PAGE1第十三章軸對(duì)稱13.3等腰三角形1等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；如下圖，在?ABC中，AB=AC，則∠B=∠C.（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱：三線合一）.①如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且BD=CD，則∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC；②如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAD=∠CAD，則BD=CD，且AD⊥BC；③如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，則∠BAD=∠CAD，且BD=CD.（均可用全等三角形證明）2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等；（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）如下圖，在?ABC中，∠B=∠C，則AB=AC.（均用全等三角形證明）3等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形；（2）性質(zhì)：三個(gè)內(nèi)角都是60°，每條邊都存在三線合一.（3）判定：①三條邊相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.4含30°的直角三角形在直角三角形中，如果一個(gè)角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.如下圖，在Rt?ABC中，∠B=90°，∠A=30°，則證明在AC上取點(diǎn)D，使得CB=CD，又∵∠C=60°，∴?BCD是等邊三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，又∵∠A=30°，∴AD=BD=BC，∴AC=AD+CD=BC+BC=2BC，即BC=1【題型1】等腰三角形（等邊三角形）的性質(zhì)【典題1】如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB＝AC＝BD．若∠B＝50°，則∠CAD的度數(shù)為()?A．10° B．15° C．20° D．25°【典題2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊BC在x軸上，且點(diǎn)B(﹣1，0)，點(diǎn)A(2，4)，則△AOC的面積為()A．5 B．8 C．10 D．20【鞏固練習(xí)】1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為()A．70° B．100° C．110° D．140°2.如圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝()?A．50° B．40° C．20° D．25°3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，直線DE，F(xiàn)G分別經(jīng)過點(diǎn)B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，則∠ABE的度數(shù)為()A．100° B．105° C．110° D．115°4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，若∠BAD＝35°，則∠C＝()A．65° B．55° C．50° D．45°5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M且AE＝CE，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F，連接CF交AB于點(diǎn)G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為()A．75° B．70° C．65° D．60°6.如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD＝12∠B【題型2】等腰三角形（等邊三角形）的判定【典題1】已知：在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．【典題2】如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，且CD＝CF．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當(dāng)∠F＝度時(shí)，△ABC是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【鞏固練習(xí)】1.下列對(duì)△ABC的判新，不正確的是()A．若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°2.如圖，在格點(diǎn)中找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，且AB為其中的一條腰，這樣的點(diǎn)C一共有()A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3.如圖，用圓規(guī)以直角頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)半徑畫一條弧交直角兩邊于A，B兩點(diǎn)，若再以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與弧AB交于點(diǎn)C，則△AOC的形狀為．4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求證：△ADC是等腰三角形．5.已知：如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于點(diǎn)D，且DE＝DB，試判斷△CEB的形狀，并說明理由．6.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．(1)求證：△BED是等腰三角形；(2)當(dāng)∠DAB＝°時(shí)，△BED是等邊三角形．【題型3】含30°的直角三角形【典題1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝3，則AD的長(zhǎng)度為()A．6 B．9 C．12 D．15【鞏固練習(xí)】1.5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是()A．4m B．6m C．10m D．12m2.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米 B．9米 C．12米 D．15米3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，則AD＝()A．2 B．23 C．4 D．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若AC＝12，則AD的長(zhǎng)是()A．6 B．8 C．32 D．5.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合)，Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合)，連接PQ交AB于D．當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，AP的長(zhǎng)為．6.如圖，早上8：00，一艘輪船以20海里/小時(shí)的速度由南向北航行，在A處測(cè)得小島P在北偏西15°方向上，到上午10：00，輪船在B處測(cè)得小島P在北偏西30°方向上，在小島P周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？【A組基礎(chǔ)題】1.下列能確定△ABC為等腰三角形的是()A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周長(zhǎng)為152.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．若∠A＝36°，則∠BDC＝()A．36° B．54° C．72° D．108°3.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑畫弧，與AC邊交點(diǎn)為E，則∠ADE的度數(shù)為()A．60° B．105° C．75° D．15°4.下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是()A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列結(jié)論不成立的是()A．∠BAC＝∠AFE B．∠EBC＝∠2 C．∠1＝∠2 D．∠AFE＝∠C6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，則∠EDC的度數(shù)為．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，則AB等于。8.如圖，等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，A(﹣1，0)，過點(diǎn)B作BD⊥AB，垂線BD交x軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．9.如圖，將含有30°角的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB，EC，則下列結(jié)論：①∠DAC＝∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④△ABD為等邊三角形．其中正確的是．(填序號(hào))10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)求證：△ADE是等腰三角形．11.在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；(2)如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？【B組提高題】1.如圖，在△AA1B中，AB＝A1B，∠A＝50°；在A1B上任取一點(diǎn)B1，延長(zhǎng)AA1到A2，使A1B1＝A1A2；在A2B1上任取一點(diǎn)B2，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2B2＝A2A3；按此做法繼續(xù)下去，則∠A5A6B5的度數(shù)為2.如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM的長(zhǎng)為。3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分線，DE