－m＝0無實根，則m≤0解析：選D根據(jù)原命題與逆否命題的構造關系可知，其逆否命題為：假設方程x2＋x－m＝0無實根，則m≤0.2．設集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M〞是“a∈N〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選BM＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，所以NM，故a∈M是a∈N的必要不充分條件．3．(2013·日照模擬)直線l1：x＋ay＋1＝0，直線l2：ax＋y＋2＝0，則命題“假設a＝1或a＝－1，則直線l1與l2平行〞的否命題為()A．假設a≠1且a≠－1，則直線l1與l2不平行B．假設a≠1或a≠－1，則直線l1與l2不平行C．假設a＝1或a＝－1，則直線l1與l2不平行D．假設a≠1或a≠－1，則直線l1與l2平行解析：選A命題“假設A，則B〞的否命題為“假設綈A，則綈B〞，顯然“a＝1或a＝－1”的否認為“a≠1且a≠－1”，“直線l1與l2平行〞的否認為“直線l1與l2不平行4．a(chǎn)，b為非零向量，則“函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2為偶函數(shù)〞是“a⊥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解析：選C依題意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x＋b2.由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得a·b＝0，又a·b為非零向量，所以a⊥b；反過來，由a⊥b得，a·b＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．綜上所述，“函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2為偶函數(shù)〞是“a⊥b〞的充要條件．5．(2012·安徽高考)設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β〞是“a⊥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A假設α⊥β，又α∩β＝m，b?β，b⊥m，根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又因為a?α，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，即不能推出α⊥β.6．(2013·濰坊模擬)命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5D．a(chǎn)≤5解析：選C命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的充要條件是a≥4.故其充分不必要條件是集合[4，＋∞)的真子集二、填空題(本大題共3小題，每題5分，共15分)7．(2013·南京模擬)有以下幾個命題：①“假設a>b，則a2>b2”的否命題②“假設x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)〞的逆命題；③“假設x2<4，則－2<x<2”的逆否命題其中真命題的序號是________．解析：①原命題的否命題為“假設a≤b則a2≤b2”錯誤②原命題的逆命題為：“x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”正確③原命題的逆否命題為“假設x≥2或x≤－2，則x2≥4”正確答案：②③8．(2013·石家莊質(zhì)檢)以下四個命題：①“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否認②“假設x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題③在△ABC中，“A>30°〞是“sinA>eq\f(1,2)〞的充分不必要條件；④“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)〞的充要條件是“φ＝kπ(k∈Z)〞．其中真命題的序號是________(把真命題的序號都填上)．解析：“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否認為“?x∈R，x2－x＋1>0”，①是真命題；“假設x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題是“假設x2＋x－6<0，則x≤2”，②也是真命題；在△ABC中，“A>30°〞是“sinA>eq\f(1,2)〞的必要不充分條件，③是假命題；“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)〞的充要條件是“φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)〞，④是假命題．答案：①②9．α：x≥a，β：|x－1|<1.假設α是β的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分條件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]三、解答題(本大題共3小題，每題12分，共36分)10．集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，假設命題“A∩B＝?〞是假命題，求實數(shù)m的取值范圍解：因為“A∩B＝?〞是假命題，所以A∩B≠?.設全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)則U＝{m|m≤－1或m≥eq\f(3,2)}．假設方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2≥0，,x1x2≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,4m≥0，,2m＋6≥0))?m≥eq\f(3,2).又集合{m|m≥eq\f(3,2)}關于全集U的補集是{m|m≤－1}，所以實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－1}．11．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．假設“x∈A〞是“x∈B〞的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\a\vs4\al(|)\f(7,16)≤y≤2)).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A〞是“x∈B〞的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).12．兩個關于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程為x2－4mx＋4m2－∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝161－m≥0，,Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，))解得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)∈Z，,4m∈Z，,4m2－4m－5∈Z.))∴m為4的約數(shù)．又∵m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1))，∴m＝－1或1.當m＝－1時，第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數(shù)；而當m＝1時，兩方程的根均為整數(shù)，∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1.1．a(chǎn)，b，c∈R，命題“假設a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是A．假設a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．假設a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．假設a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．假設a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3解析：選Aa＋b＋c＝3的否認是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否認是a2＋b2＋c2<3.2．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A由x≥2且y≥2可得x2＋y2≥4，但反之不成立．3．“a＝b〞是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選Aa＝b時，圓心到直線距離d＝eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以相切；假設直線與圓相切時，有d＝eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝b或a＝－4＋b.4．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，假設x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)eq\a\vs4\al(第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〞“且〞“非〞的含義．2.理解全稱量詞與存在量詞的意義．3.能正確地對含有一個量詞的命題進展否認.1.新課標對三個邏輯聯(lián)結(jié)詞的要求雖然只是了解，但這三個邏輯聯(lián)結(jié)詞卻是高考試題中的?？停酁檫x擇題，其中，綜合其他知識對含有這幾個邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷問題成為高考命題的一個熱點．如2012年山東T5等．2.對全稱量詞與存在量詞的考察，主要是結(jié)合其他知識點考察含有全稱量詞與存在量詞的命題的判斷，多為選擇題或填空題，試題難度一般．如2012年安徽T4，遼寧T5，湖北T4等.[歸納·知識整合]1．命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[探究]1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“且〞“或〞“非〞與集合運算中的“交〞“并〞“補〞有什么關系提示：“且〞“或〞“非〞三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應著集合運算中的“交〞“并〞“補〞，因此，常常借助集合的“交〞“并〞“補〞的意義來解答由“且〞“或〞“非〞三個聯(lián)結(jié)詞構成的命題問題．2．全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞有：所有的，任意一個，任給，用符號“?〞表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“?〞表示．(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立〞用符號簡記為：?x∈M，p(x)．(3)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．“存在M中元素x0，使p(x0)成立〞用符號簡記為：?x0∈M，p(x0)．3．含有一個量詞的命題的否認命題命題的否認?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)[探究]2.全稱命題(特稱命題)的否認還是全稱命題(特稱命題)嗎其真假性與原命題有什么關系提示：不是．全稱命題的否認是特稱命題，特稱命題的否認是全稱命題，它們的真假性與原命題恰好相反．[自測·牛刀小試]1．(教材改編題)以下命題是真命題的是()①27是3的倍數(shù)或27是9的倍數(shù)；②27是3的倍數(shù)且27是9的倍數(shù)；③平行四邊形的對角線互相垂直且平分；④平行四邊形的對角線互相垂直或平分；⑤1是方程x－1＝0的根，且是方程x2－5x＋4＝0的根．A．①③⑤B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤解析：選C平行四邊形的對角線互相平分但不一定垂直，故③錯誤．2．命題p：“0<x<eq\f(π,2)，假設xcosx<1，則xcos2x<1”的否認為()A．x≤0或x≥eq\f(π,2)，假設xcosx<1，則xcos2x≥1B．x≤0或x≥eq\f(π,2)，假設xcosx≥1，則xcos2x≥1C．0<x<eq\f(π,2)，假設xcosx<1，則xcos2x≥1D．0<x<eq\f(π,2)，假設xcosx≥1，則xcos2x≥1解析：選C在命題p中，“0<x<eq\f(π,2)〞為大前提，在命題的否認中不能改變，命題“假設A，則B〞的否認是“假設A，則綈B〞，故命題p的否認為：0<x<eq\f(π,2)，假設xcosx<1，則xcos2x≥1.3．以下命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x0∈R，lgx0<1D．?x0∈R，tanx0＝2解析：選BA項，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得2x－1>0；B項，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾；C項，當x0＝eq\f(1,10)時，lgeq\f(1,10)＝－1<1；D項，當x0∈R時，tanx0∈R，∴?x0∈R，tanx0＝2.4．(教材改編題)(1)命題p：任意兩個等邊三角形都是相似的，則綈p：__________.(2)命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝0，則綈p：__________.解析：(1)全稱命題的否認為特稱命題，則綈p：存在兩個等邊三角形，它們不相似．(2)特稱命題的否認為全稱命題，則綈p：?x∈R，x2＋2x＋2≠0答案：(1)存在兩個等邊三角形，它們不相似(2)?x∈R，x2＋2x＋2≠05．命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x\o\al(2,0))≤2；命題q是命題p的否認，則命題p、q、p∧q、p∨q中是真命題的是________．解析：x0＝±1時，p成立，所以p真，q假，p∧q假，p∨q真．答案：p、p∨q含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷[例1]命題p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，給出以下結(jié)論：①命題“p∧q〞是真命題；②命題“p∧綈q〞是假命題；③命題“綈p∨q〞是真命題；④命題“綈p∨綈q〞是假命題．其中正確的選項是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命題p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命題，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命題，故①命題“p∧q〞是真命題；②命題“p∧綈q〞是假命題；③命題“綈p∨q〞是真命題；④命題“綈p∨綈q〞是假命題．[答案]D———————————————————判斷“p∧q〞、“p∨q〞、“綈p〞形式命題真假的步驟(1)準確判斷簡單命題p、q的真假；(2)根據(jù)真值表判斷“p∧q〞、“p∨q〞、“綈p〞命題的真假．1．(2013·長春名校聯(lián)考)命題p：假設a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：假設函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．以下說法中正確的選項是()A．“p或q〞是真命題B．“p或q〞是假命題C．綈p為假命題D．綈q為假命題解析：選B∵當a·b>0時，a與b的夾角為銳角或零度角，∴命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))綜上可知，“p或q〞是假命題.全稱命題、特稱命題的真假判斷[例2](1)以下命題中，真命題是()A．?x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx0＋cosx0≥2B．?x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1C．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1D．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tanx>sinx(2)a>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，假設m滿足關于x的方程2ax＋b＝0，則以下選項中的命題為假命題的是()A．?x0∈R，f(x0)≤f(m)B．?x0∈R，f(x0)≥f(m)C．?x∈R，f(x)≤f(m)D．?x∈R，f(x)≥f(m)[自主解答](1)對于選項A，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，∴此命題不成立；對于選項B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，當x>3時，(x－1)2－2>0，∴此命題成立；對于選項C，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴x2＋x＝－1對任意實數(shù)x都不成立，∴此命題不成立；對于選項D，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，tanx<0，sinx>0，命題顯然不成立．(2)∵a>0，∴函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(b,2a)處取得最小值．∴f(m)是函數(shù)f(x)的最小值．故C錯誤．[答案](1)B(2)C在本例(2)中，假設將“a>0〞改為“a<0〞，其他條件不變，則如何選擇解析：選D假設a<0，則f(m)為函數(shù)f(x)的最大值，應選項D錯誤．———————————————————1．全稱命題真假的判斷方法(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立．(2)要判斷一個全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．特稱命題真假的判斷方法要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題．2．以下命題中，真命題是()A．?m0∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函數(shù)B．?m0∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函數(shù)C．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)D．?m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)解析：選A由于當m0＝0時，函數(shù)f(x)＝x2＋m0x＝x2為偶函數(shù)，故“?m0∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋m0x(x∈R)為偶函數(shù)〞是真命題.含有一個量詞的命題的否認[例3]寫出以下命題的否認，并判斷其真假．(1)p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一個實數(shù)x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.[自主解答](1)綈p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0，假命題．(2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題．(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題．(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題．———————————————————1.對含有一個量詞的命題進展否認的方法一般地，寫含有一個量詞的命題的否認，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否認結(jié)論.2．常見詞語的否認形式正面詞語是都是>至少有一個至多有一個對任意x∈A使p(x)真否認詞語不是不都是≤一個也沒有至少有兩個存在x0∈A，使p(x0)假3．命題“能被5整除的數(shù)，末位是0”的否認是________解析：省略了全稱量詞“任何一個〞，否認為：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0.答案：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0根據(jù)命題真假確定參數(shù)的取值范圍[例4](2013·濟寧模擬)命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．假設p或q是真命題，p且q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)[自主解答]命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假．假設p真q假，則a<－12；假設p假q真，則－4<a<4.故a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案]C保持本例條件不變，假設p∧q為真，則如何選擇解析：選Bp∧q為真，∴p和q均為真．∴a的取值范圍為[－12，－4]∪[4，＋∞)．———————————————————根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟(1)先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)；(2)然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(3)最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍．4．c>0，且c≠1，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al